双枝模糊集(Ⅱ)

提出双枝模糊集Ｓ的理论,是（Ｉ）研究的继续．提出双枝模糊集Ｓ的并－普通分解定理,交－普通分解定理．这些结论建立了双枝模糊集Ｓ与普通集Ｓλ之间的关系,这些结论为建立双枝模糊推理,双枝模糊控制作了理论准备．结论指出：（１）双枝模糊集Ｓ同时存在并－普通分解形式：Ｓ＝∪λ∈［－１,１］λＳλ和交－普通分解形式：Ｓ＝∩λ∈［－１,１］λＳλ;这两种分解形式是建立双枝模糊推理理论,双枝模糊控制理论的理论基础．（２）单枝模糊集Ａ（Ｌ．Ａ．ＺａｄｅｈＦｕｚｚｙＳｅｔＡ）的并－普通分解定理,交－普通分解定理是双枝模糊集Ｓ的并－普通分解定理,交－普通分解定理的特例．     

双枝模糊集(Ⅲ)

提出双枝模糊集Ｓ的理论,本课题是［Ⅰ,Ⅱ］研究的继续．在单枝模糊集理论（Ｌ．Ａ．ＺａｄｅｈＦｕｚｚｙＳｅｔＴｈｅｏｒｙ）研究中,由于引进λ－截集Ｓλ的概念,便产生了单枝模糊集的并－普通分解定理［３］,交－普通分解定理［４］．［Ⅰ,Ⅱ］提出了双枝模糊集Ｓ,由于引进了λ－截集Ｓλ的概念,便产生了双枝模糊集Ｓ的并－普通分解定理,交－普通分解定理．人们自然提出这样的问题：双枝模糊集可以分解成若干个普通集Ｓλ;双枝模糊集Ｓ是否能分解成若干个模糊集Ｓα？本文的研究说明：双枝模糊集Ｓ可以分解成若干个模糊集Ｓα．（一个单枝模糊集Ａ也可以分解成若干个模糊集Ａα,但是在单枝模糊集理论中没有被人们去研究．）本文给出Ｓ的α－嵌入集Ｓα的概念,提出Ｓ的α－嵌入定理,Ｓ的α－嵌入模糊分解定理．     

双枝模糊集( VI)

提出具有重域的非对称模糊集 Ｓ理论,具有重域的非对称双枝模糊集简称重域非对称双枝模糊集,重域非对称模糊集 Ｓ是由下—非对称双枝模糊集 Ｓ∧,上—非对称双枝模糊集 Ｓ∨生成得到的给出下列结果：１　提出一次生成重域非对称双枝模糊集 Ｓ的并—普通分解定理：　　　（１） Ｓ＝ ∪λ∈［－ １,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨）λ　　（２） Ｓ＝ ∪λ∈［－ １,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨） λ·　　（３） Ｓ＝ ∪λ∈［－ １,１］λ（ Ｈ∧ ○ Ｈ∨ ）λ（０．１）　　２　提出ｎ 次生成重域非对称双枝模糊集 Ｓ的并—普通分解定理：　　　（１） Ｓ＝ ∪λ∈［－ １,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨）λ　　（２） Ｓ＝ ∪λ∈［－ １,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨） λ·　　（３） Ｓ＝ ∪λ∈［－ １,１］λ（ Ｈ∧ ○ Ｈ∨ ）λ（０．２）　　这里,“○”是重域非对称双枝模糊集 Ｓ一次生成算子,“○”是重域非对称双枝模糊集 Ｓ ｎ次生成算子     

双枝模糊集( Ⅶ)

提出具有重域的非对称模糊集 Ｓ 理论,具有重域的非对称双枝模糊集简称重域非对称双枝模糊集．这些研究是［１］ 的继续．给出下列结果：１提出一次生成重域非对称双枝模糊集 Ｓ的普通交分解定理：　　　１°　 Ｓ ＝ ∩λ∈［ － １ ,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨）λ,　２°　 Ｓ＝ ∩λ∈［ － １ ,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨） λ·　３°　 Ｓ＝ ∩λ∈［ － １ ,１］λ（ Ｈ∧ ○ Ｈ∨） λ（０ ．１）２提出ｎ 次生成重域非对称双枝模糊集 Ｓ的普通交分解定理：　　　１°　 Ｓ ＝ ∩λ∈［ － １ ,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨）λ　２°　 Ｓ ＝ ∩λ∈［ － １ ,１］λ（ Ｓ∧○ Ｓ∨） λ·　３°　 Ｓ＝ ∩λ∈［ － １ ,１］λ（ Ｈ∧ ○ Ｈ∨） λ（０ ．２）３提出 Ｓ的最大重域存在定理,最小重域存在定理     

双枝模糊集（Ⅴ）

本文是本课题系列的一部分,在既有研究的基础上,提出Ｘ上非对称双枝模糊集Ｓ和它的两类重要的双枝模糊集;下一非对称双枝模糊集Ｓ,上一非对称双枝模糊集Ｓ;给出Ｓ,Ｓ的基本理论;提出非对称双枝模糊－－普通并分解定理;非对称双枝模糊－－普通交分解定理;非对称模糊截域定理。     

双枝模糊集（Ⅱ）

提出双枝模糊集Ｓ的理论，是（Ｉ）研究的继续。     

一类二级指数样条插值的误差估计

讨论了形如ｓ（ｘ）＝ａｉ＋ｂｉｅｘ＋ｃｉｅ２ｘ，ｘ∈［ｘｉ，ｘｉ＋１］的二级指数样条函数，给出了相应的误差估计。     

紧邻广义简单排它过程的遍历定理

研究了具有状态空间为｛０，１，…，ｍ｝＾Ｓ和具有紧邻转移概率矩阵Ｐ＝（Ｐ（ｘ，ｙ））ｘ，ｙ∈Ｓ的广义简单排它过程的极限状况。用基本耦合方法证明了如果过程的初始分布μ是平移不变的且是遍历的，则它的极限分布是状态空间上的乘积测度。这个结果推广了Ａｎｄｊｅｌ［１］中的定理１．２，并且部分推广了［３］中的定理１．１１。     

相依样本回归函数和密度函数的强一致相合估计

设有非参数回归模型：ｙｉ＝ｇ（ｘｉ）＋εＩ,ｉ＝１,２,…,ｎ这里固定设计点：０＝ｘ０〈ｘ１〈…〈ｘｎ＝１,｛εｉ,ｉ＝１,２,…,ｎ｝为随机误差序列,有相同密度函数ｆ（ｘ）,ｇ（ｘ）为［０,１］上可各的未知函数。     

函数在[a,b]上几乎处处为零的充分条件

本文从ψ（ｘ）在［ａ，ｂ］上满足的积分条件出发，导出了ψ（ｘ）＝０，ａ．ｅ，ｘ∈［ａ，ｂ］，并得到推论ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ａ．ｅ，ｘ∈［ａ，ｂ］。     

关于修正的Lagrange插值多项式

构造一个以第二类Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式的零点作为插值节点的ｆ（ｘ）∈Ｃ［－１，１］的次数小于λＧ（１＜λ＜２）的修正的Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式．Ｊ．（ｆ，ｘ）．在Ｇ个节点上Ｊ（ｆ，ｘ）取值与ｆ（ｘ）相同。当Ｇ→∞时，Ｊｎ（ｆ／ｘ）在［－１，１］上一致收敛到ｆ（Ｘ），且对连续函数类和Ｃ１连续函数类的逼近均达到最佳收敛阶。同时得到１９３２年ＢｅｒｎｓｔｅｉｎＳＮ［１］构造的以第一类Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式的零点作插值节点的修正的Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式Ｑｎ（ｆ，ｘ）的平均收敛阶。     

模糊集合(二)

模糊集合（二）陈大为（黑龙江水利高等专科学校）模糊集还存在其他形式的代数系统，常用的有（Ｆ（Ｘ），＋∧，·，Ｃ）和（Ｆ（Ｘ），，·○，Ｃ）定义２．２设Ａ，Ｂ∈Ｆ（Ｘ），则（１）Ａ＋∧Ｂ（Ａ＋∧Ｂ）（ｘ）＝Ａ（ｘ）＋Ｂ（ｘ）－Ａ（ｘ）·Ｂ（ｘ），?..     

Global Attractivity of X_(n 1)=AX_n F(X_(n-k))

本文给出差分方程Ｘｎ＋１＝ＡＸｎ＋Ｆ（Ｘｎ－ｋ）的全局吸收性．其中ｎ＝０，１，…，Ｘｉ∈［０，∞）ｍ，ｍ，ｋ∈｛１，２，…｝，Ａ是ｍ×ｍ矩阵，Ｆ∈Ｃ［０，∞）ｍ，（０，∞）ｍ］．这是［１］中研究深题２．４．１     

一类三角模的自生成

在已有研究的基础上,讨论了如何由已知的三角模生成新的三角模问题,亦即所谓“三角模的自生成”问题,并讨论了三角模的性质,指出几乎所有已知的Ｔ－模,都满足不等式：⊥（λｘ,λｙ）≤λ⊥（ｘ,ｙ）,ｘ,ｙ,λ∈［０,１］．     

经验过程的Cesaro大数定律

得到了经验过程的Ｃｅｓａｒｏ大数定律成立的充要条件．设Ｘ为概率空间（Ω,Ｆ,Ｐ）上取值于可测空间（Ｓ,Ａ）中的随机元,｛Ｘｋ｝ｋ≥０为Ｘ的独立版本序列．在给予Ａ－可测函数族Ｇ以某些条件下,对所有α∈（０,１）,得到１Ａαｎｎｋ＝０Ａα－１ｎ－ｋｆ（Ｘｋ）Ｇ→０,ａ．ｓ．成立的充要条件是Ｅｆ（Ｘ）１／αＧ＜∞．     

多项式逼近余项的Lipschitz常数的估计

本文讨论了代数多项式逼近ＷＨω上函数余项的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数。我们主要证明如下结论，设ｆ（ｘ）∈ＷｋＨω（ｋ≥１），ｐｎ（ｘ）∈Πｎ，ｒｎ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｐｎ（ｘ）满足：‖ｒｎ‖≤Ａ１ｎ－ｋω１ｎ则有ｓｕｐｘ１，ｘ２∈［－１，１］ｘ１≠ｘ２｜ｒｎ（ｘ２）－ｒｎ（ｘ１）｜｜ｘ２－ｘ１｜β≤Ａ２ｎ－ｋ＋２βω１ｎｓｕｐｘ１，ｘ２∈［ａ，ｂ］ｘ１≠ｘ２｜ｒｎ（ｘ２）－ｒｎ（ｘ１）｜｜ｘ２－ｘ１｜β≤Ａ３ｎ－ｋ＋βω１ｎ其中０＜β≤１，－１＜ａ＜ｂ＜１，Ａ１是一个确定的常数，Ａ２、Ａ３都是与ｎ无关的常数。     

双枝模糊集S(Ⅷ)

本文是文献 [1～ 7]研究的继续 .提出 1°.X上非对称双枝模糊集 S的并 -模糊分解定理 .2°.X(X=X )上单枝模糊集 A的并 -模糊分解定理 .这些结果是 :1 .非对称双枝模糊集 S的并 -模糊分解定理1°.　S=∪η,α∈ [-α1,1]　 -α1≠ 0-α1=∨mi=1-αiηSα　　 2°.　S=∪ζ,α∈ [-α1,1]　 -α1≠ 0-α1=∨mi=1-αiζS·α　　 3°.　S=∪σ,α∈ [-α1,1]　 -α1≠ 0-α1=∨mi=1-αiσHα(α)其中 :S∈F(X) ;Sα,S·α,Hα(α)∈Fα(X) .2 .单枝模糊集 A的并 -模糊分解定理 [1～ 7]1°.　S=∪η,α∈ [0 ,1] ηAα　　 2°.　S=∪ζ,α∈ [0 ,1] ζA· α　　 3°.　S=∪σ,α∈ [0 ,1] σHα(α)其中 A∈F(X) ;Aα,A· α,Hα(α)∈Fα(X) .     

模糊关系(续完)

２模糊矩阵有限论域上的模糊关系可用矩阵来表示。定义２．１设Ｘ＝｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ｝，Ｙ＝｛ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ｝，Ｒ是空间Ｘ×Ｙ上的模糊关系。令μｉｊ＝μＲ（ｘｉ，ｙｊ），（ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ）则矩阵〔μｉｊ〕ｍｎ＝μ１１μ１...     

L20([0,1])的小波基底构造

利用一种简单的、完全在时间域上构造小波的方法－－提升格式构造出Ｌ＾２０（「０,１」）＝｛ｆ（ｘ）∈Ｌ＾２（「０,１」）：ｆ（０）＝ｆ（１）＝ｆ＾１（０）＝ｆ＾１（１）＝０｝的带边界条件的小波基底。     

一个新形式的强大数定律

采用文献＾［１］中的分析方法研究可列非齐次马氏链ｍ元状态序组出现频率的极限定理,得到了如下结果：定理 设｛Ｘｎ,ｎ≥０｝是以Ｓ＝｛１,２,３,…｝为状态空间的马氏链,其初始分布与转移矩阵列分别为ｑ（１）,ｑ（２）,ｑ（３）,… Ｐｎ＝（ｐｎ（ｉ,ｊ））,ｉ,ｊ∈Ｓ,ｎ＝０,１,２,…设ｎ≥２为整数,ｉｋ∈Ｓ（ｋ＝０,１,…,ｍ）,Ｓｎ（ｉ１,…,ｉｍ,ω）是ｍ维随机向量序列｛（Ｘ１,Ｘ１＋１,…,