基于膜计算的一种新型求解非线性方程组的优化算法

非线性方程组的数值求解问题是一个很重要的课题。大多数的求解算法,例如梯度下降法和牛顿法,其收敛性和性能特征在很大程度上依赖于初始点。对于很多非线性方程组,选择好的初始点是一件非常困难的事情。针对以上这些问题提出一种基于膜计算优化算法,算法首先对搜索的空间分割,每个子空间作为一基本膜,在其中的区域中应用进化策略,并且对于每个膜区域把最好的解传给最外层膜。最外层膜区域采用全局搜索策略粒子群算法寻找最优解。仿真实验结果表明该算法比其他算法收敛速度快、精度高。     

Entropic-FV活度系数模型预测膜的溶胀性能

根据Vrentas-Duda自由体积理论，结合基于UNIFAC活度系数模型，在较宽的浓度范围内预测了聚合物膜在溶液中溶胀行为。用UNIQUAC方程计算液相中组分的活度，考虑了温度对模型方程中二元交互作用参数的影响。对水／乙二醇(EG)／聚乙烯醇(PVA)膜体系，三个不同温度60℃、70℃和80℃下计算结果和实验数据基本一致。模型方程中自由体积部分影响较大，考虑聚合物的粘弹性贡献对预测结果有一定改进。     

轴向运动薄板非线性振动及其稳定性研究

应用增量谐波平衡法(IHB法)研究轴向运动薄板横向非线性振动特性及其稳定性.通过Hamilton原理推导出了非惯性参考系下四边简支轴向运动薄板的横向振动微分方程,然后利用Galerkin方法离散运动方程.对离散后的非线性方程组应用IHB法进行非线性振动分析,研究了在固有频率之比ω20/ω10接近于3:1情况下,外激励频率ω在ω10附近的具有内部共振的基谐波响应.最后用多元Floquet理论分析了系统周期解的稳定性,其中采用Hsu方法来计算转移矩阵.通过对具体例子的数值计算,分别得到了自由振动和不同外激励下的频幅相应曲线,通过对比运动梁模型和运动薄板模型的计算结果,分析了各种模型的适用范围.     

复杂介质球对平面波电磁散射的解析解

利用球矢量波函数对复杂介质球电磁散射的解析解开展了理论研究,并给出了数值计算结果。方法是从无源麦克斯韦方程组,结合媒介的本征结构推导出含参数的矩阵方程,再由矩阵方程的非零解的存在条件解出方程中的参数,然后将解出的参数反代入矩阵方程得到矩阵方程的非零解,进而推出介质球中的电磁场的解析表达式,再利用在复杂介质球表面电场、磁场所满足的边界条件求得散射场。     

线振动MEMS陀螺结构振动非线性特性研究

针对一种线振动微机电系统(MEMS)陀螺结构的振动非线性开展研究,利用理论方法推导、有限元仿真和扫频数据拟合得到了陀螺结构的非线性系数,根据达芬方程推导计算出非线性迟滞效应消失的临界激励以及对应的振幅阈值,为陀螺结构设计提供了理论指导.实验结果表明:非线性迟滞效应消失点和理论值相吻合.     

功能梯度材料椭圆板的非线性热振动及屈曲

采用弹性理论建立了功能梯度材料板的静力平衡方程,利用静力平衡方程确定了功能梯度材料板的中性面位置,在此基础上推导出了功能梯度材料板在均匀温度场中的非线性振动及屈曲微分方程组,求得了功能梯度材料椭圆板的非线性振动及屈曲的近似解,讨论分析了中性面位置、梯度指数、温度等因素对功能梯度材料椭圆板非线性振动及屈曲的影响.把该方法计算结果与有限元计算结果进行了比较,验证了该方法的计算结果是可靠的.算例分析表明,中性面位置对均匀温度场中功能梯度材料椭圆板的非线性振动及屈曲有一定影响.     

功能梯度材料圆板的非线性热振动及屈曲

采用弹性理论建立了功能梯度材料板的静力平衡方程,利用静力平衡方程确定了功能梯度材料板的中性面位置,在此基础上推导出了功能梯度材料板在均匀温度场中的非线性振动及屈曲微分方程组,求得了功能梯度材料圆板的非线性振动及屈曲的近似解,讨论分析了中性面位置、梯度指数、温度等因素对功能梯度材料圆板非线性振动及屈曲的影响.把该方法计算结果与有限元计算结果进行了比较,验证了该方法的计算结果是可靠的.算例分析表明,中性面位置对均匀温度场中功能梯度材料圆板的非线性振动及屈曲有一定影响.     

求解极坐标系下反应扩散方程的紧致隐积分因子方法

反应扩散方程在物理、化学和生物等领域有着重要的应用.以往的工作主要在矩形区域上考虑求解,本文研究圆形和环形区域上求解反应扩散方程.首先将反应扩散方程写成极坐标形式,利用二阶有限差分方法在空间r方向和θ方向分别进行离散.将网格上的数值解以矩阵形式表示,并且将微分算子离散成矩阵形式,从而得到紧致形式下的非线性常微分方程组,然后应用隐积分因子方法求解该非线性常微分方程组.紧致隐积分因子方法不仅降低了存储量,而且在每一个时间层只需要求解局部的非线性代数方程组.最后给出数值算例,选取带有精确解的反应扩散方程以及Schnakenberg模型,在圆形和环形区域上求解反应扩散方程组,数值结果显示该方法能够快速且准确地计算.     

Cahn-Hilliard方程多重网格求解器收敛性分析

Cahn-Hilliard(CH)方程是相场模型中的一个基本的非线性方程，通常使用数值方法进行分析。在对CH方程进行数值离散后会得到一个非线性的方程组，全逼近格式(Full Approximation Storage, FAS)是求解这类非线性方程组的一个高效多重网格迭代格式。目前众多的求解CH方程主要关注数值格式的收敛性，而没有论证求解器的可靠性。文中给出了求解CH方程离散得到的非线性方程组的多重网格算法的收敛性证明，从理论上保证了计算过程的可靠性。针对CH方程的时间二阶全离散差分数值格式，利用快速子空间下降(Fast Subspace Descent, FASD)框架给出其FAS格式多重网格求解器的收敛常数估计。为了完成这一目标，首先将原本的差分问题转化为完全等价的有限元问题，再论证有限元问题来自一个凸泛函能量形式的极小化，然后验证能量形式及空间分解满足FASD框架假设，最终得到原多重网格算法的收敛系数估计。结果显示，在非线性情形下，CH方程中的参数ε对网格尺度添加了限制，太小的参数会导致数值计算过程不收敛。最后通过数值实验验证了收敛系数与方程参数及网格尺度的依赖关系。     

舰载特种起重机终端执行器空间位置坐标激光跟踪测量数学建模

由于舰载特种起重机复杂的工作环境和特殊的应用，需要对其终端执行器的空间位置进行精确的检测。文章所提出的舰载特种起重机终端执行器空间位置的跟踪测量系统集激光干涉测距，光电检测，精密机械，计算机，控制系统和现代数值计算于一体，采用多路激光干扰仪进行测量，对测量点造成过定位，通过解非线性最小二乘方程组计算出被测点的空间坐标。文章基于多路法的原理建立了计算坐标的数学理论模型，并对数学模型进行了仿真验证，仿真的最终结果表明所建立的数学方程是正确的。     

A Level Set Framework for Capturing Multi-Valued Solutions of Nonlinear First-Order Equations

We introduce a level set method for the computation of multi-valued solutions of a general class of nonlinear first-order equations in arbitrary space dimensions. The idea is to realize the solution as well as its gradient as the common zero level set of several level set functions in the jet space. A very generic level set equation for the underlying PDEs is thus derived. Specific forms of the level set equation for both first-order transport equations and first-order Hamilton-Jacobi equations are presented. Using a local level set approach, the multi-valued solutions can be realized numerically as the projection of single-valued solutions of a linear equation in the augmented phase space. The level set approach we use automatically handles these solutions as they appear     

The multilinear algebra of the moments of distributions in the analysis of nonlinear stochastic systems

The differential equations are obtained for multilinear moment forms of the phase vector of a stochastic system described by the nonlinear stochastic Ito equation. The equations are derived for mixed moment forms of the process whose phase vector takes values in the product space. Multilinear cumulant forms are defined, and the link is established between the moments and cumulants. The issues of approximate solution of an infinite set of equations for the moments are discussed. The exact solution is given to the equations for the moments of a specific two-dimensional bilinear system.     

Tracking local optimality for cost parameterized optimization problems

In this paper, a procedure for computing local optimal solution curves of the cost parameterized optimization problem is presented. We recast the problem to a parameterized nonlinear equation derived from its Lagrange function and show that the point where the positive definiteness of the projected Hessian matrix vanishes must be a bifurcation point on the solution curve of the equation. Based on this formulation, the local optimal curves can be traced by the continuation method, coupled with the testing of singularity of the Jacobian matrix. Using the proposed procedure, we successfully compute the energy diagram of rotating Bose–Einstein condensates.     

粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁动力学行为

建立了粘弹性地基上损伤弹性Timoshenko梁在有限变形情况下的运动微分方程,这是一组非线性偏微分方程.为了便于分析,首先利用Galerkin方法对该方程组进行简化,得到一组非线性常微分方程.然后利用Matlab软件进行数值模拟,考察了载荷参数、地基粘性参数和弹性参数、损伤对梁振动的影响.采用非线性动力学中的各种数值方法,如时程曲线、相平面图、Poincare截面和分叉图,发现增大地基的粘弹性参数,有利于增强结构运动的稳定性,而损伤会降低结构运动的稳定性.     

高维网机系统失稳振荡的分岔研究

应用机电耦联动力学理论和电路理论,建立了统一的发电机组并网发电的数学模型．该模型为27维非线性微分动力系统,包括机械扭振方程、同步发电机瞬变过程基本方程、原动机力矩分配及调速控制方程、励磁调节控制方程和并网线路串补电容方程5大部分．本文选择线路串补电容的容抗、线路电阻作为分岔参数,计算并得到了失稳参数区域图．对满足两对纯虚特征值的参数点,利用中心流形定理对原系统方程做了降维．再利用多参数稳定性理论及归一化技术,对约化方程进行求解,得到了分岔方程．由此得到分岔参数图、4个参数区的动力学特性,并得到了数值验证．     

非线性受控系统状态方程的任意阶近似解

针对工作在理想状态附近的受控系统,通过对其非线性状态方程进行Taylor展开,使之变为无穷级数形式的常微分方程组;然后在线性状态方程组解的基础上采用常数变异法,使之变换成积分方程;最后采用逐次逼近法求得非线性状态方程的任意阶近似解,并进一步讨论了系统状态的方均包络矩阵的转移规律.     

石墨烯三相复合材料板的非线性动力学研究

研究带有石墨烯涂层的1-3型压电纤维复合材料(MFC-GP)简支板结构的非线性动力学特性.首先,基于Reddy一阶剪切变形理论、Von Kármán位移应变关系以及Hamilton原理,推导了MFC-GP复合材料板的非线性偏微分方程.根据边界条件选择适当的模态函数,利用Galerkin法将偏微分方程离散成两自由度的常微分方程.采用多尺度方法进行摄动分析,得到结构在1∶1内共振下的频响方程,分析了石墨烯体积分数、电压、温度等对结构非线性频响曲线的影响.通过数值模拟,运用分叉图、相图、波形图研究了外激励对MFC-GP板非线性振动响应的影响.结果表明:不同参数及外激励下,结构出现了复杂的非线性动力学行为,对今后的工程实际应用具有一定的指导意义.     

求一类非线性偏微分方程精确解的简化试探函数法

利用试探函数法,将一个难于求解的非线性偏微分方程化为一个易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,简洁地求得了一类非线性偏微分方程的精确解．将此方法应用到Burgers方程、KdV方程和KdV—Burgers方程,所得结果与已有结果完全吻合．本方法可望进一步推广用于求解其它非线性偏微分方程．     

The calculation and application of R function in ternary systems

The application of R function to the calculation of activities in a two-phase region in ternary systems is presented, which is simple and make the continuous calculation of activities from a homogeneous region to a two phase region easy. In order to extend the application of R function method to the calculation of the ternary modified Gibbs-Duhem equation, a new calculation formula is also derived.