Unterschallheizfront hinter Verdichtungsstoß in zweidimensionalen Überschallströmungen

Zusammenfassung Eine Unterschallheizfront in einer Überschallströmung übt ähnlich wie ein Keil eine Verdrängungswirkung auf die Strömung aus. Die Lösung für das Strömungsfeld zwischen einem vorgelagerten Verdichtungsstoß und der Unterschallheizfront wird durch die Vorwärtswirkung der Heizfront erschwert. Für diesen Fall wird in der vorliegenden Arbeit ein graphisches Verfahren entwickelt, das einen klaren Überblick über alle Lösungsmöglichkeiten des Problems liefern kann.

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Summary A subsonic reaction front in a supersonic flow creates, similar to a wedge, a displacement effect. Finding a solution for the flow field between shock wave and subsonic reaction front behind is more difficult as a consequence of the upstream influence of the reaction front. A graphical method is developed which can render a clear survey of the possibilities of solution.

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Mit 13 Abbildungen

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Herrn Prof. Dr.-Ing.J. Zierep möchte ich für Anregung des Themas und wertvolle Hinweise besonders danken. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft sei an dieser Stelle für die finanzielle Unterstützung dieser Untersuchung gedankt.     

Two dimensional nonlinear wave propagation in a shallow tidal estuary

Summary A study is made of a two-dimensional mathematical model of nonlinear wave propagation in a shallow tidal estuary using an unconditionally stable numerical scheme. The alternative direction implicit scheme is used to investigate the simulation of the flow pattern of the estuary, and to examine the effects of the changes in the bed topography either due to dredging or due to construction of spurs and guidewalls in tidal flows. The Coriolis force due to rotation of the earth is taken into account in the present two-dimensional model. It is shown that the Coriolis force is responsible for the existence of the transverse component of the flow field. The proposed theoretical model is applied to investigate the flow structure in the Hooghly estuary. The computed results are then compared with the observed values in the Hooghly estuary. A stability analysis of the alternative direction implicit scheme is also included.

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Zweidimensionale nichtlineare Wellenausbreitung in einer Flachwasserflußmündung bei Gezeiten.

Zusammenfassung Es wird ein zweidimensionales mathematisches Modell für die nichtlineare Wellenausbreitung in einer Flachwasserflußmündung mit Gezeiten erarbeitet, das ein stabiles numerisches Verfahren benutzt. Es wird ein implizites Verfahren (alternative direction) gebraucht, um die topographischen Einflüsse des Flußbettes zu simulieren. Die Corioliskraft als Folge der Erddrehung wird bei diesem zweidimensionalen Modell ebenfalls berücksichtigt. Es wird nachgewiesen, daß die Corioliskraft für die transversale Komponente des Stromfeldes verantwortlich ist. Das vorgeschlagene theoretische Modell wird auf die Flußmündung des Hoogly angewendet. Die berechneten Resultate werden mit beobachteten Werten in der Hoogly-Flußmündung verglichen. Eine Stabilitätsuntersuchung des (alternative direction) impliziten Verfahrens wird ebenfalls durchgeführt.

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With 4 Figures     

On the capillary instability of a dielectric viscous liquid cylinder surrounded by another viscous fluid in an electric field

Summary The capillary instability of a long, dielectric, incompressible, viscous liquid cylinder when subjected to small axisymmetric disturbances in the presence of a uniform axial electric field is investigated by making a normal mode analysis of the equations describing the perturbed fluid flow. The resulting characteristic equation, which includes the effect of a surrounding unbounded viscous fluid, is solved in order to express graphically the governing dispersion relation as a function of the relative viscous and dielectric properties of the two media when the viscosities of both are dominant. The influence of the various parameters on the modes of capillary instability as well as their effect on the modes of maximum instability are exhibited for this and other special cases.

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Zusammenfassung Die kapillare Instabilität eines langen, dielektrischen, inkompressiblen, zähen Flüssigkeitszylinders wird untersucht, wenn letzterer kleinen axialsymmetrischen Störungen in Gegenwart eines gleichförmigen, elektrischen Axialfeldes ausgesetzt ist. Das zur Behandlung des vorliegenden Problems herangezogene Verfahren macht Gebrauch von einem Normalschwingungsansatz für die das gestörte Strömungsfeld beschreibenden Gleichungen. Die resultierende charakteristische Gleichung, welche den Einfluß der umgebenden, unendlich ausgedehnten, zähen Flüssigkeit berücksichtigt, wird gelöst. Die grundlegende Dispersionsbeziehung wird graphisch als Funktion der relativen zähen und dielektrischen Eigenschaften beider Medien dargestellt, falls der Zähigkeitseinfluß in beiden Medien dominiert. Der Einfluß verschiedener Parameter auf das Schwingungsverhalten der Kapillarinstabilität, ebenso ihr Einfluß auf das Schwingungsverhalten der maximalen Instabilität, wird sowohl für den vorliegenden Fall als auch für verschiedene Sonderfälle dargestellt.

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With 7 Figures

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Université Laval, Québec, Canada, May 1967; an abstract appears in the proceedings.     

On steady particle motion in circular gravity waves

Summary The steady velocity field of the fluid particles is investigated when gravity waves propagate with constant angular velocity about a vertical axis. In a preliminary inviscid analysis, motion in horizontal circles is predicted. A method based on boundary-layer concepts is presented and motion in axial planes is shown to accompany the swirl. The radial and circumferential velocity components at the edge of the bottom boundary layer are calculated in a typical case. In deep fluids, horizontal circular motion is indicated by both inviscid and viscous theories, and a comparison is made of the corresponding circumferential velocities for particles near the free surface.

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Zur stationären Teilchenbewegung in zirkulierenden Gravitationswellen

Zusammenfassung Das stationäre Geschwindigkeitsfeld von Flüssigkeitsteilchen wird, für den Fall von Gravitationswellen, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Achse rotieren, untersucht. In einer einführenden reibungsfreien Untersuchung wird Bewegung in horizontalen Kreisen vorhergesagt. Eine auf Grenzschichtbegriffen basierende Methode wird dargestellt, und es wird gezeigt, daß Bewegung in Axialebenen zum Wirbel hinzukommt. In einem charakteristischen Fall werden Radial- und Tangentialgeschwindigkeit am Rand der Bodengrenzschicht berechnet. Sowohl die Theorie der reibungsfreien wie auch die der reibungsbehafteten Strömung in tiefen Flüssigkeiten führen auf horizontale Kreisbewegung. Ein Vergleich der entsprechenden Tangentialgeschwindigkeiten der Teilchen nahe der freien Oberfläche wird durchgeführt.

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With 2 Figures     

Oscillating two-phase flow in an elastic tube

Summary Analytical expressions of dust and fluid velocities have been obtained for small amplitude waves having large wave length. Equations giving the wave-velocity and its damping factor have been derived. Corresponding graphs for various values of dust parameters and elasticity of the wall of the thin walled tube have been drawn. It is found that both the wave-velocity and its damping factor decrease with the increase in mass-concentration of dust and also they increase with the increase in Poisson's ratio of the wall of the tube.

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Schwingende Zweiphasenströmung in einem elastischen Rohr

Zusammenfassung Analytische Ausdrücke der Staub- und Flüssigkeitsgesch windigkeiten werden für kleine Amplituden von Wellen mit großer Wellenlänge erhalten. Gleichungen für die Geschwindigkeit der Welle und ihr Dämpfungsverhalten werden hergeleitet und zugehörige Diagramme für verschiedene Werte des Staubparameters und der Wandelastizität des dünnwandigen Rohres erhalten. Es wird gefunden, daß sowohl die Wellengeschwindigkeit als auch der Dämpfungsfaktor mit zumehmender Massenkonzentration des Staubs abnehmen und daß sie mit der Poissonzahl der Rohrwand zunehmen.

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With 3 Figures

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On leave from Bolpur College, Bolpur, West Bengal, India.     

A rule of anisotropic hardening

Summary A hardening rule accounting for anisotropy produced by plastic deformations is developed. Transition from an initially isotropic material into an anisotropic one is studied. The proposed rule accounts for translation, rotation and expansion of the initial yield locus.

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Zusammenfassung Es wird eine Verfestigungsregel für die durch plastische Deformationen hervorgerufene Anisotropie hergeleitet. Der Übergang eines anfangs isotropen Materials in ein anisotropes wird betrachtet. Die angegebene Regel gilt für Translation, Rotation und Expansion der anfänglichen Fließkurve.

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With 3 Figures     

Das schwach angestellte Segel bei Überschall-, bei Hyperschall- und bei Schallgeschwindigkeit

Zusammenfassung Das Verhalten eines zwischen zwei parallelen Holmen aufgespannten biegeschlaffen Tuches unter dem Einfluß der Strömungskräfte wird für die Fälle der Anströmung mit Überschall- und mit Hyperschallgeschwindigkeit sowie mit schallnaher Überschallgeschwindigkeit angegeben. Aus den allgemeinen Beziehungen für das Kräftegleichgewicht am Tuch und aus den Gleichungen für die Druckkräfte infolge der Strömung erhält man unter der Voraussetzung kleiner Anstellwinkel und schwacher Profilwölbungen in allen Fällen einfache gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung für die Profilneigung. Bei Überschallgeschwindigkeit ergibt sich die Druckdifferenz am Tuch aus der Umströmung schlanker Profile unter der Verwendung linearisierter Gleichungen. Im Hyperschallbereich wird die sogenannte tangent-wedge-Methode benutzt. Im schallnahen Gebiet erhält man die benötigten Druckkoeffizienten aus Entwicklungen derPrandtl-Meyer-Expansion und der Stoßpolarengleichung für Schallnähe. Das Verhalten der Profilkontur in Abhängigkeit von den Parametern Anstellwinkel, Tuchlänge und Anströmmachzahl wird diskutiert, ebenso das des Auftriebs und des Widerstandes. Es ergeben sich sowohl in den Konturformen als auch in deren Stabilitätsverhalten Unterschiede beim Überschall- und beim Hyperschallgebiet gegenüber dem Unterschall-und dem Schallnähebereich. Der Einfluß des Tucheigengewichtes wird angegeben. Die aus den vorgenommenen Vernachlässigungen herrührenden Grenzen der Anwendungsmöglichkeit der vorliegenden Näherungen werden abgesteckt.

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Summary The behavior of a membrane (sail) stretched between parallel spars is investigated for supersonic and hypersonic flow and for the near-sonic supersonic flow. In all three cases simple ordinary differential equations of order one for the slope of the profile are obtained from equilibrium conditions for the sail and from the pressure equations. Small angles of attack and small slopes are assumed. In the supersonic region the pressure difference at the sail follows from the theory of linearized flow around slender profiles. In the hypersonic region the so-called tangent-wedge method is used. In the transonic region pressure coefficients are obtained from evolutions of thePrandtl-Meyer expansion and the shock polar. Dependence of the contour of the profile on the angle of attack, the length of the sail and the free-stream Mach number is discussed, together with the corresponding lift and drag. Differences in both the form of the contour and in its stability behavior between the supersonic and hypersonic flow and the subsonic and transonic region are found. The influence of the weight of the sail is investigated and bounds for the applicability of the approximations are given.

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Mit 6 Textabbildungen

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Lehrstuhl für Strömungslehre der T. H. Karlsruhe.

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Die Abschnitte 1–4 stammen vom ersten Verfasser, während Abschnitt 5 gemeinsam von beiden Verfassern bearbeitet worden ist.     

Array of periodic curvilinear cracks in an infinite isotropic medium

Summary The problem of an array of periodic curvilinear cracks in an infinite isotropic medium under conditions of generalized plane stress or plane strain is reduced, by using the method of complex potentials of Muskhelishvili [1], to a complex Cauchy-type singular integral equation on one of the cracks, which can be further numerically solved by reduction to a system of two real Cauchytype singular integral equations and application of the Lobatto-Chebyshev method of numerical solution of such equations. Applications to the cases of arrays of straight or arc-shaped cracks are also given.

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Anordnung von periodisch gekrümmten Rissen in einem unendlichen, isotropen Medium.

Zusammenfassung Das Problem der Anordnung periodisch gekrümmter Risse in einem unendlichen, isotropen Medium wird untersucht. Der ebene Spannungs-bzw. Dehnungszustand wird für einen der Risse mit Hilfe komplexer Potentiale des Muskhelishvilischen Verfahrens in eine komplexe Cauchysche singuläre Integralgleichung reduziert. Die numerische Lösung des Problems erfolgt durch eine weitere Reduktion in ein System mit zwei Cauchyschen singulären Integralgleichungen unter Anwendung des Lobatto-Chebyshevschen Verfahrens. Beispiele für den Fall der Anordnung gerader wie auch bogenförmiger Risse werden angegeben.

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With 9 Figures     

A unified approach to adaptive control of average reward Markov decision processes

Summary The classical procedure for the adaptive control of average reward Markov decision processes with an unknown parameter chooses at each stage a decision which is optimal for the average reward problem with the presently estimated parameter. But in many cases it is inefficient or impossible to compute each time the long run optimal policy. So successive approximation methods were proposed and investigated. We present a unifying and generalizing approach including both types of methods mentioned above and generating a lot of new procedures, too.

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Zusammenfassung Das klassische Verfahren für die adaptive Steuerung von Markovschen Entscheidungsprozessen mit einem unbekannten Parameter und Durchschnittsgewinn-Kriterium wählt auf jeder Stufe eine Entscheidung, die durchschnittsoptimal ist für das Problem mit dem gerade geschätzten Parameter. Aber in vielen Fällen ist es nicht effektiv oder unmöglich, jeweils die optimale Politik für unendlichen Planungshorizont zu berechnen. Deshalb wurden Verfahren der sukzessiven Approximation vorgeschlagen und untersucht. Hier wird nun ein allgemeiner Ansatz vorgestellt, der die beiden genannten Methoden enthält und darüber hinaus den Rahmen für eine Reihe weiterer Verfahren bietet.

     

Strenge Schranken exakter Lösungen Prandtlscher Grenzschichtprobleme

Zusammenfassung Mit Hilfe des Satzes vonNagumo-Westphal über parabolische Differentialoperatoren werden Näherungslösungen desPrandtlschen Grenzschichtproblemes im inkompressiblen, stationären, ebenen laminaren Fall konstruiert, welche als Schranken unter- bzw. oberhalb der exakten Lösung liegen. Damit ergeben sich insbesondere Schranken für den Wandreibungskoeffizienten.

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Summary By use of the theorem byNagumo andWestphal on parabolic differential operators, approximate solutions ofPrandtl's boundary layer problem are found which represent upper and lower bounds, respectively, of the exact solution. In particular, this yields bounds for the friction coefficient. The study pertains to the steady laminar planar flow of incompressible fluids.

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Mit 11 Textabbildungen

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Diese Arbeit ist eine verkürzte Fassung der von der Fakultät für Naturwissenschaften I der Technischen Hochschule Karlsruhe angenommenen Habilitationsschrift des Verfassers. Zusätze zur ursprünglich eingereichten Fassung sind in Teilen des Abschn. 10 enthalten. Der Verfasser dankt den beiden Referenten, Herrn Professor Dr.K. Nickel und Herrn Professor Dr.H. Görtler, für ihr Interesse an der Arbeit, die im Institut für Angewandte Mathematik und Mechanik der DVL in Freiburg i. Br. (Leiter: Prof. Dr.H. Görtler) entstanden ist. Der Verfasser schuldet besonderen Dank Herrn Professor Dr.Nickel für viele hilfreiche Diskussionen und Herrn Dipl.-Phys.W. Körner (DVL, Freiburg) für die numerische Durchführung der Beispiele unter Verwendung der Siemens-2002-Datenverarbeitungsanlage im Institut für Angewandte Mathematik der Universität Freiburg i. Br.     

On a lower bound theorem for the buckling load of elastic beams subjected to nonconservative,compressive follower loads

Summary For beams loaded withuniformly distributed follower forces, there exists a lower bound theorem, which allows to evaluate the actual buckling load approximately by means of the buckling load of the same beam loaded correspondingly with conservative unidirectional forces of the same magnitude. In this paper it is shown that the theorem remains valid for monotonically decreasing or at least not increasing follower forces. Moreover, a modified lower bound theorem can be formulated for follower loads which monotonically increase over a part or even over the whole length of the beam. In that case, a lower bound curve has to be constructed using the eigenvalue curve of the conservatively loaded beam. The intersection of the lower bound curve with the vertical axis yields a lower bound for the buckling load of the nonconservatively loaded beam.

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Zu einem Satz über die untere Schranke der Knicklast elastischer, durch Folgekräfte belasteter Stäbe

Zusammenfassung Ein für Stäbe untergleichförmig verteilten Folgekräften gültiger Satz für die untere Schranke der Knicklast gestattet die näherungsweise Ermittlung der tatsächlichen Knicklast aus der desselben Stabes unter richtungstreuer Belastung derselben Größe. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß dieser Satz auch für monoton abnehmende oder zumindest nicht zunehmende Folgekräfte gilt. Weiters kann ein modifizierter Satz für über einen Teil des Stabes oder die ganze Stablänge monoton zunehemende Folgekräfte formuliert werden. In diesem Fall muß unter Verwendung der Eigenwertkurve des konservativ belasteten Stabes eine untere Grenzkurve ermittelt werden. Der Schnittpunkt dieser Kurve mit der vertikalen Achse ergibt eine untere Schranke der Knicklast des nichtkonservativ belasteten Stabes.

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With 8 Fugures     

Implicit enumeration algorithms for the Set-Partitioning Problem

Summary A new column enumeration algorithm for solving the Set-Partitioning Problem is presented. It is not based on the staircase form of the coefficient matrix. Rather, it uses a preordering of the variables with respect to their cost of covering one row that is a supposition of a new strong lower bound concept. The enumeration process itself is organized similar to a general branch-and-bound concept. The performance of the algorithm is evaluated on the basis of a systematic comparison with different variants of the wellknown algorithms by Pierce and Garfinkel-Nemhauser. The computational experiences indicate that the new algorithm is superior for problems with moderatly dense coefficient matrices.

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Zusammenfassung In diesem Artikel wird ein neuer spaltenenumerierender Algorithmus zur Lösung des Set-Partitioning-Problems beschrieben, der nicht die übliche treppenförmige Anordnung der Koeffizientenmatrix benutzt. Das Verfahren geht vielmehr von einer Sortierung der Variablen nach aufsteigenden Kosten zur Bedeckung einer Zeile aus. Unter der Voraussetzung einer solchen Ordnung läßt sich dann eine scharfe untere Schranke berechnen. Die Enumeration selber wird ähnlich wie in einem generellen Branch-and-Bound-Verfahren vollzogen. Die Güte dieses Algorithmus wird auf der Grundlage eines systematischen Vergleichs mit verschiedenen Varianten der bekannten Verfahren von Pierce und Garfinkel-Nemhauser überprüft. Die Ergebnisse zeigen, daß der neue Algorithmus für Probleme mit mittlerer Dichte der Koeffizientenmatrix überlegen ist.

     

Nicht angestellte pulsierende Körper kleiner Streckung in Unter- und Überschallströmung

Zusammenfassung Es wird eine Näherungstheorie zur Berechnung der linearisierten Unter- und Überschallströmung um pulsierende Körper kleiner Streckung entwickelt. Das Strömungsfeld hat eine ähnliche Struktur wie die vonK. Oswatitsch undF. Keune angegebene stationäre Strömung um Körper kleiner Streckung für den Anstellwinkel Null. Der Geltungsbereich der Näherungstheorie wird durch Vergleich mit exakten Lösungen der instationären, linearisierten Potentialgleichung erläutert.

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Summary An approximation theory is developed for the calculation of linearized subsonic and supersonic flow over pulsating low aspect ratio bodies. The resulting flow field is shown to exhibit a similar structure as found byK. Oswatitsch andF. Keune for steady flow around low aspect ratio bodies at zero angle of attack. The range of validity of this approximation theory is demonstrated by comparing it with exact solutions of the unsteady linearized potential equation.

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Mit 10 Textabbildungen     

An approximate technique for evaluating the closures due to mining

Summary A modified form of the Kerr foundation model is used to obtain closed form analytical expressions for the closure between opposing points in the roof and the floor of a mining excavation. The results are found to closely agree with both a finite element analysis, and also with exprimentally determined data.

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Eine Näherungsmethode für die Abschätzung des Verschließens im Bergbau

Zusammenfassung Eine modifizierte Form des Kerrschen Gründungsmodells wird verwendet, um einen geschlossenen analytischen Ausdruck für das Verschließen zwischen entgegengesetzten Punkten der Decke und des Bodens eines Bergwerkschachtes zu erhalten. Die Ergebnisse stimmen gut mit einer Finite-Element-Methode und ebenso mit experimentell ermittelten Daten überein.

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With 5 Figures     

On the method of Trefftz in the light of a generalized variational principle

Summary An extended version of the Principle of Virtual Work is being used to derive Trefftz' equations. This new approach is superior to the classical one, since it allows to include nonconservative problems. In the case of such problems involving nonconservative forces, one may have to use so called Quasi-Trefftz' equations instead of the simpler Trefftz' equations. In order to show the applicability of the Quasi-Trefftz equations, a proof of convergence is given for a rather general example.

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Zur Trefftzschen Methode im Licht eines verallgemeinerten Variationsprinzips

Zusammenfassung Eine erweiterte Fassung des Prinzips der virtuellen Arbeit wird für die Herleitung der Trefftzschen Gleichungen benutzt. Das hat gegenüber der klassischen Methode den Vorteil, daß nichtkonservative Probleme in den Kreis der Betrachtungen einbezogen werden können. Allerdings hat man in dem Fall, daß nichtkonservative Kräfte auftreten, mit sogenannten Quasi-Trefftzschen Gleichungen zu arbeiten, die etwas komplizierter als die klassischen Trefftzschen Gleichungen sind. Um die Zulässigkeit der Quasi-Trefftzschen Gleichungen zu zeigen, wird für ein recht allgemeines Beispiel ein Konvergenzbeweis geführt.

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Wit 3 Figures

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Dedicated to ProfessorJ. Weissinger in honour of his 60th birthday.     

The wave pattern of a moving pressure point

Summary The wave pattern is obtained by a direct asymptotic method, i.e. the expected asymptotic form of the solution is substituted directly in the governing equations. An equation for the asymptotic phase function is obtained and it is solved exactly for a pressure point moving with constant velocity along a straight course on water of infinite depth, and it is solved approximately for a pressure point moving with large constant velocity along a straight course on water of finite depth.

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Das Wellenbild einer bewegten Drucksingularität

Zusammenfassung Das Wellenbild zufolge einer bewegten Deltafunktion als Druckverteilung wird durch eine direkte asymptotische Methode erhalten, d. h. die erwartete asymptotische Form der Lösung wird direkt in die Grundgleichungen eingesetzt. Für die asymptotische Phasenfunktion wird eine Gleichung erhalten und für den Fall einer auf geradlinigem Kurs mit konstanter Geschwindigkeit in unendlich tiefem Wasser bewegten Drucksingularität exakt gelöst. Für den Fall einer auf geradlinigem Kurs mit großer konstanter Geschwindigkeit im Wasser endlicher Tiefe bewegten Drucksingularität wird diese Gleichung näherungsweise gelöst.

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With 2 Figures     

Heat transfer in the stagnation point flow of a micropolar fluid

Summary Similar solutions of the equations describing the thermal boundary layer of a micropolar fluid on a plane wall are found to exist for the stagnation point flow when the wall temperature variation is parabolic. The two types of boundary conditions used for microrotation are: (a) the relative spin of the particles on the boundary is related to the skew symmetric part of the stress on the boundary by a parameter which is a measure of the concentration of microelements, and (b) the couple stress on the boundary is related to the relative spin of the particles on the boundary by a friction factor which accounts for the rotational slip of the fluid along the boundary. The velocity, microrotation and temperature fields have been presented graphically for various values of the boundary condition parameters. The skin friction coefficient, wall couple stress coefficient, displacement and momentum thicknesses and rate of heat transfer have been tabulated. A comparison with the corresponding results for a Newtonian fluid has been made.

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Wärmeübergang in der Staupunktsströmung eines mikropolaren Fluids

Zusammenfassung Es werden ähnliche Lösungen der Gleichungen, die die thermische Randschicht eines mikropolaren Fluids längs einer ebenen Wand beschreiben, für die Staupunktsströmung bei parabolischer Änderung der Wandtemperatur gefunden. Zwei Typen von Randbedingungen werden für die Mikrorotation verwendet: (a) Der relative Spin der Teilchen am Rand ist verknüpft mit dem schiefsymmetrischen Anteil der Spannungen am Rand über einen Parameter, der ein Maß für die Konzentration der Mikroelemente darstellt. (b) Die Momentenspannung an der Berandung ist mit dem relativen Spin der Teilchen am Rand mit einem Reibungsfaktor verknüpft, der den Drehslip des Fluids längs der Berandung beschreibt. Die Geschwindigkeits-, Mikrorotations- und Temperaturfelder werden graphisch für verschiedene Werte des Parameters für die Randbedingungen dargestellt. Der Wandreibungskoeffizient, der Koeffizient der Wandmomentenspannung, Verschiebung und Impulsflußdicke und die Wärmeübergangsrate werden tabelliert. Ein Vergleich mit den entsprechenden Ergebnissen der Newtonschen Flüssigkeit wird angestellt.

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With 4 Figures     

Oscilltions of a thick rectangular strip initially stressed by a finite bi-axial compression

Summary Small oscillations and stability of a rectangular strip subject to a plane-strain finite homogeneous deformation produced by a uniformly distributed bi-axial load are investigated, two opposite faces of the strip being assumed to remain plane and move in a translatory manner. The material is assumed to be hyperelastic and incompressible. The governing equations consist of two equations of motion and a condition of incompressibility. Fulfillment of the boundary conditions results in a secular equation associated with existence of nontrivial configurations of the strip. By assuming aMooney-Rivlin constitutive equation antisymmetric modes are analyzed in some detail. In an illustrative example an explicit relation between the slenderness of the strip and the critical load as well the dependence of the speed of wave propagation on the degree of finite initial deformation are found.

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Zusammenfassung Kleine Schwingungen und Stabilität eines rechteckigen Streifens, der einem ebenen, homogenen Verzerrungszustand mit endlichen Deformationen unterworfen ist, werden untersucht. Der Verzerrungszustand wird durch eine gleichmäßig verteilte zweiachsige Belastung erzeugt, wobei angenommen wird, daß zwei gegenüber liegende Seiten des Streifens eben bleiben und sich translatorisch bewegen. Das Material wird als hyperelastisch und inkompressibel angesehen. Die Grundgleichungen bestehen aus zwei Bewegungsgleichungen und einer Bedingung für die Inkompressibilität. Die Randbedingungen führen in Verbindung mit der Existenz nichttrivialer Lösungen auf eine Säkulargleichung. Unter Annahme einerMooney-Rivlin-Zustandsgleichung werden antisymmetrische Schwingungsformen genauer untersucht. In einem Anwendungsbeispiel wird eine explizite Beziehung zwischen der Schlankheit des Streifens und der kritischen Last sowie für die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen von der Größe der Vorverformung angegeben.

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With 4 Figures

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The results presented in this paper were obtained in the course of research supported by a grant of the National Science Foundation.     

A comparison of rate sensitive constitutive equations under plane stress conditions

Summary Numerical dynamic solutions of the circular hole enlargement problem for a thin plate, due to a constant acceleration imposed at the hole boundary, have been used for comparing different models for describing rate sensitive visco-plastic materials. In the constitutive equations that have been compared, the visco-plastic part of the strain rate is an exponential, linear, cubic and fifth power function of the overstress above the static stress-strain curve. Stress histories and the variation of the plate thickness, at the hole radius, have been computed for different rates of loading, and for a wide range of the parameter describing the visco-plastic behaviour of the material. The relative usefulness of the different models, for a complex state of stress and strain, has been assessed by comparing the numerical solutions for the different models.

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Ein Vergleich geschwindigkeitsabhängiger Werkstoffgleichungen für den ebenen Spannungszustand

Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen für das dynamische Problem der Aufweitung eines Kreislochs in einer dünnen Scheibe, wobei eine konstante Beschleunigung am Lochrand vorgeschrieben wird, verwendet, um verschiedene, geschwindigkeitsabhängige viskoplastische Materialmodelle zu vergleichen. In den miteinander verglichenen Materialgesetzen ist der viskoplastische Teil der Verzerrungsgeschwindigkeit eine Funktion, die entweder exponentiell, linear, kubisch oder fünften Grades der Spannungszunahme gegenüber der statischen Spannungs-Dehnungskurve ist. Die Spannungsgeschichte und die Änderung der Plattendicke genommen am Lochumfang werden für verschiedene Belastungsgeschwindigkeiten und für einen weiten Bereich der Parameter des viskoplastischen Materialverhaltens berechnet. Die relative Brauchbarkeit der verschiedenen Modelle für komplizierte Spannungs- und Verformungszustände wird durch einen Vergleich der numerischen Lösungen abgeschätzt.

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With 11 Figures

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Department of Mechanical Engineering, Institute of Technology Banaras Hindu University, Varanasi, India     

Closed-form solutions for finite length crack moving in a strip under anti-plane shear stress

Summary In this paper exact expressions for the anti-plane dynamic stress distributions around finite length cracks propagating with constant velocity in infinitely long finite width strips are determined. Two cases of practical importance are investigated. Firstly, the lateral boundaries of the strip are clamped and displaced in equal and opposite directions, to produce anti-plane shear resulting in a tearing motion along the leading edge of the crack and, secondly, the lateral boundaries of the strip are subjected to shearing stresses. Employing Fourier transforms the solution of each problem is reduced to solving a pair of dual integral equations. Closed-form solutions of these integral equations are obtained leading to exact expressions for the stress intensity factors. Numerical results are presented in graphical form.

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Geschlossene Lösungen für einen Riß endlicher Länge, der sich in einem unter antiplaner Schubspannung stehenden Streifen bewegt

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden exakte Ausdrücke für die antiplanen, dynamischen Spannungsverteilungen um Risse endlicher Länge, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in einem unendlich langen Streifen begrenzter Breite ausbreiten, bestimmt. Zwei Fälle von praktischer Bedeutung werden untersucht. Erstens werden die Seitenränder des Streifens eingespannt und sowohl in dieser als auch in entgegengesetzter Richtung versetzt, um einen antiplanen Schub zu erzeugen, der eine Aufreißbewegung längs der Vorderkante des Risses bewirkt und zweitens werden die Seitenränder des Streifens einer Schubspannung unterworfen. Die Lösung jedes Problems wird durch die Verwendung der Fouriertransformationen auf die Lösung zweier dualer Integralgleichungen reduziert. Es werden Lösungen dieser Integralgleichungen in geschlossener Form erhalten, die auf exakte Ausdrücke für den Spannungsintensitätsfaktor führen. Numerische Ergebnisse werden in graphischer Form gezeigt.

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With 3 Figures