Lokal optimale Schranken bei Randwertaufgaben

Zusammenfassung Bei der Berechnung von unteren und oberen Schranken für Lösungen von Randwertaufgaben mit elliptischer Differentialgleichung kann der Randmaximumsatz verwendet werden. In diesem Beitrag werden zwei Prinzipien verglichen: Ein bekanntes Verfahren derTschebyscheff-Approximation für gleichmäßig optimale Schranken und ein neues Optimierungsverfahren für lokal optimale Schranken. Für das zweite Prinzip wird ein Existenzsatz bewiesen und die Erweiterung auf zusammengesetzte Bereiche und die Anwendung desNewton-Verfahrens besprochen.

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Summary The computation of lower and upper bounds for solutions of boundary value problems with elliptic differential equation is possible by the application of the boundary maximum theorem. In the present paper we compare two principles: A known method ofChebyshev-approximation for uniformly optimal bounds and a new method of optimization for locally optimal bounds. For the second principle we prove an existence theorem and discuss the extension to composite regions and the application ofNewtons method.

     

Bestimmung minimaler Wege in endlichen,gerichteten, bewerteten Graphen

Zusammenfassung Betrachtet wird das Problem, in einem allgemeinen, endlichen, gerichteten, bewerteten Graphen Wege mit minimaler Bewertung von einem Knotenk ₀ zu den Knoteny einer MengeY zu finden, so daß die Anzahl der benötigten Rechenoperationen möglichst gering ist. Auf dieses Problem können einige weitere Probleme reduziert werden. Es werden einige theoretische Überlegungen sowie kritische Betrachtungen zu den Algorithmen vonMoore undMinty durchgeführt. Verallgemeinerte und modifizierte Fassungen dieser Algorithmen werden sodann beschrieben und erläutert.

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Summary Considered is the problem to find paths from a nodek ₀ to the nodesy of a setY with minimum evaluation in a general, finite, directed, evaluated graph in such a way that the number of arithmetic operations is as small as possible. Further problems can be reduced to this problem. Some theoretical investigations and critical remarks concerning the algorithms ofMoore andMinty are made. Generalized and modified versions of these algorithms are then described and discussed.

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Diese Arbeit wurde durch einen Bundeszuschuß aus Mitteln des Bundesministeriums für Handel, Gewerbe und Industrie an das Rechenzentrum Graz gefördert.     

Computational aspects of deciding if all roots of a polynomial lie within the unit circle

In this paper we discuss the computational aspects of two algorithms due to E. I. Jury for determining if all the zeros of a polynomial with integer coefficients lie within the unit circle. We show that Jury's original algorithm asymptotically requires an exponential amount of computing time when variable-precision arithmetic is employed. We show that his modified algorithm requires only a polynomially bounded amount of computing time when variable-precision arithmetic is employed. Finally we produce a congruence arithmetic algorithm analogous to Jury's modified algorithm which requires less computing time than Jury's modified algorithm.

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Rechnerische Gesichtspunkte zur Beantwortung der Frage, ob alle Wurzeln eines Polynoms im Einheitskreis liegen

Zusammenfassung In dieser Arbeit diskutieren wir die rechnerischen Gesichtspunkte zweier Algorithmen von E. I. Jury zur Entscheidung ob alle Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten im Einheitskreis liegen. Wir zeigen, daß beim ursprünglichen Algorithmus von Jury die Rechenzeit asymptotisch exponentiell mit dem Grad des Polynoms anwächst, wenn mit variable Genauigkeit gerechnet wird. Wir zeigen auch, daß unter denselben Voraussetzungen beim modifizierten Algorithmus von Jury die Rechenzeit durch eine Potenz vom Grad des Polynoms abgeschätzt werden kann. Schließlich geben wir einen auf Kongruenzen beruhenden, zum modifizierten Algorithmus von Jury analogen Algorithmus an, der aber weniger Rechenzeit als dieser benötigt.

     

Parallel integration of ODEs based on convolution algorithms

We consider parallel computing methods for ODEs based on the potential parallelism of convolution algorithms. Detailed presentations of fast convolution algorithms are provided. Implementations of our methods on signal processors and special processors are described. The main emphasis is concentrated on applications of powerful parallel signal processing facilities in ODE computations. By using convolution algorithms we show some treatments of parallel computing in finite fields. As an example of our approach we discuss integrating Lorenz's model.

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Zusammenfassung Wir behandeln parallele numerische Methoden für gewöhnliche Differentiagleichungen, die auf Parallelismus von konvolutiven Algorithmen basieren. Ausführliche Darstellungen der schnellen konvolutiven Berechnungen mit spezieller Hardware werden präsentiert. Der Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Anwendung von leistungsfähigen parallelen Signal-Prozessoren in der Berechnung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Unter Verwendung von Konvolutiven Algorithmen erläutern wir einige Anwendungen von parallelem Rechnen in endlichen Körpern. Als Beispiel unseres Zugangs diskutieren wir die Integration des Lorenz-Modells.

     

Direkte Verfahren zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen

Zusammenfassung Wenn hinreichend genaue Näherungen für die Nullstellen eines Polynoms vorliegen, liefern numerische Iterationsverfahren Folgen von Näherungswerten, für welche die zugehörigen Folgen der Beträge der Funktionswerte monoton fallen. Es wird ein mit Spiralisierung bezeichneter zweidimensionaler Suchprozeß angegeben, mit dem man derartige Folgen für beliebige Ausgangsnäherungen erhält. Auf diese Weise gewinnt man direkte, d. h. für beliebige Näherungen konvergente Verfahren. Die Folgen der Näherungswerte werden durch Extrapolation verbessert. ALGOL-Prozeduren und numerische Ergebnisse für ein direktesNewton-Verfahren sowie für ein direktes Verfahren 3. Ordnung, das derMullerschen Methode verwandt ist, werden angegeben. Die Methoden lassen sich auch zur Berechnung der Nullstellen analytischer Funktionen verwenden.

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Direct methods for evaluation of zeroes of polynomials

Summary If sufficiently exact approximations for the zeroes of polynomials are present then numerical iterative methods yield sets of approximations for which the corresponding sets of absolute values of the functional values are monotonous decreasing. It is described by a twodimensional searching process, named method of spiral course, how to get such sets for arbitrary starting approaches. In this way we get direct methods, that is to say convergent methods for arbitrary approaches. The sets of approaching values are improved by extrapolation. ALGOL procedures and numerical results are given for a directNewton method and a direct third order method, which has a relationship to theMuller method. The treated methods also can be used for the evaluation of the zeroes of analytical functions.

     

Algorithms for roundoff error analysis —A relative error approach

Methods are presented for performing various error analyses of numerical algorithms. These analyses include forward, backward, and B-analysis (a combination of forward and backward). These analyses additionally provide alternative criteria by which different algorithms that solve the same problem may be compared. The conclusions of various comparison criteria are related to the correlation of errors in each algorithm. Finally, the analysis of a composite algorithm, which is made up of concatenated sub-algorithms, is given in terms of analyses done on its parts.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden Methoden vorgestellt, die es gestatten, verschiedene Fehleranalysen numerischer Algorithmen zu vollziehen. Darunter befinden sich Vorwärts- und Rückwärtsanalyse (forward and backward analysis) sowie beidseitige Analyse (B-analysis, eine Kombination von forward and backward) ein. Diese Analysen liefern zusätzlich weitere Kriterien, durch welche verschiedene Algorithmen, die dasselbe Problem lösen, verglichen werden können. Die Aussagen der verschiedenen Vergleichskriterien beziehen sich auf die Fehlerkorelation in jedem Algorithmus. Schließlich wird die Analyse zusammengesetzter Algorithmen, welche aus verketteten Subalgorithmen bestehen, mit Hilfe der Analysen, die an den Teilen vollzogen wurden, dargestellt.

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This work was supported in part by the National Science Foundation under NSF Grant MCS 75-21758.     

Steplength algorithms for minimizing a class of nondifferentiable functions

Four steplength algorithms are presented for minimizing a class of nondifferentiable functions which includes functions arising froml ₁ andl approximation problems and penalty functions arising from constrained optimization problems. Two algorithms are given for the case when derivatives are available wherever they exist and two for the case when they are not avaible. We take the view that although a simple steplength algorithm may be all that is required to meet convergence criteria for the overall algorithm, from the point, of view of efficiency it is important that the step achieve as large a reduction in the function value as possible, given a certain limit on the effort to be expended. The algorithms include the facility for varying this limit, producing, anything from an algorithm requiring a single function evaluation to one doing an exact linear search. They are based on univariate minimization algorithms which we present first. These are normally at least quadratically convergent when derivatives are used and superlinearly convergent otherwise, regardless of whether or not the function is differentiable at the minimum.

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Step-Length-Algorithmen zur Minimierung einer Klasse von nicht-differenzierbaren Funktionen

Zusammenfassung Wir stellen vier step-length-Algorithmen zur Minimierung einer Klasse von nicht-differenzierbaren Funktionen vor. Diese Klasse enthält sowohl Funktionen, die bei Approximationsproblemen unter Verwendung derl ₁- undl-Norm auftreten, als auch Straf-Funktionen, wie sie bei Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen benützt werden. Zwei Algorithmen betreffen den Fall, wo die Ableitungen überall da numerisch berechenbar sind, wo sie existieren, und weitere den Fall, wo diese Ableitungen nicht berechenbar sind. Obwohl ein einfacher step-length-Algorithms ausreichend sein mag, um bloße Konvergenz zu erzielen, vertreten wir die Auffassung, daß es aus Effizienzgründen wichtig ist, für eine vorgegebene feste Grenze des Aufwandes bei jedem Schritt die größtmögliche Reduktion des Funktionswertes zu erreichen. Unsere Algorithmen beinhalten die Möglichkeit, die Grenze des Aufwandes so zu verändern, daß sie als Spezialfälle sowohl die Algorithmen enthalten, die mit einer einzigen Funktionsauswertung auskommen, als auch diejenigen, die ein lineares Suchen durchführen. Die Algorithmen beruhen auf einem eindimensionalen Minimierungsverfahren, welches am Anfang beschrieben wird. Unsere Algorithmen besitzen im Normfall mindestens superlineare Konvergenz; wenn Ableitungen verwendet werden, so ist die Konvergenz quadratisch; beides gilt unabhängig davon, ob die Funktion an der Minimalstelle differenzierbar ist oder nicht.

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The work of this author was supported in part by the National Research Council of Canada and in part by the National Science Foundation Grant MCS 75-13497-A01.     

Beitrag zur konformen Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete mit Hilfe einer elektrischen Analogie. Lösung der Integralgleichung von Theodorsen

Zusammenfassung Es wird ein experimentelles Verfahren beschrieben, mit dessen Hilfe beliebig geformte, einfach zusammenhängende Gebiete konform aufeinander abgebildet werden können. Damit kann mit geringem Aufwand die Integralgleichung vonTheodorsen zur Ermittlung der Ränderzuordnungsfunktion experimentell bestimmt werden. Mittels der elektrischen Potentialanalogie wird dann die konforme Zuordnung aller Innenfeldpunkte gefunden.

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Summary An experimental method is described with the help of which arbitrary shaped simple connected fields can be shown conformable to one by one. By that the integral equation byTheodorsen can be experimentally determined with small expense for the information of the function of border coordination. By means of the electric potential analogy, the conformable coordination of all inner fields then will be found.

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Mit 3 Textabbildungen     

Fehlerabschätzungen für ein numerisches Verfahren zur Auflösung linearer Integralgleichungen mit schwachsingulären Kernen

Zusammenfassung Es werden Fehlerabschätzungen für eine Quadraturformel-methode zur LösungFredholmscher Integralgleichungen zweiter Art mit schwachsingulären Kernen gegeben. Im ersten Teil werden Konvergenzaussagen und Abschätzungen für beliebige schwachsinguläre Kerne im Anschluß an die Methoden vonKantorowitsch undAkilow diskutiert. Im zweiten Teil werden die Abschätzungen für periodische Kerne mit logarithmischen Singularitäten verschärft. Es zeigt sich, daß das Verfahren die Ordnungh ³ besitzt, wobeih die Schrittweite in der zugrundegelegten Rechteckformel ist. Ein Zahlenbeispiel, das der Theorie der Außenraumprobleme für dieHelmholtzsche Schwingungsgleichung entnommen ist, zeigt, daß diese Fehlerordnung realistisch ist.

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Summary Error estimates for approximate solutions ofFredholm integral equations with weakly singular kernels are derived. The approximation scheme is based on the rectangular formula for numerical quadrature. The first part of the paper discusses convergence questions and error estimates for arbitrary kernels, by using the general theory ofKantorowitsch andAkilow. In the second part the estimates are improved for the special case of periodic kernels with logarithmic singularities. It is shown that the approximation is of orderh ³ whereh denotes the step-size in the quadrature formula. The paper concludes with a numerical example, pertaining to the exteriorDirichlet problem for the reduced wave equation.

     

Ein Wartesystem mit zwei parallelen Warteschlangen

Zusammenfassung Am Beispiel eines Warteschlangenmodells mit 2 gekoppelten parallelen Schlangen,Poisson-Angebot und exponentialverteilten Bedienungszeiten werden Methoden zur Berechnung der ergodischen Projektion von Übergangsmatrizen homogenerMarkovscher Prozesse behandelt.

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Summary In this paper we deal with the calculation of the ergodic projection of transition matrices. A special case is provided by a service system with two interconnected parallel queues,Poisson input and exponentially distributed service times.

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Mit 2 Textabbildungen     

Die Regula falsi in Banach-Räumen

Zusammenfassung In Abschnitt 1 werden Eindeutigkeits- und Stabilitätsaussagen für die Regula falsi (RF) aufgestellt. Teil 2 zeigt, wie man mit Hilfe der RF ein gegebenes Problem lösen kann, wenn man eine Lösung eines benachbarten Problems kennt. Schließlich wird in 3. gezeigt, daß die RF Monotonieeigenschaften besitzt, die denen desNewton-Verfahrens überlegen sind: sie ermöglichen Einschließungen der Lösung eines Vorgelegten Problems und garantieren in einem Spezialfall sogar deren Existenz.

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The regula falsi in banach spaces

Summary At first this paper presents uniqueness- and stability statements. Furthermore it is shown how to solve a problem with the aid of the Regula falsi using a solution of a neighbouring problem. Finally the paper contains monotonicity principles for the Regula falsi. These are superior to those forNewton's method: they offer the possibility of bracketing a solution of a given problem. In a special case they even ensure the existence of a solution.

     

Untersuchungen zum Verhalten von algebraischen Nichtlinearitäten in Regelsystemen

Zusammenfassung Es wird die Frage diskutiert, wie weit lineare Regelsysteme durch Einführen einer algebraischen Nichtlinearität in den PI-Regler verbessert werden können. Zu diesem Zweck wird zunächst dasA-Kurven-Verfahren auf unsymmetrische Schwingungen erweitert, und die Frage untersucht, wann dieA-Kurve eine Gerade ist; denn in diesem Fall ist diese Methode besonders leicht anwendbar. Es werden drei spezielle Nichtlinearitäten, derenA-Kurven Gerade sind, einander gegenübergestellt: der vonHerschel untersuchte PI-Regler mit quadratischer Abhängigkeit von der Regelabweichung, PI-Regler mit linearer Abhängigkeit von der Regelabweichung und PI-Regler mit linearer Abhängigkeit vom Absolutbetrag der Regelabweichung. Dabei zeigt es sich, daß die zweitgenannte Nichtlinearität unsymmetrisches Verhalten aufweist und daher besonders gut zum Ausgleich unsymmetrischer Störungen geeignet erscheint. Beim Vergleich der beiden symmetrischen Nichtlinearitäten erweist sich der vonHerschel behandelte Regler als den Untersuchungen leichter zugänglich, er bringt jedoch meist eine geringere Verbesserung der Regelgüte als die beiden anderen Regler. Die drei Nichtlinearitäten sind einerseits geeignet, stabile lineare Systeme zu verbessern, andrerseits ermöglichen die beiden symmetrischen Regler eine Stabilisierung im erweiterten Sinn von allen und der unsymmetrische Regler von gewissen instabilen linearen Systemen.

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Summary The possibility of improving the quality of control processes of linear systems by adding an algebraic non-linear PI-control to the system is studied. On this purpose first theA-curve-method is enlarged on systems with non-symmetric oscillations, and then the question is studied in which cases theA-curve will be a straight line, for then this method can be applied very easily. Three special non-linearities, whoseA-curves are straight lines, are compared: the PI-control determined by the square of the deviation from the desired value—it has been studied byHerschel-, the PI-control with linear dependance from the deviation and the PI-control with linear dependance from the absolut value of the deviation from the desired value. It is found that the second mentioned non-linearity is essentially non-symmetric and seems therefore especially useful for the compensation of non-symmetric disturbances. Comparing the two symmetric non-linearities it turns out that the control studied byHerschel proves to be easier to study, but in most cases it improves the linear system less than the other symmetric non-linearity and very often even less than the non-symmetric control. These three non-linearities are qualified for improving stable linear systems, moreover a stabilization in an extended meaning of all unstable linear systems in the case of one of the symmetric controls and of a certain class of unstable linear systems in the case of the non-symmetric control is possible.

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Mit 17 Textabbildungen     

Die Bedeutung der Normalität bei rationaler Tschebyscheff-Approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Bedeutung der Normalität einer Funktionf (x) bezüglich der rationalenT-Approximation für die numerische Behandlung des Problems herausgearbeitet.Unter Voraussetzung der Normalität vonf (x) läßt sich zeigen, daß dieTschebyscheff-ApproximierendeT [f] Lipschitz-stetig vonf (x) abhängt. Weiter wird ein vollständiger Beweis für die Konvergenz desRemes-Algorithmus beim Start mit einer hinreichend guten Näherungslösung gegeben. Die Konvergenz ist bei stetigenf (x) zumindest linear. Schließlich wird untersucht, wie stark sich die diskreteT-Approximation vonf (x) (d. h. Approximation auf einer im Intervall gegebenen endlichen Punktmenge) von der ApproximationT [f] unterscheidet. Es werden qualitative Aussagen gewonnen.

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Summary In this paper the significance of normality of a functionf (x) with regard toT-Approximation for the numerical treatment of the problem is set forth.Assumingf (x) to be normal theLipschitz-continous dependence of theTschebyscheff-approximationT [f] onf (x) is shown. Under the same assumption a detailed proof of the convergence of theRemes Algorithmus for a sufficiently good initial approximation is provided. The convergence is at least linear. Finally the discreteT-Approximation off (x) (approximation on a finite point set of the interval) is compared withT [f]. There are qualitative results.

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Mit 1 Textabbildung     

A note on polychotomy

Previous analyses on bounds for the growth of solutions of BVP were dealing either with two point or multipoint conditions. For BVP where some of the two point boundary conditions are separated from the rest one could only give a cruder polychotomy result for a multipoint case as such. In this note we show that such a (decoupled) two point condition actually induces a dichotomic subspace. This is done by reconsidering the notions of dichotomy and polychotomy and deriving appropriate projection mappings which describe the solution space structure.

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Eine Bemerkung zur Polychotomie

Zusammenfassung Bisher haben sich Untersuchungen über Wachstumsschranken für Lösungen von Randwertproblemen entweder mit 2-Punkt-oder mit Mehrpunkt-Bedingungen beschäftigt. Wenn jedoch einige der 2-Punkt-Bedingungen unabhängig von den übrigen Bedingungen sind, dann konnte man nur ein gröberes Polychotomie-Resultat angeben. In dieser Note wird gezeigt, daß eine solche (entkoppelte) 2-Punkt-Bedingung tatsächlich einen dichotomen Unterraum induziert. Dazu werden die Begriffe Dichotomie und Polychotomie genauer untersucht und es werden geeignete Projektionen zur Beschreibung der Struktur des Lösungsraumes hergeleitet.

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Dedicated to Professor Hans J. Stetter on the occasion of his 60th birthday

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Supported in Part by a grant from the Netherlands Organisation for Scientific Research (NWO).     

Eine Methode zur Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren für asymptotische Entwicklungen

Zusammenfassung Wir befassen uns mit der numerischen Lösung einer Differentialgleichung, bei der eine asymptotische Potenzreihe zur Verfügung steht. Besonders interessieren wir uns für Argumente aus dem kritischen Bereich. Dabei tritt das Problem der Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren auf.Es wird für den Formelfehler in Abhängigkeit von den verwendeten Konvergenzfaktoren eine recht genaue Abschätzung sowohl nach oben wie auch nach unten angegeben. Zur Herleitung der Fehlerschranken wird die Theorie der singulärenVolterraschen Integralgleichungen benützt. Die Minimierung der Fehlerschranken liefert dann sehr günstige Konvergenzfaktoren, bei denen der zugehörige Fehler nur wenig über dem Fehler der theoretisch optimalen Lösung liegt. Ferner ergeben sich Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit der Approximationsfolge. Ein Beispiel zeigt die Wirksamkeit des Verfahrens.

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Summary We are concerned with the numerical solution of a differential equation which possesses an asymptotic power series. Especially we are interested in arguments from the critical domain. This leads us to the determination of nearly-optimal converging factors.Using the theory of singularVolterra integral equations we obtain for the remainder terms as functions of the converging factors rather good lower and upper bounds.Minimizing these bounds we gain nearly-optimal converging factors, with an error only little greater than the error of the exact optimal converging factors. Moreover we give an estimate of the rapidity of convergence of the approximation sequence. An example shows the effectiveness of our method.

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Mit 3 Textabbildungen     

Verallgemeinerung funktionentherotischer Verfahren für Analogrechner auf allgemeinere Funktionentheorien

Zusammenfassung Zur Untersuchung der Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen gibt es bekannte Verfahren für einen Analogrechner. Diese Verfahren werden in der vorliegenden Arbeit auf den Fall einer allgemeineren Funktionentheorie übertragen und an Beispielen illustriert.

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Summary There are well known methods to investigate the mappings-properties of Analytic Functions on Analog Computers. In the present paper these methoextended to a more general Function Theory and illustrated by examples.

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Mit 1 Textabbildung.

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Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertatin des Dipl-Math.Nikolaos Apostolatos, Institut für Angewandte Matheamtik der TH München, Dir. o. Prof. Dr.J. Heinhold.     

Approximation der erweiterten Intervallarithmetik durch die einfache Maschinenintervallarithmetik

Zusammenfassung In einer früheren Arbeit [2] wurden Eigenschaften einer sogenannten einfachen und erweiterten Intervallarithmetik gegenübergestellt. Für Intervallfunktionen liefert die erweiterte Intervallarithmetik die exakten Ergebnisintervalle. Sie ist jedoch auf einer Rechenanlage kaum direkt realisierbar. Demgegenüber liefert die einfache Intervallarithmetik nur grobe Abschätzungen der exakten Ergebnisintervalle. Sie läßt sich aber auf einer Rechenanlage einfach ausführen.Im Anschluß an [2] bringen die ersten drei Abschnitte der vorliegenden Arbeit weitere grundlegende Begriffe und Sätze. Im zweiten Abschnitt wird u. a. ein Stetigkeitssatz bewiesen. Der vierte Abschnitt bringt ein Verfahren zur Approximation der von der erweiterten Intervallarithmetik gelieferten Ergebnisintervalle mit Hilfe der einfachen Intervallarithmetik. Im fünften Abschnitt werden Eigenschaften der Realisierung dieses Verfahrens auf einer Rechenanlage behandelt.

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Summary In a previous paper [2] basic properties of a simple and an extended interval arithmetic were studied. For interval functions the extended interval arithmetic gives exact resulting intervals. On a computer, however, this interval arithmetic is almost impossible to realize. On the other hand the simple interval arithmetic in general gives wider intervals than the actual ones. But it is easily realized on a computer.As a continuation of [2] the first three sections of this paper deal with further fundamental concepts and theorems. In section 2 among others a continuity theorem for the simple and extended interval arithmetic is proved. In section 4 we approximate the resulting intervals of the extended interval arithmetic by a procedure using the simple interval arithmetic. Section 5 handles the properties of this procedure when it is realized on a computer.

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Die Verfasser gehören einer von Herrn Prof.Nickel an der Technischen Hochschule Karlsruhe geleiteten Arbeitsgemeinschaft über Schrankenzahlen an. Wir danken allen Teilnehmern dieser Gruppe, insbesondere Herrn Prof.Nickel, für anregende Diskussionen.     

Über die Approximation asymptotischer Entwicklungen I

Zusammenfassung Für einige Typen linearer homogener Differentialgleichungen werden an Stelle der asymptotischen Entwicklungen für große Werte der unabhängigen Variablenx Approximationen im gleichmäßigen Sinne aus der Differentialgleichung heraus entwickelt. Im vorliegenden ersten Teil werden Lösungen mit exponentiellem Abklingen untersucht. Man erhält exakte Aussagen über die Abweichung von der besten Approximation durch Polynome inx ^–1 und numerisch günstige Näherungen, die zur Aufstellung von Unterprogrammen benutzt werden können. Am Beispiel der Gaußschen Normalverteilung wird das Verfahren explizit durchgeführt.

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Summary For some types of linear homogeneous differential equations approximations in the uniform sense (instead of asymptotic expansions) for large values of the independent variable are derived. In this first part only solutions with a decreasing exponential factor are considered. Exact statements concerning the deviation from the best approximation by polynomials inx ^–1 and good numerical approximations as to be used in setting up subroutines for digital computers are obtained. As an example serves the normal distribution of Gauss.

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Mit 1 Textabbildung     

Über die Herstellung von Höhenkarten und perspektivischen Reliefdarstellungen von Funktionen einer komplexen Veränderlichen mittels elektronischer Rechenanlagen

Zusammenfassung Es wird eine Methode beschrieben, die es ermöglicht, Höhenkarten und perspektivische Reliefdarstellungen von Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit Hilfe elektronischer Rechenanlagen automatisch herzustellen. Als Anwendung wird die analytische Fortsetzung der periodischen Lösung derVan der Pol-Gleichung ins Komplexe behandelt. Zur Berechnung der Funktionswerte wurde die Rechenanlage IBM 7090/1410, zur Zeichnung der magnetbandgesteuerte Dataplotter EAI 3440 des Rheinisch-Westfälischen Institutes für Instrumentelle Mathematik in Bonn, benutzt.

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Summary A method is described which permits the automatic preparation on computers of altitude charts and of perspective reliefs of functions of a complex variable. As an example, the analytic continuation of the periodic solution ofVan Der Pol's equation into the complex domain is treated. For calculating the function data and for carrying out the drawing work, use was made of the computer IBM 7090/1410 and the magnetic tape controlled data plotter EAI 3440 respectively, both at Rheinisch-Westfälisches Institut für Instrumentelle Mathematik in Bonn (Germany).

     

Numerical stability of a quadratic method for solving systems of non linear equations

In this paper the numerical stability of a recent method to solve systems of nonlinear equations is studied. This method, based on the -algorithm, has a quadratic convergence without calculating any derivatives and under quite benevolent conditions. The numerical stability of this algorithm is studied using the theory of theA-stability for the propagation of round-off errors in the numerical integration of differential equations.

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Numerische Stabilität einer quadratisch konvergenten Methode zur Lösung von Systemen nicht-linearer Gleichungen

Zusammenfassung In diesem Artikel wird die numerische Stabilität einer neuen Methode zur Lösung von Systemen nicht-linearer Gleichungen studiert. Diese Methode, sie basiert auf dem -Algorithmus, ist unter schwachen Voraussetzungen und ohne Verwendung von Ableitungen quadratisch konvergent. Die Stabilität dieses Algorithmus wird unter Verwendung der Theorie derA-Stabilität bezüglich der Fortpflanzung von Rundungsfehlern bei der numerischen Integration von Differentiagleichungen studiert.