Zu einigen Anwendungen der mehrkriteriellen Entscheidungsfindung auf ingenieurwissenschaftliche Probleme

Zusammenfassung Ingenieurarbeit ist in den meisten Fällen Entwurfsarbeit im weitesten Sinne. Der Entwurf eines Systems, z. B. einer Maschine, einer Bearbeitungstechnologie oder eines Steuerungssystems, ist durchzuführen unter dem Aspekt bestimmter Zielsetzungen, die sich nicht immer auf einen einzigen 'Qualitätsparameter des zu entwerfenden Systems reduzieren lassen. Der Entwurfsingenieur sieht sich deshalb immer mit einer mehrkriteriellen Entscheidungsaufgabe konfrontiert. Die Entscheidung kann demzufolge objektiviert werden, wenn eine Analyse des 'Güteverhaltens des zu entwerfenden technischen Systems durchgeführt werden kann. Mittel und Methoden hierfür vorzustellen und an praktischen Beispielen die Zweckmäßigkeit dieser Vorgehensweise aufzuzeigen, sind die Ziele dieses Artikels.

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Summary Engineering work involves designing in the widest sense. The design of a system, e.g. a machine, a manufacturing method or a control system, must be carried out with a view to definite objectives that cannot always be reduced to a single quality parameter of the system to be designed. Therefore, the design engineer is always faced with a multi-criteria decision making problem. Thus the decision can be objectified if the analysis of the 'quality behaviour of the technical system to be designed can be made. The present paper is intended to discuss appropriate means and methods and to illustrate the potential of this approach by practical examples.

     

Eine systemkonforme Maßzahlbildung für klassifikatorische Merkmale

Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt das Problem einer geeigneten Maßzahlkonstruktion für die Streuung eines qualitativen Merkmals. Unter der Bezeichnung Diversitätsindex sind in der Literatur eine Reihe von Konzepten zu dieser Frage entwickelt worden, die aber insgesamt keine befriedigende Motivation aufweisen; insbesondere fehlt ein wirklich stringentes Selektionskriterium für die Fülle der angebotenen Möglichkeiten. Wir gehen hingegen von plausiblen Anforderungen an ein Diversitätsmaß, die sich großteils am klassischen Adäquationsprinzip orientieren, d.h. an der Zielsetzung, Maßzahlen so zu konstruieren, daß sie dem zu beschreibenden Sachverhalt möglichst angemessen, also systemkonform sind, aus. Es wird unter Zuhilfenahme von Resultaten aus der Theorie der (quasilinearen) Funktionalmittelwerte gezeigt, daß die so erstellten Postulate es gestatten, aus einer großen Klasse von Funktionen eine eindeutige Auswahl zu treffen.     

Über strukturelle Voraussetzungen für Krisenstabilität in Europa ohne Kernwaffen: Eine systemanalytische Betrachtung

Zusammenfassung Zunächst wird kurz die Notwendigkeit des Nachdenkens über neue Verteidigungsstrategien begründet. Anhand typischer Ergebnisse von Experimenten an systemanalytischen Konflikt- und Gefechtsmodellen wird sodann untersucht, welche grundlegenden strukturellen Voraussetzungen konventionelle Streitkräfte erfüllen müssen, um Krisenstabilität in Europa auch ohne Kernwaffen zu gewährleisten. Militärische und wirtschaftliche Anreize zur Schaffung dieser Voraussetzungen wären gegeben, wenn die sog. 'Effizienzhypothese der Verteidigung zuträfe. Hierzu werden die Ergebnisse einer Reihe von Simulationsexperimenten diskutiert. Abschließend werden mögliche Umrüstungsmodelle betrachtet und die Notwendigkeit der Kopplung von Rüstungskontrollverhandlungen im konventionellen und nuklearen Bereich begründet.

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Summary Following some introductory remarks on the need for thinking about new defense strategies, typical results of formal military conflict models are analyzed in order to demonstrate the structural prerequesites of conventional forces for bringing about crisis stability in Europe without nuclear weapons. There would be military as well as economic incentives to meet these prerequisites if the so-called defense efficiency hypothesis could be validated. To this end, the results of a series of simulation experiments are discussed. In conclusion, possible models of conventional transarmament are considered illustrating the need for linking conventional and nuclear arms control negotiations.

     

Markov-Entscheidungs-Prozesse mit abhängigen Aktionen für optimale Reparaturmaßnahmen bei unvollständiger Information

Zusammenfassung In technischen Systemen mit modularem Aufbau führt die Berechnung einer optimalen Instandhaltungspolitik bei unvollständiger Information über den Systemzustand auf einen Markov-Entscheidungs-Prozeß mit abhängigen Aktionen. Hierfür wird ein branch-and-bound-Algorithmus entwickelt.     

Effect of wall conductances on hydromagnetic flow and heat transfer in a rotating channel

Summary Wall conductance effects on the hydromagnetic flow and heat transfer between two parallel plates in a rotating frame of reference has been studied when the liquid is permeated by a transverse magnetic field. An exact solution of the governing equations has been obtained. It is found that the velocity, current density and the temperature depend only on the sum of the wall conductances ₁ + ₂ = but magnetic field depends on the individual values of ₁ and ₂, where ₁ and ₂ are respectively the wall conductance ratios of the upper and lower walls.

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Einfluß der Wandleitfähigkeit auf die hydromagnetische Strömung und den Wärmeübergang in einem rotierenden Kanal

Zusammenfassung In der Arbeit wird der Einfluß der Leitfähigkeit der Wände auf die MHD-Strömung sowie auf den Wärmeübergang untersucht für den Fall, daß sich das zähe Medium zwischen zwei rotierenden Platten befindet und ein Magnetfeld parallel zur Rotationsachse angelegt wird. Es wird eine exakte Lösung des Problems gegeben. Es zeigt sich, daß die Geschwindigkeit, die Stromdichte und die Temperatur nur von der Summe der Leitfähigkeiten der Wände + ₂ = abhängen, dagegen hängt die magnetische Feldstärke von den individuellen Werten ₁ und ₂ ab, wobei ₁ und ₂ die Leitfähigkeiten der oberen bzw. unteren Wand bezeichnen.

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With 5 Figures     

Packmustergenerierung

Zusammenfassung Der Einsatz des ProgrammpaketesLADEPROG hat bei zahlreichen Projekten zur Vermeidung von Verpackungsabfall beigetragen. Die Realisierung von verpackungsarmen Verteilprozessen ist ohne solche oder ähnliche Software kaum möglich. Die Modularisierung von Verpackungen und die Optimierung ihrer Anordnung auf der Palette oder auf der Ladefläche gehört inzwischen zum Standard zahlreicher Softwarenprodukte. Das Fraunhofer-Institut für Materialfluß und Logistik nutzt LADEPROG in Verbindung mit weiteren Programmodulen, um eine auftragsgerechte Verpackungseinheit zu gestalten. Der Verpackungsaufwand wird weitgehend reduziert mit dem Nebeneffekt, daß die gesamten logistischen Abläufe durch weniger Doppelhandling und Reduzierung von Umpacken weniger personalintensiv gestaltet werden. Die weiterentwickelten Softwarenmodule werden den Namen UNIT tragen und sind Mitte '91 verfügbar. Anhand eines Projektberichtes werden die Möglichkeiten und die Vorgehensweise zur Optimierung verdeutlicht.     

Rangordnungsverfahren für unscharfe Mengen

Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt das Problem, eine Rangfolge unscharfer Mengen über der gleichen GrundmengeU aufzustellen oder zumindest die optimale unscharfe Menge zu bestimmen. Die wichtigsten in der Literatur vorgeschlagenen Rangordnungsverfahren werden kurz dargestellt und anschließend mit empirisch ermittelten Präferenzaussagen verglichen. Dabei zeigt es sich, daß in unproblematischen Fällen alle Methoden zu vernünftigen Präferenzordnungen führen, in kritischen Fällen aber nur das Niveau-Ebenen-Verfahren von Rommelfanger und das Chen-Kriterium zufriedenstellende Ergebnisse liefern.

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Summary This paper deals with the problem of ranking fuzzy sets of the same intervalU . The most important methods suggested in literature are reviewed and compared with empirical preference-statements. In simple cases all the methods are good, but in difficult cases only the Chen-criterion and the-level-method suggested by Rommelfanger behave reasonably well.

     

Buckling of viscoelastic maxwell plates under random temperature

Summary Considered is the problem of thermal buckling of a square plate, simply supported along the edges, of a linear incompressible viscoelasticMaxwell material, and exposed to a temperature field varying randomly with time and across the width of the plate.The deterministic buckling criterion, defining a lower critical (time-depending) and an upper critical (elastic) thermal stress, is applied to the thermal stress field.The statistical connection between temperature and stress field is studied in the sense of correlation theory. For a stationary normal random temperature process the probability is determined that elastic buckling will not occur. Numerical results are obtained and compared with the corresponding results in the elastic case.

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Beulen viskoelastischer Platten unter zufälliger Temperaturverteilung

Zusammenfassung Untersucht wird das Problem des thermischen Beulens einer quadratischen, frei drehbar gelagerten Platte aus inkompressiblem, linear viskoelastischemMaxwell-Werkstoff, welche einem Temperaturfeld ausgesetzt ist, das sich zufallsabhängig mit der Zeit und über die Plattenlänge ändert.Auf das Wärmespannungsfeld wird das deterministische Beulkriterium angewendet, welches einen unteren kritischen (zeitabhängigen) und einen oberen kritischen (elastischen) Wärmespannungsverlauf bestimmt.Der statistische Zusammenhang zwischen Temperatur und Spannungsfeld wird im Rahmen der Korrelationstheorie untersucht. Für einen stationären normalen Temperaturprozeß wird die Wahrscheinlichkeit bestimmt, daß elastisches Beulen nicht auftritt. Numerische Ergebnisse werden erhalten und verglichen mit den entsprechenden Ergebnissen im elastischen Fall.

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With 6 Figures

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The research reported in this paper has been sponsored in part by the United States Government.     

On Hamilton's priciple in linear function spaces with semi-scalar product

Summary It is shown that by abandoning the concepts ofscalar product andenergy and replacing them by the concepts ofsemi-scalar product andmeta-energy, mechanical systems which are non-conservative with respect to the energy admit of an analytical treatment which lets them appear to be conservative with respect to the meta-energy. Above all, these classically non-conservative systems become subject to a variational principle which is the exact counterpart to the classical principle of Hamilton. It is also shown that, when a transition to an appropriate function space with a semi-scalar product is difficult, there is the possibility of deriving at least a hybrid variational principle which implies using thegeneralized adjoint system in conjunction with the original system.

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Über Hamiltons Prinzip in linearen Funktioneräumen mit semi-skalarem Produkt with semi-scalar product

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird gezeigt, daß, wenn man die Bergiffe Skalares Produkt und Energie durch die Begriffe Semi-skalares Produkt und Meta-Energie ersetzt, mechanische Systeme, die bezüglich der Energie nicht-konservativ sind, einer analytischen Behandlung zugänglich werden, die sie als konservativ bezüglich der Meta-Energie erscheinen läßt. Vor allem lassen sich diese Systeme, die im klassischen Sinn echt nicht-konservativ sind, einem Variationsprinzip unterwerfen, das das genaue Gegenstück zum klassischen Prinzip von Hamilton ist. Es wird auch gezeigt, daß, wenn ein Übergang zu einem geeigneten Funktionenraum mit semi-skalarem Produkt schwierig ist, die Möglichkeit besteht, wenigstens ein hybrides Variationsprinzip herzuleiten, welches den Gebrauch des sogenannten verallgemeinerten adjungierten Systems im Zusammenhang mit dem ursprünglichen System voraussetzt.

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With 5 Figures     

Existence and uniqueness of shock-free transonic flow past symmetrical thin wings at zero incidence

Zusammenfassung Die laminare Wirbelsenkenströmung eines kompressiblen, viskosen Mediums war Anlaß einer theoretischen Studie. Vorgestellt wird eine Berechnungsmethode, die auf einem Differenzenverfahren basiert, mit der es gelingt, den Ort des Schalldurchgangs zu bestimmen. Die Untersuchungen zeigen, daß sich dieser Ort bedingt durch die Verdrängungswirkung der Wandgrenzschichten stromaufwärts verlagert. Der Vergleich der numerischen Ergebnisse mit einigen aus der Literatur bekannten experimentellen Daten bestätigt das Rechenmodell.

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On the laminar vortex-sink flow of a compressible fluid

Summary The laminar vortex-sink flow of a viscous, compressible fluid is investigated. With the help of a difference method the location of the sonic line is determined as a function of the wall boundary layers. The comparison of the numerical results with well-known experimental data from the literature shows a good agreement.

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Formelzeichen a Schallgeschwindigkeit - c Geschwindigkeit - p Druck - r radiale Koordinate - s Wandabstand - z axiale Koordinate - Temperatur - dynamische Viskosität - Wärmeleitfähigkeit - , azimutale Koordinate - Dichte - Verhältnis der spez. Wärmen - Grenzschichtdicke - 0 kennzeichnet die Verhältnisse am Eintritt - R kennzeichnet die Verhältnisse bezüglich einer radialen Erstreckung - krit kritisch Mit 7 Abbildungen     

A viscoplastic material model and its application to cyclic loading

Summary A kinematic hardening model is generalized by introducing plastic and viscous residual back stresses , that govern the translation of the yield surface. The evolution equations for and are proposed and the material functions are identified for a construction steel by carrying out tension-compression tests at different strain rates. The cyclic tests with changing strain amplitudes and frequencies are next carried out and model predictions are compared with experimental results.

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Ein viskoplastisches Stoffmodell und seine Anwendungen bei zyklischer Belastung

Zusammenfassung Ein Modell mit kinetmatischer Verfestigung wird durch die Einführung plastischer und viskoser bleibender Hintergrundspannungen , verallgemeinert, die die Bewegungen der Fließfläche steuern. Die Wachstumsgleichungen für und werden aufgestellt und die Materialfunktionen für einen Baustahl aus Zug-Druckversuchen mit verschiedener Dehnungsrate bestimmt. Die zyklischen Versuche mit sich ändernden Dehnungsamplituden und Fequenzen werden als nächstes durchgeführt und die Modellaussagen mit den experimentellen Ergebnissen verglichen.

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With 14 Figures     

Herleitung allgemeiner magnetohydrodynamischer Grenzschichtgleichungen mit expliziten Lösungen für das Längsfeld

Zusammenfassung Für stationäre, inkompressible, ebene, laminare Strömungen werden allgemeingültige magnetohydrodynamische Grenzschichtgleichungen aufgestellt, aus denen je nach Größe der Parameter (Reynolds-ZahlR, magnetischeReynolds-ZahlR _m undAlfvén-Zahl ) sowohl die bisher schon behandelten Gleichungen für Quer- und Längsfeld als auch zahlreiche weitere Grenzschichtgleichungen folgen. Dabei zeigt sich, daß die bisher gemachten Voraussetzungen, daßR groß ist und daß die Grenzschichtdicke umgekehrt proportional zur Quadratwurzel ausR ist, zu eng gefaßt sind. Im Fall eines Längsfeldes mitR _m R und 1 wird die Grenzschichtdicke umgekehrt proportional zur 4. Wurzel ausR. Für diesen Fall lassen sich für die Plattenströmung und den Freistrahl explizite Lösungen angeben.

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Summary General magnetohydrodynamic boundary layer equations are established for plane, stationary, incompressible, laminar flow. From these follow, according to the magnitude of the parameters (Reynolds numberR, magneticReynolds numberR _m andAlfvén number ) the previously treated equations for the transversal and the longitudinal field and a number of additional equations. It is shown, that the assumptions-R is large and the thickness of boundary layer is inversely proportional to the square root ofR-are too restrictive. For a longitudinal field, withR _m R and 1, the thickness of boundary layer is inversely proportional to the fourth root ofR. In this case it is possible to give explicit solutions for the flow past a plate and the free jet.

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Mit 2 Textabbildungen

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Von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Fridericiana Karlsruhe als Habilitationsschrift angenommen. Dem Referenten, Herrn Prof. Dr.J. Zierep, und dem Korreferenten, Herrn Prof. Dr.K. Nickel, danke ich für das meiner Arbeit entgegengebrachte Interesse.     

On the global minimization of concave functions

Summary Many important classes of decision models give rise to the problem of finding a global minimum of a concave function over a convex set. Since many local minima can occur, concave minimization belongs to the hard global optimization problems, where standard nonlinear programming procedures fail.After a brief survey on important classes of decision models that can be formulated as concave minimization problems, the two main solution approaches are discussed: branch-and-bound combined with convex underestimation and outer approximation by cutting planes.

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Zusammenfassung Eine Reihe wichtiger Klassen von Entscheidungsmodellen führt auf die globale Minimierung konkaver Funktionen über konvexen Mengen. Da viele lokale Minima auftreten können, ist die konkave Minimierung zu den harten globalen Optimierungsaufgaben zu rechnen, bei denen Standardverfahren der nichtlinearen Optimierung nicht zum Ziel führen.Nach einer kurzen Übersicht über wichtige Klassen von Entscheidungsmodellen, die sich als konkave Minimierungsprobleme formulieren lassen, werden die beiden wichtigsten Lösungsansätze diskutiert: Eine Kombination von Branch und Bound mit konvexer Approximation und äußere Approximationsverfahren mit Hilfe von Schnittebenen.

     

Properties of 1-convex n-person games

Summary The subclass of 1-convexn-person games is central in this paper. It turns out that an 1-convexn-person game can be characterized by the structure of the core and that its nucleolus lies in the center of gravity of the core. Using the formula for the nucleolus, it is shown that for 1-convex games the intersection of the (pre-) kernel with the core consists of a unique point. Nevertheless, the (pre-)kernel may contain points outside the core. Hence, the bargaining set of an 1-convexn-person game not necessarily coincides with the core and the part of the bargaining set outside the core may even be disconnected with the core. Furthermore, the class of 1-convex games which possess a large core, is classified.

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Zusammenfassung Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht die Unterklasse der 1-konvexenn-Personen-Spiele. Es stellt sich heraus, daß ein 1-konvexesn-Personen-Spiel durch die Struktur des Kerns charakterisiert werden kann und sein Nucleolus im Gravitätszentrum des Kerns liegt. Unter Benutzung der Formel für den Nucleolus wird gezeigt, daß für 1-konvexe Spiele der Durchschnitt von (Pre-)Kernel und Kern aus einem eindeutigen Punkt besteht. Allerdings kann der (Pre-)Kernel auch Punkte außerhalb des Kerns enthalten. Deshalb fällt die Verhandlungsmenge des 1-konvexenn-Personen-Spiels nicht notwendigerweise mit dem Kern zusammen, und der Teil der Verhandlungsmenge, der außerhalb des Kerns liegt, braucht sogar nicht mit dem Kern zusammenzuhängen. Zudem wird eine Einteilung der Klasse der 1-konvexen Spiele gegeben, die einen großen Kern besitzen.

     

Relevanzbaumanalyse in der strategischen Planung der Landesregierung von Rheinland-Pfalz

Zusammenfassung Es geht um den Einsatz der Relevanzbaumanalyse (RBA) innerhalb des Integrierten Planungs-, Entscheidungs- und Kontrollsystems (IPEKS) in der Landesregierung von Rheinland-Pfalz in den Jahren 1972 bis 1976. Innerhalb der strategischen Zielrahmenplanung beabsichtigt man, mit Hilfe der RBA eine Prioritätsreihenfolge von Zielen bzw. Maßnahmen zu entwickeln. In zwei Bewertungsrunden wurden innerhalb der rheinland-pfälzischen Ministerialverwaltung ca. 1200 bzw. 600 Bewertungsschritte durchgeführt. Mit Hilfe der EDV wurde eine komplexe Hierarchie von Relevanzzahlen entwickelt. Sonderauswertungen führten zu spezifischen Kennzahlen. Beides schlug sich in dem Zielrahmen der Landesregierung nieder. Allerdings hat der Einsatz der RBA die ursprünglich gehegten Erwartungen nicht erfüllt: er ist als gescheitert zu betrachten.

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Summary It will be discussed the application of the relevance tree analysis (RTA) within the Integrated Planning-, Decision- and Controlsystem of the government of Rheinland-Pfalz from 1972–1976. It was intented to generate a sequence of priorities of goals and means. About 1200 resp. 600 evaluation steps were performed by members of the administration. A pyramid structure of relevance numbers was developed. Additional analysis followed. The results are described in the goal memorandum of the government. But we can find a disappointment about the opportunities of the RTA: The implementation of RTA failured; nowadays we can't see any use of the method.

     

Two generalisations of Burgers' equation

Summary Two different generalisations of Burgers' equation are investigated in the case when the coefficient multiplying the second derivative term is small. In both cases the solution involves a shock-layer, and matched asymptotic expansions are used ro relate the solution outside the layer with that inside the layer. The calculations are carried out to the second approximation and expressions are obtained for the displacement of the shock due to diffusion.

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Zwei Verallgemeinerungen der Burgers-Gleichung

Zusammenfassung Zwei verschiedene Verallgemeinerungen der Burgers-Gleichung werden für den Fall kleiner multiplikativer Koeffizienten des zweiten Ableitungsterms untersucht. In beiden Fällen bringt die Lösung eine Schockschicht mit sich, wobei angepaßte asymptotische Entwicklungen verwendet werden, um die Lösung außerhalb der Schicht auf die innerhalb der Schicht zu beziehen.Die Berechnungen werden bis zur zweiten Näherung durchgeführt und es werden Ausdrücke für die Verformung des Schocks zufolge Diffusion erhalten.

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Visualisierungstechniken in Entscheidungsproblemen bei mehrfacher Zielsetzung

Zusammenfassung In diesem Beitrag werden Ansätze zur graphischen Darstellung von Elementen von Entscheidungsproblemen bei mehrfacher Zielsetzung vorgestellt. Dabei wird nach den Betrachtungsebenen des Problems zwischen der Darstellung von Entscheidungsvariablen, von Attributwerten sowie von ordinalen und kardinalen Präferenzaussagen unterschieden. Neben der Darstellung der einzelnen Ansätze wird auch auf den damit verbundenen Rechenaufwand sowie mögliche Interpretationsprobleme eingegangen.Überarbeitete Fassung eines Vortrages beim 3. Workshop der DGOR-Arbeitsgruppe 'Entscheidungstheorie und -praxis, Schwangau/Allgäu, 16.–19. 3. 1993     

Discount-isotone policies for Markov decision processes

Summary This paper considers infinite horizon discounted Markov decision processes and conditions under which discount-isotone optimal policies exist. Given partial orders over the state and action spaces, a set of discount-isotone optimal policies is a set of optimal policies, one for each discount factor in a given set, such that, for each state, the optimal actions are partially ordered in such a manner as to match the ordering of the discount factors. It is easier to solve problems with small discount factors and the induced partial ordering facilitates the solutions for higher discount factor levels.

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Zusammenfassung Für unendlich-stufige diskontierte Markovsche Entscheidungsprozesse werden Bedingungen angegeben, unter denen sogenannte diskont-isotone optimale Politiken existieren. Eine diskont-isotone Familie von optimalen Politiken liegt vor, wenn die Zustands- und Aktionenräume halbgeordnet sind und für eine Menge von Diskontierungsfaktoren je eine optimale Politik existiert, so daß in jedem Zustand die optimalen Aktionen isoton vom Diskontierungsfaktor abhängen. Es kann günstiger sein, zunächst Probleme mit kleinem Diskontierungsfaktor zu lösen und dann die Isotonie-Eigenschaften zur Lösung für größere Diskontierungsfaktoren heranzuziehen.

     

Genetische Modellierung von Künstlichen Neuronalen Netzen

Zusammenfassung Künstliche Neuronale Netze (KNN) haben sich für eine automatisierte Klassifikation, wie sie etwa bei der Kreditwürdigkeitsprüfung durchzuführen ist, als Alternative zu klassischen statistischen Methoden etabliert. Während die KNN-Typ-spezifischen Lernverfahren, wie etwa das Back-Propagation-Verfahren bei Multi-Layer-Perceptron-Netzen dabei anwendungsdomänenunabhängig und auch instanzunabhängig definiert sind, stellt die Konfiguration des spezifischen KNN für eine konkrete Anwendung ein Entscheidungsproblem dar, das jeweils in Abhängigkeit der Anwendungsdomäne (Kreditwürdigkeitsprüfung) und der konkreten Instanz (unternehmenspezifische Kennzahlensysteme) zu lösen ist. Für dieses Konfigurationsproblem, das in der Literatur noch nicht umfassend behandelt wurde, wird in dieser Arbeit mit dem Genetic Modeling ein Ansatz vorgestellt, bei dem eine passende Netzkonfiguration mittels eines Genetischen Algorithmus ebenfalls aus historischem Wissen gelernt wird. Wir berichten über erste empirische Ergebnisse beim Einsatz zur Kreditwürdigkeitsprüfung mittels LVQ-KNN.     

A note on the μ-zeros of combinations of cross-product bessel functions

Summary In the problem of diffraction of elastic waves in annular circular, or cylindrical (doubly connected) domains, the zeros of complicated combinations of cross-products of cylinder functions as analytic functions of the index =n+i (in general complex) are required. In this note, the imaginary -zeros of two such combinations of cross-products of two identical doubly connected domains, however with two different boundary conditions on one boundary, are asymptotically computed and graphically displayed. It is shown that even for such a comparison of different boundary conditions, one can obtain with a minimum effort in mathematics asymptotic distributions and the relative dispositions of the respective -zeros. It is then rather simple to determine with a computer the exact positions of the -zeros.

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Zusammenfassung Bei der Behandlung des Beugungsproblems elastischer Wellen in kreisringförmigen oder zylindrischen (zweifach zusammenhängenden) Bereichen werden die Nullstellen komplizierter Produktkombinationen von Zylinderfunktionen benötigt, und zwar als analytische Funktionen ihrer im allgemeinen komplexen Ordnung =n+i . In dieser Arbeit werden die imaginären -Nullstellen zweier solcher Produktkombinationen in zwei identischen, zweifach zusammenhängenden Bereichen, jedoch mit an einem Rand verschiedenen Randbedingungen, asymptotisch berechnet und graphisch dargestellt. Es wird gezeigt, daß man selbst bei einem solchen Vergleich verschiedener Randbedingungen mit einem Minimum an mathematischem Aufwand asymptotische Verteilungen und die relativen Lagen der entsprechenden -Nullstellen erhalten kann. Es ist dann ziemlich einfach, mit Hilfe eines Rechners die exakten Lagen der -Nullstellen zu bestimmen.

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With 1 Figure