构造极大平面图的三种方法

对极大平面图的构成方法做了进一步的研究,提出了三种构成方法：规范的“加点法”与“删步法”以及非规范的“任意法”,并对三种构成方法进行了比较分析。同时对同阶非同构极大平面图的计数问题进行了理论分析。以命题形式给出了８个结论,这些结论对研究极大平面图的点着色问题有其理论与应用价值。     

同构极大平面图研究

从作者前文《极大平面图的构成算法》中的“极大平面图充分必要条件定理”为基础,经分析研究推论出“极大平面图中任意结点的邻接眯必构成圈”。进而提出了“极大平面图同构的充分必要条件定理”并给予证明,最后,归纳出“求任意阶所有的非同构极大平面图的算法”,从而为研究极大平面图的着色问题提供基础。     

三色极大平面图

以极大平面图的充分必要条件定理为基础,并考虑其性质定理：n（≥4）阶极大平面图Gn中每个结点的邻接点必构成圈。证明了极大平面图的3色定理与4色定理,若n(≥3）阶段大平面图Gn中的所有结点均为偶次点,则Gn的点色数为3;否则,Gn的点色数为4。     

极大平面图的色数研究

以极大平面图的结构研究为基础,采用常规的数学推理方法研究极大平面图的点色数问题。运用“并行（或平行）数学归纳法”证明了由“面内加点”或“边上加点”方法所构造的任意阶极大平面图是可四着色的。     

正定矩阵和的行列式不等式

n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中,对它的不等式研究具有有十分重要的意义.为此,文献[1-3]对著名的Minkowski不等式进行了不同程度的推广.在此基础上,将给定的n阶正定矩阵A,构造出一个n＋m阶正定矩阵.利用该矩阵,将文献[1]中的不等式推广到正有理数n/m的情形.然后应用极限将正有理数的情形推广到正实数.从而推广了文献[1]中的结论,并应用推广的结果重新证明了古典的Hǒlder不等式与Minkowski不等式.     

构造极大平面图的圈加点法

“四色猜想”提出将近１５０年了,但至今尚未解决。经数学家们研制“四色猜想”问题等价于平面图是可４着色。若能证明极大平面图可４着色,则“四色猜想”问题即迎刃而解。研究极大平面图的着色问题,就涉及到极大平面图的结构特点及其构造方法,因此,研究构造极大平面图的方法就是必要的了。通过对极大平面图的结构研究,每个结点的邻接结点均构成圈,由此提出了构造极大平面图的“图加点法”。该法简单规范,可无遗漏地构造任意     

k-幂零矩阵Jordan标准形的计数

幂零矩阵作为一种特殊矩阵,具有很好的性质,这些性质使得幂零矩阵在密码学、构造认证码及安全性等方面应用非常广泛。首先针对n阶4-幂零矩阵的Jordan标准形的计数问题进行研究,通过对整数n的有序拆分方法,得到n阶4-幂零矩阵Jordan标准形的计数公式;其次讨论了当秩给定时的所有4-幂零矩阵,给出它的Jordan标准形的计数公式。最后针对k-幂零矩阵Jordan标准形的计数问题进行了研究,通过迭代的方法给出了n阶k-幂零矩阵的Jordan标准形的计数公式。     

极大平面图的构成算法

采用常规教学方法研究平面图的“四色问题”，行对极大平面图的结构进行分析研究也许是必要的。从证明极大平面图的充分必要条件定理出发，得到求作任意阶极大平面图的方法。     

椭圆型交换四元数矩阵的实表示及逆矩阵求法

在引入椭圆型交换四元数的基础上,首先证明了椭圆型交换四元数和实数域上的4阶矩阵是同构的,将对椭圆型交换四元数的研究转化为实数域上4阶矩阵的研究.其次,利用椭圆型交换四元数矩阵的实表示,将对椭圆型交换四元数矩阵的研究转化为实数域上4n阶矩阵的研究,得到了椭圆型交换四元数矩阵实表示的系列重要性质.最后,利用实表示的性质,得到椭圆型交换四元数矩阵特征值存在的充要条件,并给出椭圆型交换四元数矩阵逆矩阵的求法,且利用数值算例验证了结论的有效性.     

n=t^3阶正交拉丁方的构造方法

在三重正交拉丁立方构造研究的基础上，发现了一种适用于n=t^3阶正交拉丁方构造的方法，并利用其方法构造n=8,27,64,125,343,512,…等阶的正交拉丁方，阐明了n=t^3阶正交拉丁方构造的特点，介绍了n=t^3阶正交拉丁方的构造方法及n=8,27阶欧拉方和幻方的构造结果。     

图的边重构性的一个注记

如果图Ｇ的每个边重构图都与图Ｇ同构,则称图Ｇ是边可重构的,图的边重构猜想是指所有的至少有４条边的有限无向简单图都是边可重构的,它是至今尚未解决的著名的图论问题之一,文章主要通过定义特殊函数的方法来研究图的边重构性问题,并给出仅以图的最大顶点次数和最小顶点次数作为参数的简单充分条件。     

网络系统最小割集的一种矩阵分解

为了寻求计算双终端网络系统最小割集更为简明的方法，扩展了网络联络矩阵的定义，形成了广义联络矩阵的概念，并基于此提出了一种矩阵分解算法，算法的基础是在一定运算规则下反复对广义联络矩阵进行分解。阐述了算法的理论原理及计算步骤，并给出了冗余节点、子图同构的判断方法和简化规则算例验证了本理论的正确性和适应性。     

一类循环图的计数

讨论了4度循环图的结构。所有n阶4度非同构的连通循环图被分为两类:Ⅰ类和Ⅱ类。给出了计算Ⅰ类循环图的计算公式,改进了关于n阶4度非同构的循环图的计数公式。     

Bounds on Fractional Domination of Some Products of Graphs

Let γ f(G) and γ~t f(G) be the fractional domination number and fractional total domination number of a graph G respectively. Hare and Stewart gave some exact fractional domination number of P n×P m (grid graph) with small n and m . But for large n and m , it is difficult to decide the exact fractional domination number. Motivated by this, nearly sharp upper and lower bounds are given to the fractional domination number of grid graphs. Furthermore, upper and lower bounds on the fractional total domination number of strong direct product of graphs are given.     

4度循环图的宽直径

研究了涉及图中两点间k条内部不交路的图的宽距离和宽直径。根据循环图的传递性和对称性,得到了n阶4度连通循环图的宽直径的上下限。所得结果可用来度量以循环图作为模型的一类具有高度对称性的网络的通信传输的延迟性能和容错性能。     

图与矩阵运算

提出了与已有的利用Ｃｏａｔｅｓ图及Ｍａｓｏｎ图处理线性系统不同的作法，以图论解释每个矩阵及矩阵运算，并给出了求可逆矩阵的逆矩阵的图上操作方案。     

用层树判定图同构的证明

由层树产生的ZM矩阵是图的不变量,但不是完全不变量,给出ZM矩阵成为图的完全不变量的几个充分条件,指出用第二类标号改进的ZM矩阵不是图的不变量,而两图同构一定存在用第二类标号改进的相同的ZM矩阵.     

边色临界图的1-因子和几乎1-因子的存在性

根据Vizing邻接引理和关于临界图和二分图的3个结论,利用图的1-因子和几乎1-因子存在的充要条件,采用结构图论的方法证明了:1)若G是2n阶临界图,且δ(G)≥n-3,则G存在1-因子;2)若G是2n+1阶临界图,且δ(G)≥n-4,则G存在几乎1-因子.     

梯图的线图的 Tutte唯一性

如果任意与图 G有相同 Tutte多项式的图都同构于图 G,那么,称图 G是满足 Tutte唯一性的,简称为 T-唯一的.本论文研究了梯图的线图的 T-唯一性     

极大平面图的色数研究(续)

以文献《极大平面图的色数研究》为基础,对“加点法”所遗漏的极大平面图进行再研究,证明了这些极大平面图也是四着色的。