球域Bézier曲面的精确边界及其多项式逼近

为全面控制产品表面与理论曲面之间的偏差,引入球域Bézier曲面的定义,作为圆域Bézier曲线在三维空间的推广形式.根据经典微分几何中双参数曲面族的包络原理,运用球面参数坐标和Cramer法则,给出了球域Bézier曲面边界的精确数学显式表达式.依据函数逼近论中Legendre多项式的正交性,得到了采用多项式形式表示的球域Bézier曲面的精确边界的最佳平方逼近.进一步利用Legendre基与Bernstein基的转换公式,采用计算机辅助设计（CAD）系统中常用的Bézier形式表示球域Bézier曲面的近似边界.该算法表示简单,易于实现.通过具体实例对逼近效果进行演示与分析,结果表明该算法的逼近误差小,效果好.     

球域Bézier曲线的边界

针对几何造型和产品测量中的有效误差分析和误差控制,提出了球域Bézier曲线.借助于微分几何中空间曲面族的包络算法和变量替换方法,求得球域Bézier曲线的精确边界表示;进一步利用函数逼近论中Legendre多项式的最佳一致平方逼近方法,把球域Bézier曲线的边界曲面近似地表示为一张Bézier曲面或分片Bézier曲面的组合.利用球面族的隐式方程,得到球域Bézier曲线的边界曲面的隐式方程,进而把边界曲面参数化为显式方程.理论推导和实例运算结果表明,球域Bézier曲线是一种表达方式简洁、存储空间节省、运算速度较快的误差分析和误差控制工具.     

两相邻CE-Bézier曲线的近似合并

为了进一步丰富和发展CE Bézier曲线的相关理论,针对该曲线的近似合并问题,提出了一种将两相邻CE Bézier曲线合并成1条CE Bézier曲线的方法. 该方法通过将曲线拟合方法与广义逆矩阵理论相结合,直接得到合并后CE Bézier曲线控制顶点的显示表达式,同时给出了具体的合并误差. 实验结果表明,新方法不仅可获得较好的合并效果,而且具有易于实现、误差计算简单的特点,可广泛应用于计算机辅助设计中对曲线的近似合并.     

有理Bézier曲线的多项式逼近新方法

针对有理曲线多项式Hybrid逼近未必收敛及计算较繁的局限性,给出了以原有理Bézier曲线之升阶曲线的控制顶点为顶点的多项式Bézier曲线,来逼近原有理曲线的一类简单逼近方法.与此同时,为追求较高逼近速度,导出了有理Bézier曲线多项式逼近的一个矛盾方程组,并进一步基于广义逆矩阵理论,给出了其用矩阵表示的最小二乘解.最后借助以原有理曲线权因子为Bézier纵标的多项式的升阶,使得多项式逼近的曲线次数保持不变的同时大幅度提高了逼近精度．     

(3,4)次可展Bézier曲面及其性质

在两个平行平面上分别选取 3次和 4次 Bézier曲线以生成直纹面 ,得到了此直纹面为可展曲面时 ,两个控制多边形应该满足的相对几何位置关系 ,给出了设计曲线所需满足的充分必要条件以及关于这种可展曲面上平行截曲线的凸性、拐点及奇异性 (尖点 )。最后又给出了两条边界插值于指定型值点列的 G1组合可展 Bézier曲面的构造方法。     

（2，3）次可展Bézier曲面的几何构造

对于可展 Bézier曲面 ,当设计曲线和伴随曲线分别在两个平行平面上 ,且分别为二、三次Bézier曲线时 ,得到了这两条曲线控制顶点之间的几何位置关系 ,从而给出了相应的 (2 ,3 )次可展Bézier曲面和合成可展曲面的几何构造方法 ,还讨论了匹配函数系数对于伴随曲线几何性态的影响。     

可调的类三次Bézier三角插值曲线

Bézier曲线是计算机辅助几何设计中的一类重要曲线,以可调的类三次Bézier三角曲线为例,对可调的类三次Bézier三角曲线的性质进行了分析,并由此推出可调的类三次Bézier三角曲线比三次Bézier曲线更光滑.然后,构造了可调的类三次Bézier三角插值曲线.该曲线继承了Bézier曲线的一些优良特性,并能充分克服Bézier曲线不能精确表示二次曲线曲面以及某些超越曲线曲面的弱点.最后实例表明了新的插值曲线应用于几何造型的有效性.     

具有线性分母的有理三次插值样条的逼近问题

有理插值样条因其具有可任意选择的参数,在曲线、曲面的控制设计中显示了其它一般样条曲线所不具有的可约束性、也正是因为其具有参数,给其逼近性质的讨论增加了困难。     

空间趋向曲线引导的网格曲面拼接

为了解决三维造型中的曲面拼接问题,提出基于空间趋向曲线的网格曲面拼接方法.该方法有效地结合边界曲面的延伸信息,简单高效地构造光滑的过渡曲面;通过对两待拼接曲面边界点参数归一化,由参数聚类,建立曲面边界之间的匹配点对关系;在每对匹配点对之间构建由Bézier表征的空间趋向曲线,使空间曲线在对应点对上与待拼接曲面保持二阶连续;对空间趋向曲线族进行离散化和三角化,得到光滑的过渡曲面.结果表明,与其他传统方法比较,该方法在曲面拼接应用中具有高效可靠的优势.     

三次C-Bézier螺线构造及其在道路设计中的应用

针对道路设计的工程需要,构造曲率单调且保号的平面三次C-Bzier螺线.利用这条螺线,详细推导在道路设计等工业应用中直线和圆弧之间的过渡曲线.如同工程中使用回旋曲线过渡一样,直线和圆弧之间用一条螺线过渡,圆弧与圆弧之间用一对C型或S型螺线过渡,两条直线之间用一对螺线过渡,当圆包含圆弧时用一条螺线过渡.给出在前4种情况下螺线的具体表达式,第5种情况不一定有解.由于直线、圆弧能够用C-Bzier曲线精确表示,可以在C-Bzier模式下统一处理整条道路设计问题,避免了以往采用Fresnel积分所表示的回旋曲线不适用于计算机辅助设计系统的情况.     

权因子优化的有理Bézier曲线显式约束降多阶

为了保持有理Bézier曲线权因子的正性,提出一种有理Bézier曲线带端点约束条件的一次降多阶算法.通过给出有理Bézier曲线的降阶误差估计,揭示了原曲线权因子和降阶误差之间的关系;利用Mbius变换对权因子优化,通过缩小原曲线权因子之间的比值来缩小降阶误差;利用已有的Bézier曲线降阶算法和有理Bézier曲线的齐次形式,分别求得降阶曲线的控制顶点和权因子.通过数值实例将该算法与已有算法比较,结果表明:该算法具有保端点高阶插值、一次降多阶、显式表示、保权因子正性、逼近误差小等优点.     

有理Bézier曲线的权因子与参数射影变换

给出了有理n次Bézier曲线上点的参数与权因子之间的对应关系,导出了有理n次Bézier曲线的n-1个形状不变因子。得到了与权因子变换对参数化有同样影响的参数射影变换,2种变换都不改变曲线的形状和首末端点,仅仅改变了曲线上的点与定义域内点的对应关系。     

端点约束加权正交基与Bernstein基的转换及应用

为了在计算机辅助几何设计(CAGD)中,有效地求解在Jacobi加权L2范数下Bézier曲线约束最佳降多阶逼近问题,推导具有端点约束特征的加权正交基与Bernstein基之间的转换矩阵.利用Bernstein基构造端点约束加权正交基,给出约束加权正交基与Bernstein基的相互转换矩阵,利用该矩阵给出具体的端点约束最佳降多阶矩阵和该降阶逼近的可预报的误差公式,提出在L2、L1、L∞范数下适合于最佳降阶逼近的相应Jacobi基的权函数的选取方案.通过具体实例对逼近算法进行演示与分析.结果表明,该算法表示简单,易于实现.     

三次非均匀样条上可展面的计算机辅助设计

利用3D射影空间中点和平面间的对偶性可以得到对可展面的一种新的表示,这种表示直接、简单、有效。用这种方式,一个可展面可利用具有非均匀B样条基的控制平面来设计,这种设计方法具有现存曲线设计的特征。本沿用Bodduluri和Ravani的基本思想,把其对三次均匀可展面的设计推广到三次非均匀可展面的设计,并以不同的以中心点表示控制平面的方式对曲面的设计进行了较详细的实例分析,实例表明设计结果良好。     

Method of designing developable surface based on engineering requirement

The paper deals with the principle of envelope of a one-parameter plane family to design developable surfaces. Three methods of designing developable surfaces are presented. They are designing a developable surface based on one curve on it and its normal line, designing a developable surface based on two curves on it and designing a developable surface based on one curve and one surface. They meet the requirements of engineering fields.     

三次NURB曲线的一个转换公式

本文推导了三次非均匀有理B样条曲线与三次有理Bezier曲线之间相互转换的关系式，并由此得出三次非均匀有理B样条曲线表示圆弧曲线的算法及其点几何性质，这些结果在计算机辅助几何设计及计算机图形学中是有用的。     

一种快速的NURBS曲线修正方法

对三次NURBS(Non-uniform rational B-splines)曲线与型值点的表达式进行分析,提出一种NURBS曲线的局部修正算法,应用该算法移动NURBS曲线上的型值点修改曲线时,只有相应四段曲线段随型值点的移动发生变化.因此,有极好的局部性,运行速度也快,修改后的曲线依旧保持是NURBS曲线,方便了设计人员的操作.故该方法可以在CAD软件中应用,而且此方法可以直接推广到曲面情况.