复变量平均法与其他近似方法的异同EI北大核心CSCD

复变量平均法因其通用性和实用性受到学界的大量关注,但在求解系统响应时会产生一定误差。该研究旨在通过比较不同近似方法间的区别揭示各方法的精度差异和适用条件。应用复变量平均法、多尺度法和谐波平衡法获得单自由度自治和非自治系统的近似解析解,并以Duffing振子为算例进行数值验证。随后针对二自由度非线性能量阱系统,推导出系统稳态响应的半解析解,以振幅和均方根值为评价指标描述系统的响应情况。结果表明:对于单自由度系统,复变量平均法和多尺度法得到的衰减振动瞬态解相同,不同于谐波平衡法;三种方法获得的受迫振动稳态解相同。三者对于弱非线性自治系统和非自治系统响应的近似准确率较高。复变量平均法和谐波平衡法均能良好地描述二自由度耦合系统的稳态周期运动且精度较高。当出现拟周期运动时,以均方根值为指标,复变量平均法的解析效果更好;以振幅为指标,谐波平衡法的近似程度更高。     

一个非线性奇异振子的谐波平衡解

应用谐波平衡法计算了一个恢复力与因变量成反比的非线性振子的近似频率和近似周期解。与Mickens的方法不同,直接求解了非线性奇异二阶微分方程。一阶和二阶谐波解所对应的非线性恢复力的傅立叶级数展开式的系数容易由相应的积分得到。由二阶谐波平衡法得到的非线性代数方程组很容易用符号运算软件求出。得到的一近似频率与精确频率的百分比误差是12.8%,而二阶近似频率与精确频率的百分比误差小于1.28%。与数值方法给出的“精确”周期解比较,二阶近似解析解要比一阶近似解析解精确得多。高阶谐波平衡法一般需要求解复杂的非线性代数方程组,但是借助于Matlab和Mathematica等符号运算软件,这一困难可以得到一定程度的克服.     

退化环面上的非线性jerk方程近似周期解的同伦分析方法

用同伦分析法求解退化环面上的非线性Jerk方程的近似周期和近似解析周期解。所得结果表明文中得到的一阶近似周期和一阶近似解析周期解与Gottlieb用低阶谐波平衡法求解得到的结果一样。当参数和初速度较大时,一阶近似周期与精确周期的百分比误差是4.831 8%,而二阶近似周期与精确周期的百分比误差小于0.219 9%。与数值方法给出的"精确"周期解比较,二阶近似解析周期解比一阶近似解析周期解要精确的多。因此,同伦分析法是求解非线性Jerk方程的一种非常有效的方法。     

分数阶van der Pol振子的超谐与亚谐联合共振

基于平均法研究了分数阶van der Pol振子3次超谐与1/3次亚谐联合共振时的动力学特性。得到了系统的一阶近似解析解,提出了超、亚谐联合共振时等效线性阻尼和等效线性刚度的概念。建立了联合共振定常解幅频曲线的解析表达式,又结合变分方程进行线性化处理,推导出分数阶van der Pol振子在联合共振时的周期解稳定性判断准则。通过与单一谐波下超谐共振、亚谐共振的对比,发现在不同基本参数下该系统可分别表现出单谐波超谐共振、单谐波亚谐共振以及两者共存时的特征现象。研究表明,分数阶微分项参数通过等效线性阻尼和等效线性刚度的形式对系统的响应幅值、共振频率、定常解稳定性、周期解数量、共振区域、曲线拓扑结构及跳跃现象等复杂动力学特性均产生重要影响。     

一类非线性jerk方程的改进两变量展开法

应用改进的两变量展开法求解非线性含有三次非线性项的三阶微分方程的近似频率和近似解析周期解。该方法结合了Lindstedt-Poincare方法与两变量展开法不仅可以适用于弱非线性振动问题的求解而且还可以适用于强非线性振动问题的求解。文中以一个不含速度线性项的非线性jerk方程作为例子分析并得到二阶近似周期和二阶近似解析周期解,与数值方法给出的“精确”周期解比较,二阶近似解析周期解比一阶近似解析周期解要精确得多。结果表明,改进的两变量展开法能够适用于求解非线性jerk方程。而且在jerk方程不含速度线性项时该方法仍然有效。     

含间隙强非线性扭振系统的分岔行为研究

建立了含间隙旋转机械强非线性扭振系统的动力学方程。应用MLP法求解谐波激励下强非线性系统的解析近似解,并运用MLP法与多尺度法结合的方法得到该系统的分岔响应方程。采用奇异性理论研究了系统在非自治情形下的分岔特性,得到不同参数下系统的分岔形态。最后通过具体算例,利用数值模拟的方法得到系统在强非线性项参数变化下的分岔行为,发现随着系统参数变化系统发生周期运动、倍周期运动以及混沌等多种运动形态的复杂动力学行为。研究结果为分析间隙引起的旋转机械传动系统扭振特性提供一定的理论指导和参考。     

一种改进的齿轮非线性动力学模型

在考虑齿面摩擦、齿轮时变啮合刚度和齿侧间隙的情况下,推导出了改正的齿轮副系统的非线性动力学模型,应用符号运算软件,编写符号运算程序,得到了齿轮副非线性振动微分方程。该模型在计算摩擦力时,考虑了载荷在啮合区的动态分配,并根据啮合区单双齿交替的特点提出用周期扩大法建立摩擦力、齿轮时变刚度的模型,改正的齿轮非线性动力学模型是一个周期系数分段线性的非自治系统,与以前所建立的模型相比,该模型的参变系数是具有相同周期的周期函数,新的齿轮非线性动力学模型的建立为求解时变的齿轮动力学方程近似解析解带来方便。     

应用优化的同伦分析法求解非线性Jerk方程

应用优化的同伦分析法计算了具有三次非线性项的三阶微分方程(Jerk)的近似周期和近似解析周期解。文中给出一个算例说明由优化的同伦分析法可以容易得到精确的二阶近似周期解。当初速度 比较大时,一阶近似周期与精确周期的百分比误差为-0.415%,而二阶近似周期与精确周期的百分比误差为-0.0298%。与数值方法给出的“精确”周期解比较,一阶近似解析周期解和二阶近似周期解的精度很高。这个说明同伦分析法对求解非线性Jerk方程非常有效     

轴向运动梁横向受迫振动多尺度分析及DQM验证

用近似解析方法分析轴向运动黏弹性梁横向非线性受迫振动并通过微分求积方法(DQM)进行数值验证.基于外部存在简谐激励的有限小变形细长梁的非线性模型,用多尺度法建立谐波共振时的可解性条件,进而导出稳态周期响应的幅值及其稳定性.稳定稳态周期解的幅值随外激励幅值的增大而增大,随黏弹性系数或非线性系数的增大而减小.采用微分求积法数值求解描述梁横向运动的非线性偏微分方程.计算结果定性验证了近似解析方法预测的相关参数对稳定稳态周期响应幅值的影响,定量比较表明解析结果有较高精度.     

刚度分段线性系统的自由振动解析研究

在多尺度法解一般光滑非线性保守自治方程的基础上,本文针对非线性方程所要求的级数和形式,使用多项式拟合的方法,使得一类典型分段线性系统的弹性力表达式可近似表示为级数和形式,进而利用多尺度法对改造后的非线性方程求解,得到分段线性保守自治系统解析解的通用公式。将该方法的近似解析解与数值解进行比较,结果表明该方法在多项式拟合较好的前提下,具有较高的精度。     

Periodic solutions of multi-degree-of-freedom strongly nonlinear coupled van der Pol oscillators by homotopy analysis method

The mathematical models of multi-degree-of-freedom (MDOF) strongly nonlinear dynamical systems are described by coupled second-order differential equations. In general, the exact solutions of MDOF strongly nonlinear dynamical systems are frequently unavailable. Therefore, efforts have been mainly concentrated on the approximate analytical solutions. The homotopy analysis method (HAM) is a useful analytic tool for solving strongly nonlinear dynamical systems, and it provides a simple way to ensure the convergence of solution series by means of a convergence-control parameter ${\hbar}$ . Unlike the classical perturbation techniques, this method is independent of the presence of small parameters in the governing equations of motion. In this paper, the HAM is applied to formulate the analytical approximate periodic solutions of MDOF strongly nonlinear coupled van der Pol oscillators. Within this research framework, the frequency and the displacements of two-degree-of-freedom (2-DOF) strongly nonlinear systems can be explicitly obtained. For authentication, comparisons are carried out between the results obtained by the homotopy analysis and numerical integration methods. It is shown that the fourth-order or eighth-order solutions of the present method provide excellent accuracy. Illustrative examples of three-degree-of-freedom (3-DOF) strongly nonlinear coupled van der Pol oscillators are also presented and discussed. Finally, the optimal HAM approach is used to accelerate the convergence of the solutions.     

Extended homotopy analysis method for multi-degree-of-freedom non-autonomous nonlinear dynamical systems and its application

In normal circumstances, numerous practical engineering problems are multi-degree-of-freedom (MDOF) nonlinear non-autonomous dynamical systems. Generally, exact solutions for MDOF dynamical systems are hardly obtained; thus, the development of analytical approximations becomes a robust and appealing avenue for an analysis of these systems. The homotopy analysis method (HAM) is one of the analytical methods, which can overcome the foregoing barriers of conventional asymptotic techniques. It has been widely used for solving various nonlinear problems in physical science and engineering. In this paper, the extended homotopy analysis method (EHAM) is presented to establish the analytical approximate solutions for MDOF weakly damped non-autonomous dynamical systems. In terms of its flexibility and applicability, the EHAM is also applied to derive the approximate solutions of parametrically and externally excited thin plate systems. Besides, comparisons are performed between the results obtained by the EHAM and the numerical integration (i.e. Runge–Kutta) method. The present findings show that the analytical approximate solutions of the EHAM agree well with the numerical integration solutions.     

用MLP法求强非线性保守系统的次谐共振周期解

在两种改进的LP解法的基础上，将它们结合起来，用于求强非线性保守系统的次谐共振周期解。研究了Dufling方程的1／3亚谐共振周期解和2次超谐共振周期解，结果表明本方法既可求得一类强非线性保守系统的次谐共振周期解又能提高解的计算精度。     

正切型缓冲系统跌落冲击响应分析的NHB方法

目的为了获得正切型缓冲系统跌落冲击响应的近似解析解。方法将正切型系统简化为3次、5次非线性系统,经无量纲处理后获得无量纲动力学方程,应用牛顿谐波平衡法求解系统无量纲动力学方程,得到跌落冲击响应一阶、二阶近似解析解,并获得系统位移响应最大值、加速度响应最大值以及跌落冲击持续时间等重要参数的解析表达式。结果通过算例分析表明,牛顿谐波平衡法二阶近似解与龙格-库塔数值解接近,相对误差控制在2%以内。结论牛顿谐波平衡法为非线性缓冲系统跌落冲击响应分析提供了一种新的有效解析方法。     

阻尼和刚度项含时变参数的强非线性振动系统周期解研究

对一类阻尼和刚度系数均含有时变参数的强非线性系统进行了研究,针对时变阻尼项和刚度项之间的耦合作用使周期解的平均值发生漂移问题,为能够在任意参数平面范围内求出该系统的周期解,提出了一种改进的能量迭代法,给出了用改进的能量迭代法求此类强非线性系统主振动解及谐振解的过程与结果,推导出了系统主振动的幅频和相频响应方程。以主振动为例,把求得的周期解和幅频曲线与数值仿真结果进行了比较,结果表明解析解与数值解吻合良好。     

Recurrent motions and global attractors of non-autonomous Lorenz systems

This paper is devoted to the study of dynamics of non-autonomous Lorenz systems. These systems are formulated and investigated in the context of non-autonomous dynamical systems. First, we prove that such systems admit a compact global attractor and characterize its structure. Then, we obtain conditions of convergence, under which all solutions of the non-autonomous Lorenz systems approach a point attractor. Third, we derive a criterion for existence of almost periodic, quasi-periodic, periodic, and recurrent motions. Finally, we prove a global averaging principle for non-autonomous Lorenz systems.     

二次非线性粘弹性圆板的2/1超谐解

计及材料的非线性弹性和粘性性质,研究了圆板在简谐载荷作用下的2/1超谐解,导出了相应的非线性动力方程。提出一类强非线性动力系统的叠加迭代谐波平衡法。将描述动力系统的二阶常微分方程,化为基本解为未知函数的基本微分方程;及分岔解为未知函数的增量微分方程。通过叠加迭代谐波平衡法得出了圆板的2/1超谐解。同时,对叠加迭代谐波平衡法和数值积分法的精度进行了比较。并且讨论了2/1超谐解的渐近稳定性。     

Analytic parametric solutions for the HRR nonlinear elastic field with low hardening exponents

Summary In this paper, we restore the already constructed approximate asymptotic solutions extracted in [10] concerning the HRR [1] strongly nonlinear fourth-order ordinary differential equation (ODE) for plane strain conditions in nonlinear elastic (plastic) fracture. It is proved that the above equation, for low strain hardening exponents (0 < N ? 1), is reduced to a strongly nonlinear ODE of the second order. The method of the total differentials is used so that the last equation is reduced to Abels' equations of the second kind of the normal form, that can be analytically solved in parametric form. In addition, the case of rigid perfect-plasticity (N=0) is extensively investigated and several important results are extracted.     

二阶常微分方程周期边值问题的正解

非线性二阶周期边值问题可描述天体力学、工程和生物中出现的许多周期现象,其广泛的应用引起了许多学者的关注.本文主要研究二阶周期边值问题正解的存在性,其中非线性项包含一阶导数项.设非线性项满足Caratheodory条件,利用零点指数理论和分析技巧,本文建立了二阶周期边值问题正解的存在性定理,推广并改进了一些已知结果.最后给出一个例子说明主要结果.