Über die Konvergenz des Relaxationsverfahrens bei nicht-negativen und diagonaldominanten Matrizen

Zusammenfassung In der folgenden Arbeit werden zunächst die Begriffe Gesamtschrittverfahren, Einzelschrittverfahren und Relaxationsverfahren allgemein formuliert und dann auf allgemeine lineare Gleichungssysteme angewandt. Im Spezialfall einer Matrix mit verschwindender Hauptdiagonale erhält man so die bekanntenJacobi-, Gauss-Seidel- und Relaxationsverfahren. Satz 1 macht eine Aussage über die Konvergenz des Einzelschrittverfahrens bei allgemeinen, nicht-negativen Matrizen. Der Beweis verläuft ähnlich wie in einem bereits 1948 vonStein undRosenberg [2] behandelten Spezialfall. Als Korollar ergibt sich eine Aussage über die Konvergenz des Relaxationsverfahrens bei nicht-negativen Matrizen. Es wird ferner der Satz 2 über die Konvergenz des Relaxationsverfahrens bei diagonaldominanten Matrizen beweisen.

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Summary In this paper we give a general definition what is meant by total-step-, single-step- and successive relaxation iterative method and we apply these concepts on systems of linear equations. In the special case of a matrix with zero diagonal entries we obtain the well knownJacobi-, Gauss-Seidel- and Relaxation iterative method. Theorem 1 gives conditions for the convergence of the singlestep-iterative method for general, non-negative matrices. The proof is similar to that given byStein andRosenberg in [2] (1948) for a special case. A corollary gives conditions for the convergence of the relaxation-iterative method for non-negative matrices. Further on we prove theorem 2 about the convergence of the relaxation-iterative method with diagonally dominant matrices.

     

Ableitungsfreie Verfahren mit höherer Konvergenzgeschwindigkeit

Zusammenfassung Für Gleichungen in mehrdimensionalen Räumen werden Klassen von ableitungsfreien Verfahren angegeben, welche in der Durchführung allein Steigungen erster Ordnung benötigen. Ein Iterationsschritt besteht ausk Stufen, wobei die einzelnen Stufen die Anwendung der vereinfachten Regula falsi bedeuten. Es ergibt sich, daß sich das Maximum des Wirkungsgrades mit wachsender Dimension zu den größerenk-Werten hin verschiebt. Die Konvergenz der Verfahren wird für einfache Nullstellen und hinreichend gute Startwerte nachgewiesen.

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Summary For equations in spaces of several dimensions classes of methods not involving derivatives are given which require only first-order divided differences. One interation step consists ofk stages each of them meaning the application of the modified regula falsi. The maximum of the efficiency index is shown to shift to greater values ofk with increasing dimension. The convergence of the methods is proved for simple zeros and sufficiently good initial values.

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Herr Prof. Dr.H. Heinrich hat in Vorträgen an den Technischen Hochschulen Wien und Graz im Dezember 1967 über den Gegenstand der Arbeit berichtet. Wir möchten ihm an dieser Stelle dafür unseren herzlichen Dank aussprechen.     

Steplength algorithms for minimizing a class of nondifferentiable functions

Four steplength algorithms are presented for minimizing a class of nondifferentiable functions which includes functions arising froml ₁ andl approximation problems and penalty functions arising from constrained optimization problems. Two algorithms are given for the case when derivatives are available wherever they exist and two for the case when they are not avaible. We take the view that although a simple steplength algorithm may be all that is required to meet convergence criteria for the overall algorithm, from the point, of view of efficiency it is important that the step achieve as large a reduction in the function value as possible, given a certain limit on the effort to be expended. The algorithms include the facility for varying this limit, producing, anything from an algorithm requiring a single function evaluation to one doing an exact linear search. They are based on univariate minimization algorithms which we present first. These are normally at least quadratically convergent when derivatives are used and superlinearly convergent otherwise, regardless of whether or not the function is differentiable at the minimum.

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Step-Length-Algorithmen zur Minimierung einer Klasse von nicht-differenzierbaren Funktionen

Zusammenfassung Wir stellen vier step-length-Algorithmen zur Minimierung einer Klasse von nicht-differenzierbaren Funktionen vor. Diese Klasse enthält sowohl Funktionen, die bei Approximationsproblemen unter Verwendung derl ₁- undl-Norm auftreten, als auch Straf-Funktionen, wie sie bei Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen benützt werden. Zwei Algorithmen betreffen den Fall, wo die Ableitungen überall da numerisch berechenbar sind, wo sie existieren, und weitere den Fall, wo diese Ableitungen nicht berechenbar sind. Obwohl ein einfacher step-length-Algorithms ausreichend sein mag, um bloße Konvergenz zu erzielen, vertreten wir die Auffassung, daß es aus Effizienzgründen wichtig ist, für eine vorgegebene feste Grenze des Aufwandes bei jedem Schritt die größtmögliche Reduktion des Funktionswertes zu erreichen. Unsere Algorithmen beinhalten die Möglichkeit, die Grenze des Aufwandes so zu verändern, daß sie als Spezialfälle sowohl die Algorithmen enthalten, die mit einer einzigen Funktionsauswertung auskommen, als auch diejenigen, die ein lineares Suchen durchführen. Die Algorithmen beruhen auf einem eindimensionalen Minimierungsverfahren, welches am Anfang beschrieben wird. Unsere Algorithmen besitzen im Normfall mindestens superlineare Konvergenz; wenn Ableitungen verwendet werden, so ist die Konvergenz quadratisch; beides gilt unabhängig davon, ob die Funktion an der Minimalstelle differenzierbar ist oder nicht.

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The work of this author was supported in part by the National Research Council of Canada and in part by the National Science Foundation Grant MCS 75-13497-A01.     

Iterative Gewinnung von Existenzaussagen für Randwertprobleme mit gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung

Zusammenfassung Eine ganze Reihe von Arbeiten beschäftigt sich mit der Frage der Existenz von Lösungen für Randwertprobleme der Art (1.1). Von besonderem Interesse sind dabei die konstruktiven Aussagen. Das Ziel der folgenden Arbeit ist, einmal alle unten zitierten iterativen Existenzaussageneinheitlich zu gewinnen und zum anderen die Grenze des Konvergenzbereiches solcher Iterationsverfahren aufzuzeigen durch die Betrachtung von Eigenwertaufgaben, die für die Probleme kennzeichnend sind.

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Summary Many notes deal with the existence problem of solutions for boundary value problems of the kind (1.1). Constructive statements are of a special interest. The first purpose of the following note is to show that it is possible to obtain all the iterative statements about the existence quoted below in a uniform manner. Secondly we will limit the range of convergence of those iteration processes by discussion of some characteristic eigenvalue problem.

     

A storage scheme for extendible arrays

Conventional methods of storing aK-dimensional array allow easy extension only along one dimension. We present a technique of allocating a linear sequence of contiguous storage locations for aK-dimensional extendible array by adjoining blocks of (K–1)-dimensional subarrays. Element access is by determination of the block header location and then the displacement within the block. For cubical and all practical cases of rectangular arrays considered, the storage requirement isO (N) whereN is the array size. The element access cost isO (K) for the 2-step computed access function used.

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Ein Speicherschema für erweiterbare Felder

Zusammenfassung Konventionelle Methoden der SpeicherungK-dimensionaler Felder lassen eine einfache Erweiterung lediglich entlang einer Dimension zu. Wir beschreiben eine Technik der Zuweisung einer linearen Folge von zusammenhängenden Speicherzellen fürK-dimensional erweiterbare Felder durch Hinzufügen von Blöcken aus (K–1)-dimensionierten Teilfeldern. Der Elementzugriff erfolgt durch Bestimmung des Headers und des Displacements innerhalb des Blockes. Für kubische und alle praktische Fälle rechteckiger Felder ist der SpeicherbedarfO (N) wobeiN die Feldgröße ist. Die Kosten eines Elementzugriffs betragenO (K) für die in zwei Schritten berechnete Zugriffsfunktion.

     

Die Bedeutung der Normalität bei rationaler Tschebyscheff-Approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Bedeutung der Normalität einer Funktionf (x) bezüglich der rationalenT-Approximation für die numerische Behandlung des Problems herausgearbeitet.Unter Voraussetzung der Normalität vonf (x) läßt sich zeigen, daß dieTschebyscheff-ApproximierendeT [f] Lipschitz-stetig vonf (x) abhängt. Weiter wird ein vollständiger Beweis für die Konvergenz desRemes-Algorithmus beim Start mit einer hinreichend guten Näherungslösung gegeben. Die Konvergenz ist bei stetigenf (x) zumindest linear. Schließlich wird untersucht, wie stark sich die diskreteT-Approximation vonf (x) (d. h. Approximation auf einer im Intervall gegebenen endlichen Punktmenge) von der ApproximationT [f] unterscheidet. Es werden qualitative Aussagen gewonnen.

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Summary In this paper the significance of normality of a functionf (x) with regard toT-Approximation for the numerical treatment of the problem is set forth.Assumingf (x) to be normal theLipschitz-continous dependence of theTschebyscheff-approximationT [f] onf (x) is shown. Under the same assumption a detailed proof of the convergence of theRemes Algorithmus for a sufficiently good initial approximation is provided. The convergence is at least linear. Finally the discreteT-Approximation off (x) (approximation on a finite point set of the interval) is compared withT [f]. There are qualitative results.

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Mit 1 Textabbildung     

Über Dämpfung bei Minimalisierungsverfahren

Zusammenfassung Die Minimalisierung nicht notwendig konvexer Funktionen wird für die Iterationsverfahren untersucht, bei denen mit jedem Iterationsschritt ein Minimalproblem mit konvexer quadratischer Funktion gelöst wird. Eine für die Praxis wesentliche Erleichterung gegenüber der bisherigen Handhabung wird abgeleitet und an Hand der Gradientenmethode [1, 2] sowie des sogenannten Standardverfahrens [3] erläutert. Außerdem wird gezeigt, daß bei Problemen, wie sie bei der Anpassung nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate auftreten, das Standardverfahren der Gradientenmethode überlegen ist. Die Ergebnisse lassen sich auch unmittelbar auf Probleme mit linearen Restriktionen ausdehnen.

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Summary The minimization of functions that are not necessarily convex is studied for those iterations, where in every step the problem is reduced to a minimum problem with a convex quadratic function. A facilitation important for numerical application is derived and is discussed by means of the gradient method [1, 2] and the so called standard method [3]. Moreover it is proved that for problems arising from least-squares-fits the standard method is superior than the gradient method. The results may be easily extended to problems with linear constraints.

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Mit 1 Textabbildung

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Diese Arbeit entstand, als bei der Rechenanlage des Deutschen Elektronensynchrotron (DESY) in Hamburg ein allgemeines Programm zum Angleich nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate ausgearbeitet wurde.     

Extremwertermittlung mit Funktionswerten bei Funktionen von mehreren Veränderlichen

Zusammenfassung Es wird die Idee der Regula falsi, allein mit Funktionswerten zu arbeiten, auf die Extremwertbestimmung bei differenzierbaren Funktionen von mehreren Veränderlichen übertragen. Derartige Iterationsverfahren lassen sich angeben, indem man die Funktion durch ein Interpolationspolynom ersetzt und als Näherung seine Extremwerte ermittelt. Bei geeigneter Wahl des Interpolationspolynoms erhält man Verfahren, die bei hinreichend guten Anfangsnäherungen stets konvergieren. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist überlinear.

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Summary The idea of regula falsi to use only function-values is extended to the computing of extreme-values by differentiable functions of several variables. Iterative methods of this kind will be found by approximating the function by an interpolation polynomial and by taking its extreme-value. The interpolation polynomial being appropriately chosen, the methods converge if the initial values approximate the solution sufficiently well. The speed of convergence is better than linear.

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Mit 1 Textabbildung     

Eine Methode zur Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren für asymptotische Entwicklungen

Zusammenfassung Wir befassen uns mit der numerischen Lösung einer Differentialgleichung, bei der eine asymptotische Potenzreihe zur Verfügung steht. Besonders interessieren wir uns für Argumente aus dem kritischen Bereich. Dabei tritt das Problem der Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren auf.Es wird für den Formelfehler in Abhängigkeit von den verwendeten Konvergenzfaktoren eine recht genaue Abschätzung sowohl nach oben wie auch nach unten angegeben. Zur Herleitung der Fehlerschranken wird die Theorie der singulärenVolterraschen Integralgleichungen benützt. Die Minimierung der Fehlerschranken liefert dann sehr günstige Konvergenzfaktoren, bei denen der zugehörige Fehler nur wenig über dem Fehler der theoretisch optimalen Lösung liegt. Ferner ergeben sich Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit der Approximationsfolge. Ein Beispiel zeigt die Wirksamkeit des Verfahrens.

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Summary We are concerned with the numerical solution of a differential equation which possesses an asymptotic power series. Especially we are interested in arguments from the critical domain. This leads us to the determination of nearly-optimal converging factors.Using the theory of singularVolterra integral equations we obtain for the remainder terms as functions of the converging factors rather good lower and upper bounds.Minimizing these bounds we gain nearly-optimal converging factors, with an error only little greater than the error of the exact optimal converging factors. Moreover we give an estimate of the rapidity of convergence of the approximation sequence. An example shows the effectiveness of our method.

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Mit 3 Textabbildungen     

Über die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des allgemeinen Relaxationsverfahrens bei nichtnegativen Matrizen

Zusammenfassung In der folgenden Arbeit wird zunächst (Satz 3) ein Konvergenzintervall für das Relaxationsverfahren bei einer nichtnegativen Gesamtschrittmatrix mitpositiven Diagonalelementen angegeben. Außerdem wird die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens mit der des Einzelschrittverfahrens verglichen, und der optimale Relaxationsfaktor in diesem Intervall angegeben. Es wird ein weiteres Iterationsverfahren betrachtet, welches eine Verbesserung der asymptotischen Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens liefern kann. Der Beweis dieser Aussagen, beruht u. a. im wesentlichen auf Lemma 1, welches besagt, daß bei einer nichtnegativen konvergenten Matrix die Diagonalglieder notwendig kleiner als Eins sind. — Die weiteren Sätze enthalten ähnliche Aussagen bei allgemeineren Matrizen.

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Summary At first, an interval of convergence is obtained for the relaxation method with a non-negativeJacobi-matrix withpositive diagonal elements (Theorem 3). The asymptotic speed of convergence of the relaxation method is compared to that of the Einzelschrittverfahren and the optimal relaxation factor in the interval is given. A further iterative method is considered which may lead to an improved asymptotic convergence speed of the relaxation method. The proof of the assertions rests mainly on Lemma 1 which states that a non-negative convergent matrix has diagonal elements smaller than 1. Further theorems contain similar assertions for more general matrices.

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Erweiterte Fassung eines auf der GAMM-Jahrestagung 1968 in Prag gehaltenen Kurzvortrages.     

Iterationsverfahren bei der konformen Abbildung

Zusammenfassung Bei der konformen Abbildung des Inneren des Einheitskreises auf ein einfach zusammenh?ngendes Gebiet nach der Methode vonTheodorsen tritt eine singul?re nichtlineare Integralgleichung auf. Durch Diskretisation entsteht daraus ein nichtlineares Gleichungssystem, mit dessen iterativer L?sung wir uns besch?ftigen. Es wird ein Satz bewiesen, der besagt, da? das Einzelschrittverfahren doppelt so schnell konvergiert wie das Gesamtschrittverfahren (für das ein Konvergenzsatz vonOpitz, Ostrowski undSaltzer bewiesen wurde). Im n?chsten Abschnitt wenden wir das SOR-Verfahren (Successive Over-Relaxation) auf die beimNewton-Verfahren in jedem Schritt entstehenden linearen Gleichungssysteme an; der Rechenaufwand kann, verglichen mit direkten Verfahren, besonders bei gro?en Systemen stark reduziert werden. Schlie?lich wird vorgeschlagen, das SOR-Verfahren direkt beim nichtlinearen System anzuwenden. Vermutungen über die “Konvergenzgrenze” und den “optimalen Relaxationsfaktor” werden durch ein numerisches Beispiel erh?rtet.

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Summary We consider the conformal mapping of the interior of the unit circle onto the interior of a general closed curve by the method ofTheodorsen. There is to solve a singular nonlinear integral equation. By discretisation one gets a system of nonlinear equations; we examine different iterative methods of solving this system. A theorem is proved which says that the single step iteration converges twice as fast as the total step iteration (on the latter a convergence theorem ofOpitz, Ostrowski andSaltzer is known). In the next section we apply the SOR-method (Successive Over-Relaxation) to the systems of linear equations which appear at every step of theNewton-method. Compared with direct methods the computational work is reduced, especially on great systems. Finally we propose to apply the SOR-method directly to the nonlinear system. Conjetures on the “limit of convergence” and the “optimal relaxation factor” are confirmed by an example.

     

Offshoring in der deutschen IT Branche

Führte der Fachkräftemangel während der Wachstumsphase der deutschen IT-Branche Ende der Neunziger Jahre bis 2002, die durch die rasante Entwicklung des Internet und der Konvergenz von IT- und Telekommunikationsindustrie ermöglicht wurde, noch zur Aufnahme ausländischer IT-Fachkräfte [11], so ergibt sich heute die umgekehrte Situation.     

Über die Charakterisierung von Minimallösungen bei nichtlinearen Approximationsproblemen

Zusammenfassung Approximiert man bezüglich eines gewissen Abstandsbegriffes in einem linearen RaumX ein Elementf ausX durch Elemente eines linearen UnterraumesV, so lassen sich für die Elemente ausV, die vonf den kleinsten Abstand haben, Charakterisierungssätze beweisen, die für normierte Räume bekannt sind und sich dort als bedeutsam für Anwendungen erwiesen haben. Es wird nun die Frage untersucht, für welche TeilmengenV vonX die für lineare Unterräume geltenden Charakterisierungssätze auch noch gelten.

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On the characterization of minimal solutions to nonlinear approximation problems

Summary If, referring to a certain definition of distance in a linear space X, you approximate an elementf ofX by elements of a linear subspaceV, characterization theorems can be found for elements ofV, which have the shortest distance fromf. These theorems of characterization are known for linear normed spaces and have turned out to be of a certain importance for applications. This paper intends to clear the question, to which subsetsV ofX the theorems of characterization for linear subspaces apply as well.

     

Die Anwendung des Analogrechners in der Unternehmensforschung

Zusammenfassung Neben den elektronischen Digitalrechenanlagen gewinnt heute der elektronische Analogrechner und seine Verallgemeinerung zum iterativen Analogrechner, sowie der durch einen Digitalrechner gesteuerte Analogrechner und schließlich die Verbindung von Analog- und Digitalrechner im Hybridrechner zunehmende Bedeutung. Das gilt vor allem für solche mathematische Problemstellungen, bei denen die große Genauigkeit des Digitalrechners nicht erforderlich ist, andererseits aber die typischen Eigenschaften des Analogrechners einen raschen Überblick über die Eigenschaften der Lösungen ermöglichen. Aus der Fülle derartiger Anwendungen seien im folgenden Probleme der Unternehmungsforschung herausgegriffen.

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Summary Besides the electronic digital computers electronic analog computers and their generalisations to iterativ-analog computers or analog computers controlled by digital computers and finally the connection of analog and digital computers in hybrid computers are of increasing importance especially for those mathematical problems, which do not need the high accuracy of digital computers, whereas the typical possibilities of the analog computers allow a quick survey of the features of the solutions. From these applications we choose a few problems of operations research.

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Mit 11 Textabbildungen

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Vortrag, gehalten am 12. November 1965 anläßlich der 150-Jahrfeier der Technischen Hochschule Wien.     

Computational aspects of deciding if all roots of a polynomial lie within the unit circle

In this paper we discuss the computational aspects of two algorithms due to E. I. Jury for determining if all the zeros of a polynomial with integer coefficients lie within the unit circle. We show that Jury's original algorithm asymptotically requires an exponential amount of computing time when variable-precision arithmetic is employed. We show that his modified algorithm requires only a polynomially bounded amount of computing time when variable-precision arithmetic is employed. Finally we produce a congruence arithmetic algorithm analogous to Jury's modified algorithm which requires less computing time than Jury's modified algorithm.

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Rechnerische Gesichtspunkte zur Beantwortung der Frage, ob alle Wurzeln eines Polynoms im Einheitskreis liegen

Zusammenfassung In dieser Arbeit diskutieren wir die rechnerischen Gesichtspunkte zweier Algorithmen von E. I. Jury zur Entscheidung ob alle Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten im Einheitskreis liegen. Wir zeigen, daß beim ursprünglichen Algorithmus von Jury die Rechenzeit asymptotisch exponentiell mit dem Grad des Polynoms anwächst, wenn mit variable Genauigkeit gerechnet wird. Wir zeigen auch, daß unter denselben Voraussetzungen beim modifizierten Algorithmus von Jury die Rechenzeit durch eine Potenz vom Grad des Polynoms abgeschätzt werden kann. Schließlich geben wir einen auf Kongruenzen beruhenden, zum modifizierten Algorithmus von Jury analogen Algorithmus an, der aber weniger Rechenzeit als dieser benötigt.

     

Vier Entscheidbarkeitsprobleme für kontextsensitive Sprachen

Zusammenfassung Die kontextsensitiven Sprachen bilden nicht die allgemeinste Klasse algorithmisch erzeugbarer Sprachen. Dennoch lassen sich vielfältige Probleme (FERMAT) in Entscheidbarkeitsfragen über kontextsensitive Sprachen einbetten. Die hier behandelten Probleme sind sowohl von algebraischem Interesse, als auch für die Umformung von Sprachen durch Homomorphismen und damit für die Analyse wichtig. Leider sind alle gestellten Probleme nicht entscheidbar.

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Summary The context-sensitive languages do not constitute the total class of languages generated by algorithms. Nevertheless various problems (FERMAT) can be embedded in problems of decidability on context-sensitive grammars. The problems here considered are not only of algebraic interest but treat the transformation of languages by homomorphisms and so concern the simplification of language analysing. Unfortunately the questions examined here are undecidable.

     

Über die Approximation asymptotischer Entwicklungen I

Zusammenfassung Für einige Typen linearer homogener Differentialgleichungen werden an Stelle der asymptotischen Entwicklungen für große Werte der unabhängigen Variablenx Approximationen im gleichmäßigen Sinne aus der Differentialgleichung heraus entwickelt. Im vorliegenden ersten Teil werden Lösungen mit exponentiellem Abklingen untersucht. Man erhält exakte Aussagen über die Abweichung von der besten Approximation durch Polynome inx ^–1 und numerisch günstige Näherungen, die zur Aufstellung von Unterprogrammen benutzt werden können. Am Beispiel der Gaußschen Normalverteilung wird das Verfahren explizit durchgeführt.

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Summary For some types of linear homogeneous differential equations approximations in the uniform sense (instead of asymptotic expansions) for large values of the independent variable are derived. In this first part only solutions with a decreasing exponential factor are considered. Exact statements concerning the deviation from the best approximation by polynomials inx ^–1 and good numerical approximations as to be used in setting up subroutines for digital computers are obtained. As an example serves the normal distribution of Gauss.

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Mit 1 Textabbildung     

Ada und Modula-2 — ein Vergleich

Zusammenfassung Die folgende Arbeit wendet sich an Entwickler großer Software-Systeme. Das Ziel ist eine systematische Darstellung der wesentlichen Eigenschaften von Ada und Modula-2, ihrer Unterschiede und Gemeinsamkeiten. Die beiden Sprachen werden anhand eines für die Zielgruppe typischen Kriterienkatalogs einander gegenübergestellt. Dem Leser soll ein Eindruck über die Brauchbarkeit der beiden Sprachen bei der Implementierung großer Software-Systeme vermittelt werden.     

A note on polychotomy

Previous analyses on bounds for the growth of solutions of BVP were dealing either with two point or multipoint conditions. For BVP where some of the two point boundary conditions are separated from the rest one could only give a cruder polychotomy result for a multipoint case as such. In this note we show that such a (decoupled) two point condition actually induces a dichotomic subspace. This is done by reconsidering the notions of dichotomy and polychotomy and deriving appropriate projection mappings which describe the solution space structure.

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Eine Bemerkung zur Polychotomie

Zusammenfassung Bisher haben sich Untersuchungen über Wachstumsschranken für Lösungen von Randwertproblemen entweder mit 2-Punkt-oder mit Mehrpunkt-Bedingungen beschäftigt. Wenn jedoch einige der 2-Punkt-Bedingungen unabhängig von den übrigen Bedingungen sind, dann konnte man nur ein gröberes Polychotomie-Resultat angeben. In dieser Note wird gezeigt, daß eine solche (entkoppelte) 2-Punkt-Bedingung tatsächlich einen dichotomen Unterraum induziert. Dazu werden die Begriffe Dichotomie und Polychotomie genauer untersucht und es werden geeignete Projektionen zur Beschreibung der Struktur des Lösungsraumes hergeleitet.

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Dedicated to Professor Hans J. Stetter on the occasion of his 60th birthday

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Supported in Part by a grant from the Netherlands Organisation for Scientific Research (NWO).     

Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme und Diskretisierungsverfahren bei elliptischen Differentialgleichungen

Zusammenfassung Die für lineare Gleichungssysteme bekannten Sätze über die Konvergenz von Successive overrelaxation methods (SOR) und Alternating direction methods (ADI) werden auf analoge Verfahren bei nichtlinearen Gleichungssystemen übertragen. Dabei können allerdings, wie auch bei anderen Iterationsverfahren für nichtlineare Probleme, nur sogenannte lokale Konvergenz-sätze bewiesen werden. Es wird weiter untersucht, wann es Differenzapproximationen für nichtlineare elliptische Differentialgleichungen gibt, derart, daß die Funktionalmatrix des resultierenden nichtlinearen Gleichungssystems symmetrisch und positiv definit ist. Dann konvergieren SOR für 0<<2 und ADI. Solche Approximationen können zumindest für allgemeinere halblineare Gleichungen hergeleitet werden, wenn die DifferentialgleichungEulersche Gleichung eines Variationsproblems ist. Am Schluß findet sich ein Beispiel.

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Iterative solutions for systems of non-linear equation and discretisation of elliptic differential equations

Summary The theorems, known for systems of linear equations, on the convergence of Successive overrelaxation methods (SOR) and Alternating direction methods (ADI) are transferred to analogous methods for systems of nonlinear equations. In doing so, only so-called local convergence theorems can be proved, however, as it is the case with other iteration procedures for nonlinear problems. Furthermore, it is examined under what conditions there exist difference approximations for nonlinear elliptic differential equations, such as to the functional matrix of the resulting system of nonlinear equations being symmetric and positive definite. SOR for 0<<2 and ADI are then converging. Such approximations can be derived at least for more general semilinear equations if the differential equation is theEuler equation of a variational problem. Finally, an example is given.

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Herrn Professor Dr.L. Collatz anläßlich seines 60. Geburtstages gewidmet