四阶收敛的斯蒂芬森迭代修正格式

结合斯蒂芬森迭代和牛顿迭代,用抛物线插值函数的导函数取代f(x)的一阶导数,提出一种新的可达到四阶收敛的迭代方法,新的迭代公式每步计算仅需计算三次函数值,且无需计算导函数。     

任意连续函数的多项式插值逼近

多项式函数由于其计算的简单性,在数值近似方面广泛应用。常用的多项式Lagrange插值,当插值节点数量较大时,表现为极大的数值不稳定性。采用第二类切比雪夫点作为插值节点的重心Lagrange插值,具有极高的数值稳定性。我们研究的问题是：对于区间[-1,1]上给定的任意函数f（x）,寻求一个多项式函数pn（x）,使得误差‖f（x）-pn（x）‖∞接近机器精度。本文采用重心Lagrange插值计算所给函数在一些第二类切比雪夫点上的插值多项式函数,通过计算机数值计算确定满足逼近精度要求的插值节点数量,从而得到符合精度要求的多项式的阶数。本文方法得到的插值逼近多项式,其导数也充分逼近原函数的导数。给出了本文方法的MATLAB计算程序和数值算例。     

任意连续函数的多项式插值逼近

多项式函数由于其计算的简单性,在数值近似方面广泛应用。常用的多项式Lagrange插值,当插值节点数量较大时,表现为极大的数值不稳定性。采用第二类切比雪夫点作为插值节点的重心Lagrange插值,具有极高的数值稳定性。我们研究的问题是:对于区间[-1,1]上给定的任意函数f(x),寻求一个多项式函数pn(x),使得误差‖f(x)-pn(x)‖∞接近机器精度。本文采用重心Lagrange插值计算所给函数在一些第二类切比雪夫点上的插值多项式函数,通过计算机数值计算确定满足逼近精度要求的插值节点数量,从而得到符合精度要求的多项式的阶数。本文方法得到的插值逼近多项式,其导数也充分逼近原函数的导数。给出了本文方法的MATLAB计算程序和数值算例。     

控制参数寻优的三次样条法

本文给出的三次插值样条函数寻优的方法,是处理大量实验数据,并找出其极值点的一种新方法。该方法的寻优过程是:假设目标函数f(x)在区间[a,b]内连续。通过实验或计算给出f(x)在区间[a,b]内某些点x,处的值,并算出f(x)在该点列处的二阶导数值,由此构造出各段上的三次插值样条。然后,比较各段中三次插值样条的极值点,从而优选出控制参数的最佳值。最后,还对采用本文方法计算的结果与用0.618法、离散点极值有理法的计算结果进行了比较。     

一类具有二阶导数的求积公式

利用带二阶导数的Ｈｅｒｍｉｔｅ插值公式,导出一类具有二阶导数的求积公式．此类求积公式不但需要结点上的函数值,还需要结点上的一阶和二阶导数值．当被积函数在结点上的导数值容易计算时,利用这类公式进行计算可以得到十分精确的结果．     

基于Shannon采样定理的插值算法

在Ｓｎａｎｎｏｎ采样定理的理论基础上,根据函数在等距点上的采样值,导出了对其区间内任意点插值计算的基本算法,并给出了应用ＭＡＴＬＡＢ语言的对称插值算法程序,对一种简单函数的余项分析表明,插值余项对对称插值基点数ｎ成反比,计算时间与ｎ成正比,就插值精度和计算速度与对应的Ｌａｇｒａｎｇｅ插值算法作了初步的比较。     

拉格朗日插值函数的两个一般表示式

用有限元法进行数值计算时,逼近函数(Approximation Function)u常采用多项式形式。若采用拉格朗日型插值,将逼近函数写成插值函数(Interpolatioa Function)与对应节点函数值的线性组合。对一元情况,有     

两种特殊类型的求原函数u（x,y）的简便方法

给出当微分形式P（x,y)dx Q(x,y)dy中的函数P（x,y)和Q（x,y)为拟多项式类型及变量可分离类型时原函数u(x,y)的存在条件及求法,利用这一方法求u(x,y),主要归结为不定积分的运算。     

重心插值配点法求解初值问题

将计算区间采用第二类Chebyshev点离散,利用数值稳定性好、计算精度高的重心Lagrange插值近似未知函数,建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵,提出数值求解微分方程初值问题的重心插值配点法。采用重心插值配点法将微分方程及其初始条件离散为线性代数方程。将初始条件离散代数方程直接附加到微分方程离散代数方程组,得到n个变量n 2个方程的代数方程组,采用最小二乘法法求解线性代数方程,得到节点的函数值。进而利用微分矩阵直接计算得到未知函数在节点的一阶导数和二阶导数值。数值算例表明本文方法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点。     

求一类微分方程特征值上,下界的数值方法

本文首先导出了以y″ λρ(x)y=0的特征值集为其零点集的整函数ω(λ),其中ρ(x)为分段函数(每个小段为线性或零次函数),据此,给出了一个求(ρ(x)y＇)＇ λq(x)y=0的特征值上、下界的数值方法。     

求解边值问题的重心有理插值配点法

将计算区间采用等距节点离散,利用重心有理插值近似未知函数,建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵,提出数值求解微分方程边值问题的重心有理插值配点法.采用重心有理插值配点法将微分方程及其边值条件离散为线性代数方程,数值求解代数方程得到未知函数在节点的函数值,进而利用微分矩阵可以得到未知函数的各阶导数值.数值算例表明,重心有理插值配点法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点.     

矩形网格上Barycentric-Newton型混合有理插值

将重心有理插值与Newton型多项式插值结合起来,利用偏差商的递推算法,得到了满足矩形网格上所给插值条件的二元有理插值函数,给出了插值的特征性质和对偶形式.该二元有理插值函数它继承了重心有理插值的计算量小、没有极点、数值稳定性好和多项式插值的线性性质等优点.最后通过数值例子验证了所给方法的有效性.     

用代换法求解二重极限的类型和实例

对于二元函数的二重极限,重点是极限的存在性及其求解方法.由于二重极限较为复杂,判定极限的存在及求解,往往因题而异.依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型,探索得出了一些新的变量代换及应用.采用恰当的变量代换的求解方法后,对复杂的二重极限计算,就能简便、快捷地获得结果.     

重心插值配点法求解初值问题

将计算区间采用第二类Chebyshev点离散，利用数值稳定性好、计算精度高的重心Lagrange插值近似未知函数，建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵，提出数值求解微分方程初值问题的重心插值配点法。采用重心插值配点法将微分方程及其初始条件离散为线性代数方程。将初始条件离散代数方程直接附加到微分方程离散代数方程组，得到n个变量n＋2个方程的代数方程组，采用最小二乘法法求解线性代数方程，得到节点的函数值。进而利用微分矩阵直接计算得到未知函数在节点的一阶导数和二阶导数值。数值算例表明本文方法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点。     

振荡函数积分的Fourier级数逼近法

振荡函数积分的数值计算，通常采用对非振荡函数建立插值函数，比如样条插值、Gauss点插值等。利用Fourier级数展开的一个经典不等式，建立了一个对振荡函数积分新的求积方法，此方法计算简单，容易实现。     

一类Hermite插值样条

本文根据f(x)的函数值和二阶导数值构造了一类分片Hermite插值函数,证明了插值函数的唯一性,并给出了当f(x)∈C~M[a,b](m=2,3,4)时的误差估计式。     

再生核Hilbert空间中的一种插值方法

在给定的再生核Hilbert空间中,利用再生核的性质,通过再生核函数的线性组合得到插值基函数,从而构造了插值函数,并给出误差估计和数值算例.该方法是这个再生核Hilbert空间中一种新的插值方法,计算量小,收敛速度较快,便于实际应用.     

变差函数在底板标高估值中的应用

用数值方法进行地下水水资源评价时，需要给出每个节点上含水层底板标高值，在阐述了区域化变量和变差函数及其计算步骤的基础上，指出变差函数在分析含水层底板标高的空间特性上的重要 性。     

一类权和积分区间端点有关的求积公式

利用具有两个ｎ＋１重结点的Ｈｅｒｍｉｔｅ插值公式导出一类新的求积公式,这类求积公式仅和被积函数在积分区间两个端点上的函数值导数值有关,如果被积函数及其条阶导数在端点上的值容易计算,利用这类求积公式能获得较好的结果。     

一类仅和积分区间端点有关的求积公式

利用具有两个ｎ＋ １ 重结点的Ｈｅｒｍｉｔｅ 插值公式导出一类新的求积公式,这类求积公式仅和被积函数在积分区间两个端点上的函数值导数值有关．如果被积函数及其各阶导数在端点上的值容易计算,利用这类求积公式能获得较好的结果．