不含3-圈和4-圈的平面图的线性2-荫度

线性森林是所有分支都为路的图,图G的线性荫度la(G)也就是把图的边集分解为互不相交的线性森林的最少数量k.设G为不合3-圈和4-圈的平面图,则la2(G)≤[△(G)+1/2]+2.     

不含四圈,三圈不重点的平面图全染色的一个结论

设G是一个图,Δ（G）是G的最大度.本文对3-圈不重点的,且不含从4到k圈的平面图,得出的结论有：如果（Δ,k）分别是（6,4）,（5,5）,（4,11）,则G的全染色数是Δ（G）＋1.     

关于3-圈不重点的平面图全染色的一个结论

给定一个图G，G的全k可染色是指至多用k种颜色，对G的顶点和边同时进行染色，使得相邻的或相关联的两个元素（点和边）不染同一颜色。图G的全染色数xτ（G）是指使G全k染色的最小整数k。△（G）是G的最大度，显然任何一个图不会是全△可染的，但是Vizing猜测任何一个图一定是全△＋2可染的。而这个全染色猜想，对平面图也仍是没有得到解决的。本文利用欧拉公式和重新分配的方法，对3-圈不重点的平面图进行了讨论，得出结论：最大度△≥8的任何两个3-圈不重点的平面图一定是全△＋1可染的。     

某些图的线性荫度问题

线性森林是所有分支都为路的图,图G的线性荫度la(G)也就是把图的边集分解为互不相交的线性森林的最少数量k.一个图的线性荫度或者为[Δ(G)/2]或者为[Δ(G)+1/2].如果一个图G的线性荫度为[Δ(G)2],则称此图是第一类的;否则称为是第二类的.这里给出了关于某些第二类图的一个必要条件.     

直径、度和线图中的次泛圈性

证明了：给定一个最小边度至少为8的图G,如果G满足下列条件之一：（i）对于G的任意两条边｛e,f｝有d（e,f）＜［（△（G）＋1）／2］;（ii）对于G的任意两个顶点｛u,v｝有d（u,v）＜［（△（G）＋3）／2］;则G的线图L（G）是次泛圈的且所给的条件都是最好可能的．     

4-连通、1-坚韧图中的控制圈

设G为4-连通1-坚韧的n阶非Hamilton图,C为G的最长圈,若σ5(G)≥n C(G)-1,则C是G的控制圈.     

图中k个相互独立的4-圈

通过运用图论中关于度和圈的理论知识，论证：如果σ2(G)≥6k，k∈N^ ，则图G(|G =4k)有一个支撑子图含k个相互独立的4-圈；设G=(V1，V2；E)是一个二分图，满足|V1 |=|V2|=2k，k∈N^ ，如果σ1，1(G)≥6k 1，则G包含k个相互独立的4-圈，这是对图中存在k-1个相互独立的4-圈和一条长为4的路这一结论的改进，并在一定程度上为Erdos和Faudree猜想的解决奠定了基础。     

在两个圈的直积图上的平衡二元映射

对于直积图G=Cm□Cn,f：V（G）→Z2={0,1}是任意一个定义在顶点集上的二元映射,定义110=f1（0）,V1=f1（1）。若│┃V1┃-V0┃-┃│≤1,则称映射,是平衡的。f可以自然诱导出一个定义在边集E（G）上的二元映射以：E（G）→Z2,且fE（xy）=f（x）＋f（y）。令E0=fE1（0）,E1=fE-1（1）,那么D（G,f）=┃E1（f）┃-┃E0（f）┃。文章通过在两个圈的直积图Cm□Cn上构造一系列平衡二元映射的方法,完全确定了在平衡映射下的边差集D（Cm□Gn）。     

不含四圈，三圈不重点的平面图全染色的一个结论

设G是一个图，Δ(G)是G的最大度.本文对3 圈不重点的，且不含从4到k圈的平面图，得出的结论有：如果(Δ,k)分别是（6，4），（5，5），（4，11），则G的全染色数是Δ(G)+1.     

围长为4的无7-和8-圈的平面图的3-选色

图G的选色数,记为XL(G),定义为最小的自然数k,使得满足:对任一顶点给定k种颜色的列表,且染色时每个顶点的颜色只能从自身的颜色列表中选择时,总存在图G顶点的一个正常着色.文章证明了每个围长至少为4且不含7-圈和8-圈的平面图是3-可选择的.     

Sm∨Fn的全色数

设G（V,E）是阶数至少是2的简单连通图,k是正整数,若厂是从V（G）∪E（G）到{1,2,…,k}的一个映射,使得：对于任意的uv,vw∈E（G）,u≠w,有f（uv）≠f（vw）;且对于任意的uv∈E（G）,u≠v,有f（u）≠f（v）,f（u）≠f（uv）,f（v）≠f（uv）,则称f为G的一个k-全染色（简记成k-TC of G）．而Xt（G）=min{k｜k—TC of G},称为G的全色数．设G和H是点边都不相交的简单图,V（G∨H）=V（G）∪V（H）,E（G∨H）=E（G）∪E（H）∪{uv｜u∈V（G）,v∈V（H）},则称G∨H是G与H的联图。给出m＋1阶星和n＋1阶扇的联图的全色数。     

点可区别全色数的一个上界

设G是简单图,f是从V（G）UE（G）到{1,2,…,k）的一个映射．对每个u∈y（G）,令c（u）={f（u）}v∈V（G）,uv∈ E（G）}．如果,是k-正常全染色,且对任意u,v∈V（G）（u≠v）,有c（u）≠c（v）,那么称f为图G的k-点可区别全染色（简记为k-VDTC）．数χvt（G）=min{k｜G-有k—VDTC}称为图G的点可区别全色数．通过应用概率方法,证明了对任意最大度A≥2的图G,χvt（G）≤32（△＋1）．     

路核和路剖分

改进了J.Edunbar和M.Frick所得的结果。通过找每一个围长大于(n-3)的图的一个Pn+1-半核,找到它的Pn+1-核,这样就可以对图进行剖分。从而得到:如果G是围长大于n-3的图,且τ(G)=a+b(其中1≤a≤b),那么G有一个(a,b)-剖分。     

图的谱半径的一些下界

利用矩阵的相似变换,研究了简单连通图的谱半径的可达下界,得到一个新的下界ρ（G）≥δ1＋t-s＋√（s＋t-δ1）2＋4s（δ2-t）/2,等号成立当且仅当G=~G1 G2,其中G1为n-i阶（δ1-s）-正则图,G2为i阶t-正则图。     

棒棒糖图的Merrifield—Simmons和Hosoya指数

i（G）表示图G的Merrifield-Simmons指数,定义为图G的独立点集个数;z（G）表示图G的Hosoya指数,m（G,k）表示G的k-匹配数,则z（G）是所有的m（G,k）的总和（1≤k≤[n/2]）,其中n是G的顶点数．给出n阶棒棒糖图Ln．k的Merrifield-Simmons指数和Hosoya指数以及它关Merrifield—Simmons指数和Hosoya指数的一个排序．     

一类Baer半单纯环的交换性

对于满足一定条件的Baer半单纯环讨论了其交换性,得到了两个结论：（1）设R为Baer半单纯环,C为R的中心,G（a,b）（a,b∈R）是由a,b生成的乘法子半群,若有自然数P,对任意a,b∈R,恒有小于e的自然数n=n（n,6）〉1,使对于任意x,y∈G（a,b）,有（xy）″-x″y″∈C,则R为交换环。（2）设R为Baer半单纯环,C为R之中心,若有自然数e,对任意a,b∈R,恒有自然数k=n（a,b）,n（a,b）＋1,n（a,b）＋2≤e,使得（ab）^k-a^kb^k∈C,则R为交换环。     

关于Diophantine方程x^3±8=Dy^2

利用数论中同余的性质研究丢番图方程x3±8=Dy2（D=D1p,D是无平方因子的正整数,其中D1是不能被3或6k＋1之形的素数整除的正整数,p是正奇素数）的解的情况,证明了当D1=3,7（mod8）,p=3（8k＋7）（8k＋8）＋1时,方程x3＋8=Dy2无正整数解;当D1=7（mod8）,p=3（8k＋5）（8k＋6）＋1时,x3-8=Dy2无正整数解。     

关于无6-,7-和8-圈的平面图的3-可选择性

G的列表着色是指V(G)的一个颜色安排使得每个点从给定的列表L(v)中得到一个颜色并且使相邻的点染不同的颜色.L(G)=(L(v)v∈V(G))称为G的颜色列表.如果G满足一个列表着色,且每个列表中包含k种颜色,则称G是k-可选择的.本文证明了围长为4的无6-,7-和8-圈的平面图是3-可选择的.     

非正则k-连通图的谱半径

一个图G被说成是k-连通的,如果它的点连通度大于等于k-对正则k-连通图,谱半径等于最大度,而对非正则k-连通图,其谱半径严格小于最大度,研究此时最大度与谱半径差值的下界是图谱理论中一个很有意义的问题．通过研究图的结构,利用著名的柯西一施瓦兹不等式,给出了上述差值的一个精确的下界．