包含伪Smarandache函数与Euler函数的两个方程

利用初等方法以及伪Smarandache函数Z（n）和Euler函数p（n）的性质,讨论了两个数论函数方程φ（n）=Z（n＆k）与Z（n）＋φ（n）=2n的可解性问题,并求出所有正整数解．     

关于方程1/m21-1/n21=1/m22-1/n22=…=1/m2k-1/n2k的正整数解

文献[1]指出,丢番图方程(1)/(m21)-(1)/(n21)=(1)/(m22)-(1)/(n2n)=…=(1)/(m2k)-(1)/(n2k),当k≥2时恒有一组正整数解.本文作者证明了这方程在k≥2时恒有无穷多组满足(m1,n1,m2,n2,…,mk,nk)=1的正整数解,但无恒满足(mi,ni)=1(I=1,2,…,k)的正整数解.     

关于方程1/m_1~2-1/n_1~2=1/m_2~2-1/n_2~2=…=1/m_k~2-1/n_k~2的正整数解

文献[1]指出,丢番图方程1m21-1n21=1m22-1n2n=…=1m2k-1n2k,当k≥2时恒有一组正整数解。本文作者证明了这方程在k≥2时恒有无穷多组满足(m1,n1,m2,n2,…,mk,nk)=1的正整数解,但无恒满足(mi,ni)=1(i=1,2,…,k)的正整数解。     

关于方程1／m^21-1／n^21=1／m^22-1／n^22=……=2／m^2k-1／n^2k的正整数解

文献[1]指出，丢番图方程1/m^21-1/n^21=1/m^22=……1/m^2k-1/n^2k，当k≥2时恒有一组正整数解。本文作者证明了这方程在k≥2时恒有无穷多组满足(m1、n1、m2、n1,……,mk,nk)=1的正整数解，但无恒满足(m1,n1)=1(i=1,2,……,k)的正整数解。     

一个数论函数方程的可解性

利用初等数论的理论,结合Smarandache函数S(n)和伪Smarandache函数Z(n)的性质,讨论了一个数论函数方程S(Z(n))=Z(S(n))的可解性,证明了该方程有无穷多个正整数解.     

无平方因子的正整数的欧拉函数平均值

研究一个数论函数和函数的误差项绝对值的增长是数论领域的一个经典问题,φ(n)表示欧拉函数,即不超过n且与n互素的正整数的个数.在许多数论问题中,和式G(x;k;a,b)=∑1≤n≤x(n,k)=1μ(n)~2n~a/φ(n)~b是经常要考虑的,k表示一个正整数.在许多重大问题的解答中,例如哥德巴赫猜想、华林问题都需要估计这一和式的值.求解出固定实数a和b情况下的此和式的渐近公式,考虑方法为先利用∑n≤xn~λ和∑1≤n≤xμ(n)~2n~a/φ(n)~b的已知结果进行关于可乘函数的计算,然后再根据参数a和b的取值情况分类讨论.     

一类函数方程的整函数解

本文研究了一类函数方程 :fn=eφ1 eφ2 … eφm 1　 (1)的解 ,得到方程整函数解的几个性质     

整函数导数的幂次分担的唯一性

证明了一个关于整函数导数幂次分担条件的唯一性结论,如果f(z)和g(z)是两个非常数整函数,c_1,c_2是两个有穷复数,n,k是两个正整数,且n≥3,若[f~((k))(z)]~n-c_1和[g~((k))(z)]~n-c_2在?上IM分担4个互不相同的有穷复数,那么,当c_1≠c_2时,f(z)和g(z)均为次数不超过k的多项式;当c_1=c_2时,f(z)=t~ng(z)+p(z),其中t~n=1,p(z)为次数不超过k-1的多项式。     

关于Diophantine方程x3+23n=Dy2

设D是不能被6k+1之形素数整除的无平方因子正奇数.本文证明了:如果D满足下列条件之一,则方程x3+23n=Dy2没有适合n>1以及gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,n).这些条件是(1)D≡0(mod3);(2)D≡1或3(mod8);(3)D有素因数p适合p≡5(mod12).     

广义Lebesgue—Nagell方程x^2-4p^2r=y3

设P是奇素数,运用广义RamanujanNagell方程的性质证明了方程x^2-4p^2r=y3有适合gcd（x,y）=1的正整数解（x,y,r）的充要条件是p=3s^2＋4,其中S是大于1的奇数．当此条件成立时,该方程仅有正整数解（x,y,r）=（s^3＋12s,x^2-4,1）适合gcd（x,y）=1．     

一类高阶线性差分方程的全局稳定性

研究了一类高阶线性差分方程yn+1=α+a1yn+a2yn-1+… +akyn-k+1,n=0,1,2,…,其中k是正整数α,a1,a2,…,ak参数和初始值y-k+1,y-k+2,…,y0为非负实数.给出一个的充分条件,在该条件下考察该差分方程非负解的收敛性、有界性等问题.     

关于Diophantine方程x^3±8=Dy^2

利用数论中同余的性质研究丢番图方程x3±8=Dy2（D=D1p,D是无平方因子的正整数,其中D1是不能被3或6k＋1之形的素数整除的正整数,p是正奇素数）的解的情况,证明了当D1=3,7（mod8）,p=3（8k＋7）（8k＋8）＋1时,方程x3＋8=Dy2无正整数解;当D1=7（mod8）,p=3（8k＋5）（8k＋6）＋1时,x3-8=Dy2无正整数解。     

关于Diophantine方程x^3＋1=3py^2

设p是奇素数,研究了丢番图方程x3+1=3py2正整数解的情况.利用初等数论的方法得到了丢番图方程x3+1=3py2无整数解的一个充分条件,即p为素数且p=3 3k+13k+2+1,其中k是非负整数,则方程x3+1=3py2无正整数解.     

关于丢番图方程 x2p+2kyp=z2

设A、B、C是两两互素的正整数,m,n,r是大于1的正整数，对于丢番图方程Ax^m+Byⁿ=Cz^r，(x,y,z)=1，1/m+1/n+1/r＜1，1989年,Tijdeman猜想：该方程仅有有限多组整数解(x,y,z)；1997年，Andrew Bal猜想：如果A=B=C=1,m,n,r均大于2，则该方程没有正整数解.关于上述猜想，本文作者获得了如下结果：设p为奇素数，证明了丢番图方程x^2p+2^ky^p=z²,(x,y)=1，k≥1，y≠0仅有整数解k=3,｜x｜=y=1,｜z｜=3和k=2pl+3,｜x｜=2l,y=1,｜z｜=3·2^pl .从而更正了王云葵关于上述方程所获得的结果.     

涉及分担值的亚纯函数的正规定则

设F是一族区域D上的亚纯函数,k,n≥k+2为两个正整数,a(a≠0),b为两个有穷复数,对任意的f∈F,f的零点重数至少为k+1.如果对任意的f,g∈F,在区域D上有f+a(f(k))n与g+a(g(k))n分担b,则F在D上正规.     

关于Ramanujan-Nagell方程D_1x~2+2~mD_2=p~n

设P是奇素数,又设D1,D2是适合D1>1,D2>1,ged(D1,D2)=1,D1 D2≠0,(mod p)的正奇数.证叫了方程D1x2+2mD2=pn至多有2组正整数解(x,m,n).     

不定方程x~3＋y~3＋z~3-3xyz=n有非负整数解的充要条件

给出不定方程x3＋y3＋z3-3xyz=n的非负整数解的一个判定准则.主要结果为：如果正整数n有标准分解式n=2rpr11…prkk,其中p1,p2,…,pk是适合p1     

耗散型聚合方程组Cauchy问题的适定性

证明了如果核函数是弱奇性的,即▽k∈Lp(Rn),p∈((n/α-1),+∞],非负初值u0满足u0∈L1(Rn);或者核函数是强奇性的即▽k∈Lp,∞(Rn),p∈(1,(n/α-1)],初值u0满足‖u0‖q*<ε,其中q*=nn+α-1-pn∈[1,(n/α-1)),那么耗散型聚合方程组的Cauchy问题是整体适定的.     

完整三角和的一种新估计

设q为一个正整数,f(x)=sum from n=0 to ka_nx~n(k≥4)是一个适合条件(a_1,a_2,…,a_k)=1,且(na_n,q)=(1l有|s(p~1,f(x)|≤(k-1)p~V,其中 1/2,1=1或偶数 V= ,以及对任意 (1+1)/2,1≥3且1为奇数自然数a有 |s(a,f(x))|≤e(0.247(k-1)~4)q(3/4)     

微分方程解的亏量

研究函数f(g)与其小函数的亏量关系。对方程f P(z)f Q(z)f=φ(z)的任一超越解f,对于f的任一小函数c,在（φ（g)-cQ(g))g^'2-c'P(g)g'-c″ c'/g'g″≠0条件下，证明δ（c,f(g))=0.对于方程f^(n) P1(z)f^(n-1) … Pn-1(z)f=φ(z)的任一超解f，对于任一常数c，当φ(g)-cPn-1(g)≠0时，证明δ（c,f(g))=0.