Die Berechnung von Übergangsvorgängen bei Induktionsmaschinen mit Stromverdrängungsläufern

Übersicht Zur rechnerischen Untersuchung nichtstationärer Vorgänge bei Asynchronmaschinen mit Käfigläufern wird die Stromverdrängung mit Hilfe der Doppelkäfignäherung in einem auf der Grundlage der Zweiachsentheorie aufgebauten elektromechanischen Gleichungssystem berücksichtigt. Die Einflüsse der Eisensättigung in der Leerlaufkennlinie und in der Kurzschlußkennlinie können in erweiterten Gleichungen mit beachtet werden. Die Auswertung des Systems erfolgt in der Nachbildung am Analogrechner. Die Rechenergebnisse von Hochlauf-, Einschalt- und Netzumschaltungsuntersuchungen für große Motoren werden angegeben.

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Contents The behaviour of squirrel-cage induction machines is described by a system of differential equations based on the cross-field theory. With respect to the skin effect the rotor is represented by a double-cage approximation. Saturation of the main flux and leakage flux as well can be taken into account by an expanded form of equations. An analogue computer was used for numerical computation; results are given for the transient performance of large motors in cases of starting, starting with pony-motor and reclosing on an auxiliary power supply line.

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Übersicht der wichtigsten Formelzeichen

Indizes S Ständer - L Läufer allgemein - o Oberkäfig - u Unterkäfig - h Hauptfeld - a, b, c Dreiphasensystem - , , o Komponentensystem - N Nennwert - K Kurzschlußwert; Kippwert - auf Streuung bezogen - R Regulierläufer (Schleifringläufer) - G Gegenwirkung (Last) - A Anlauf - * konj. komplexer Wert Veränderliche Unabhängig =2f·t Zeitwinkel Abhängig u Spannungen - i Ströme - verkettete Flüsse - m Drehmoment - s Schlupf - _s Korrekturfaktor für Ständerwiderstand - Korrekturfaktor für Streuwegsättigung - Komplexe Zusammenfassung der ,-Komponenten u=u +ju ; +j i=i +ji Konstanten Kurzschlußreaktanzen - Kurzschlußdämpfungen - Kurzschlußströme - Nennflüsse Weitere Koeffizienten T _A mech. Anlaufzeitkonstante - Gewichtsfaktoren bei der Hauptflußbildung Im allgemeinen werden Veränderliche mit kleinen, konstante Wert mit großen Buchstaben bezeichnet.     

Stromrichter an Netzen mit begrenzter Kurzschlußleistung

Übersicht Die klassische Theorie der Stromrichter gründet sich auf die Vorstellung eines Wechselstromnetzes, dessen Spannung am Stromrichteranschluß nicht durch den Stromrichterbetrieb beeinflußbar ist. Damit wird eine unendlich große oder praktisch jedenfalls große Netzkurzschlußleistung im Vergleich zur Stromrichterleistung vorausgesetzt. Gleichstromleistungen bei Hochspannungsübertragungen, wie sie hente vorkommen, und auch der Wunsch, bedeutende Leistungsbeträge relativ schwachen Netzen zuzuführen, haben die Grundlage für die genannte theoretische Voraussetzung mehr und mehr in Frage gestellt. In [1] werden einige Gesichtspunkte des Zusammenhanges zwischen Netzkurzschlußeleistung und Stromrichterbetrieb behandelt und die vorliegende Arbeit soll eine Weiterführung dieser Untersuchung geben. Insbesondere wird die geringste Netzkurzschlußleistung bestimmt, die gerade noch die Überführung der nominellen Anlagenleistung wenigstens grundsätzlich gestattet.

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Converters on networks with limited short-circuit capacity

Contents The classical converter theory is based on the conception of an alternating current network with a voltage at the converter connection point which cannot be influenced by the operating conditions of the converter. This means an infinite or in any case a practically large short-circuit capacity of the network compared with the power of the converter. The magnitude of power occurring in high voltage DC-transmissions today and also the requirement to supply relatively weak networks with quite great amounts of power have more and more removed the basis of the said theoretical assumption. Some points of view regarding the connection of network short-circuit capacity and converter operation are given in [1]. The present paper continues these investigations. Especially the lowest network short-circuit capacity is determined which — at least in principle — just allows the transmission of the nominal power of the plant.

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Definitionen U _N Netzwechselspannung am Stromrichteranschluß - U _NO 19^* Vom Stromrichter aus gesehene Wechselspannung hinter der transienten Netzreaktanz (X _N ) - S Scheinleistung der Grundwelle in der Verbindung Stromrichter-Filter - cos zuS gehörender Leistungsfaktor - Winkel zwischen den SpannungenU _N undU _NO - Index _m Nomineller Wert - transiente Netzkurszchlußleistung bezogen auf Netzspannung am Stromrichter - kapazitive Nennleistung eines Kondensators oder Filters am Stromrichteranschluß - D Gleichspannung - D _iO =kU _N ideelle Leerlaufgleichspannung mitU _N als Basis - D _iOO =kU _NO ideelle Leerlaufgleichspannung mitU _NO als Basis - D _i ideelle Gleichspannung (ohne Ohmschen Gleichspannungsabfall) - I Gleichstrom - Zündwinkel - Löschwinkel - d _x (d _r ) relativer induktiver (Ohmscher) Gleichspannungsabfall - - N - N ₀ - X - x - Y - y - Z - z - - Y - X - N      

Die verlustbehaftete Fernleitung ohne und mit Längskompensation

Übersicht Häufig werden Fernleitungen unter der Annahme berechnet, daß die längs und quer zur Leitung auftretenden Verluste vernachlässigbar seien. Die Anwendung dieses Rechenverfahrens setzt jedoch voraus, daß die Abhängigkeit des Betriebsverhaltens der Leitung von den Leitungsverlusten bekannt ist. Zweck der vorliegenden Arbeit soll es sein, die dafür geltenden Gesetzmäßigkeiten abzuleiten. In einem ersten Teil wird die Fernleitung ohne Längskompensation behandelt. Dazu werden zwei Lösungsverfahren angegeben und die abgeleiteten Formelsysteme mit Hilfe eines Digitalrechners für Fernleitungen von 400 bis 800 kV Betriebsspannung sowie von 400 bis 1200 km Länge ausgewertet. In einem zweiten Teil wird die längskompensierte Fernleitung näher behandelt und für die einstufige Kompensation dargelegt, daß das in einer früheren Arbeit vorgeschlagene Rechenverfahren in modifizierter Form auch bei Mitberücksichtigung der Leitungsverluste anwendbar ist.Übersicht der benutzten Formelzeichen l Länge - R ₀ Widerstandsbelag - L ₀ Reaktanzbelag - C ₀ Suszeptanzbelag - A ₀ Ableitungsbelag - Ersatzkonstanten in derII-Schaltung - Absolutbetrag der Längsimpedanz - Z Wellenwiderstand der verlustfreien Leitung - Phasenkonstante der verlustfreien Leitung - l Leitungswinkel der verlustfreien Leitung bei Entnahme ihrer natürlichen Leistung - N _nat natürliche Leistung der verlustfreien Leitung - V Leitungswinkel der verlustbehafteten Leitung - V _k Leitungswinkel der verlustbehafteten Leitung mit Längskompensation - N _w1,N _w2 Wirkleistungen - N _b1,N _b2 Blindleistungen - N _vk verkehrte Kurzschlußleistung - J ₁,J ₂ Leiterströme - U ₁,U ₂ Leiterspannungen - Wirkungsgrad - 1, 2 Zustände am Anfang und Ende der Leitung - x, y Koordinaten des Ossanna-Diagramms - a, b, c, Hilfsgrößen - q, r, s Hilfsgrößen in Gl. (27) - I, II... Nummer des Vierpols - Leistungsverhältnis - k Kompensationsgrad - (N _nat)k natürliche Leistung der kompensierten Leitung - X Kompensationsreaktanz - u Realteil von - v Imaginärteil von - * Mit Stern versehene Formelzeichen gelten für das Spannungsverhältnis 1 - · komplexe Größen mit Punkt über den Formelzeichen Mit 20 TextabbildungenForschungsassistent am vorgenannten Institut.     

Durchhang und Zug bei Luftkabeln und Freileitungen,insbesondere bei geneigtem Spannfeld

Übersicht Als Ergänzung der Arbeiten zahlreicher anderer Verfasser wird ein vollständiges System der exakten Formeln vorgelegt, die bei Festigkeitsberechnungen an Freileitungen und Luftkabeln mit festen Aufhängepunkten eine Rolle spielen.Aus den exakten, für das praktische Rechnen wenig geeigneten Gleichungen werden einfach zu handhabende Formeln für Spannfalder beliebiger Neigung abgeleitet, die sich von den bekannten dadurch unterscheiden, daß sie durch Korrekturfaktoren praktisch fehlerfrei gemacht sind. Die Korrekturfaktoren stehen in Form von Kurvenscharen zur Verfügung Außerdem wird ein allgemein anwendbares nomographisches Verfahren zur Aufstellung von Montagetabellen angegeben.

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Summary A complete system covering the exact equations required when calculating the powers or tensions of overhead lines and aerial cables with fixed suspension points is submitted as supplement to the papers by other authors.From the exact equations, which are not very suitable for practical calculation, easily computable equations are derived for spans of all degrees of incline. These differ from the known ones in that correction factors are available as families of curves. A method using a chart diagram and having general application is given for listing installation tables.

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Übersicht der Formelzeichen E Elastizitätsmodul - K ₁₂,K ₁₃ usw. Korrekturfaktoren - Q Tragender Querschnitt - Hilfsgrößen in den Nomogrammen - Z Zugkraft - a Spannweite - b Waagerechter Abstand der beiden - h Höhendifferenz Aufhängenpunkte - f Durchhang - g Seilgewichtsbelag - Montagekonstante - s Länge des gespannten Seils bei der Temperaturt - s ₀ Länge des entspannten Seils bei o °C - t Temperatur - v Z/(a g)=relative Zugkraft - Wärmedehnungszahl - f/a - b /a Bedeutung der Indizes bei Z und v f am Durchhaugpunkt - o am Halbhöhenpunkt - h am hohen Aufhängepunkt - t am tiefen Aufhängepunkt - waagerechte Komponente - hs senkrechte Komponente am hohen bzw. tiefen Aufhängepunkt - ts senkrechte Komponente am hohen bzw. tiefen Aufhängepunke Mit 3 Textabbildungen     

Eine Theorie des Wechselstromkreises mit Lichtbogen

Die Ausgleichvorgänge durch Kreis- und Erdkapazitäten Bei den nachfolgenden Ausführungen handelt es sich um eine Fortsetzung des in Bd. 44 (1959) Heft 4 dieser Zeitschrift bereits erschienenen ersten Teiles Eine Theorie des Wechselstromkreises mit Lichtbogen.Bezeichnungen R ₁ Ohmscher Widerstand von Trafo und Netzzuleitung - R ₂ Ohmscher Widerstand des Lastkreises - R ₃ Ohmscher Widerstand vorC ₁ - R ₄ Ohmscher Widerstand vorC ₂ - R Kleinstmöglicher Widerstand der Verbindung zweier Stromkreise über ein Schaltgerät - Phasenwinkel der Spannung im Augenblick des Stromnulldurchganges bei metallisch geschlossenem Stromkreis - Phasenwinkel der Spannung im Augenblick des Stromnulldurchganges nach der Zündung bei Berücksichtigung vonL undR stattL undR - Phasenwinkel des Stromes im metallisch geschlossenen Stromkreis - Phasenwinkel des Stromes im metallisch geschlossenen Stromkreis vor der Zündung des Lichtbogens - ₁ - ₂ - Phasenwinkel der Ausgleichströme - tg - ₁ - ₂ - 2f (Kreisfrequenz beif=50Hz: =314) - ₁ - ₂ - z _ges - z ₄ - e _b Lichtbogenspannung= (Die konstante induktive und ohmsche Komponente der Lichtbogenspannung ist bereits zu den StromkreiskonstantenL undR addiert) - u Spannungsabfall an einem lastseitigen Stromkreisglied Mit 5 Textabbildungen     

Analysis of currents and an electromagnetic torque in steady states of induction squirrel-cage motors with asymmetric stator windings

Contents The paper presents a mathematical model of an asynchronous squirrel-cage motor with arbitrarily asymmetrical stator windings. The structure of the mathematical model equations is analysed in detail using the assumption about the symmetry of the rotor cage. A particular arrangement of the mutual inductance matrix of stator windings and rotor cage meshes is shown. As a result of applying of a special analysis method, the frequency spectrum of currents and electromagnetic torque in steady state of a squirrel-cage motor with asymmetrical stator windings is determined. Relationships are given which allow to calculate the currents and the electromagnetic torque quantitatively.—An analysis of a short-circuit of an elementary coil in one of the phases of an otherwise fully symmetrical motor is given as an application example.

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Analyse der Ströme und des Moments einer stationär betriebenen Käfigläfer-Asynchronmaschine mit unsymmetrischen Ständerspulen

Übersicht In dem Aufsatz wird das mathematische Modell einer Käfigläufer-Asynchronmaschine mit beliebig unsymmetrischen Ständerspulen vorgestellt. Die Struktur der Gleichungen des mathematischen Modells wird unter Ausnutzung der Symmetrie des Rotorkäfigs eingehend untersucht. Der besondere Aufbau der Matrix der Gegeninduktivitäten zwischen den Ständerspulen und den Maschen des Rotorkäfigs wird dargestellt. Als Ergebnis der Anwendung einer speziellen Methode der Analyse wurden die spektralen Zusammensetzungen der Ströme und des Moments einer stationär betriebenen Maschine mit den unsymmetrischen Ständerspulen bestimmt. Die Zusammenhänge, die eine quantitative Berechnung der Ströme und des Moments ermöglichen, wurden angegeben.—Eine Analyse der Maschine, die eine kurzgeschlossene Spule in einem Ständerstrang besitzt und die sonst symmetrisch ist, wurde als Anwendungsbeispiel dargestellt.

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List of symbols A transformation matrix - C matrix of constraints - I unit matrix - i _r vector of the meshes currents in the rotor cage - i _s vector of currents of the elementary stator coils - i _sc vector of currents of the stator after used the matrix of constraints - L _s ,L _r matrices of leakage inductances of the elementary stator coils and of the rotor cage meshes - L _s ^m ,L _r ^m matrices of self and mutual inductances of elementary stator coils and of rotor cage meshes following from main flux - L _ss ,L _se matrices of slot and of end-connections leakage inductances of the elementary stator coils - M _sr () matrix of mutual inductances of elementary stator coils and rotor cage meshes - R _r matrix of resistances of rotor cage meshes - R _s matrix of elementary stator coils resistances - S, T transformation matrices - U _s vector of voltages of the elementary stator coils - b _r ,b _s effective width of rotor and of stator slot mouth - c _rv coefficient of rotor slot pitch - c _sv coefficient of stator slot pitch accounting for the trapezoidal form of a m.m.f. - g _v coefficient of rotor slot skew - J moment of inertia - k _rv span factor of cage mesh - k _svi span factor of elementary stator coil - k _cs ,k _cr Carter coefficients of stator and rotor - l equivalent length of the motor iron - M number of elementary stator coils - N number of rotor slots - r mean radius of the air-gap - R _b resistance of a cage bar - R _e resistance of end-ring segment of the cage - T _e electromagnetic torque - T _m mechanical load torque - x _s rotor slot skewness angle - y _i pitch of a coil - z _i ,z _j numbers of turns in a coil - _i position angle of the center of a coil - , value and equivalent value of the air-gap - magnetic conductance - ₀ initial rotor position angle - angular velocity - ₀ pulsation of the voltage - () ^T transposition of vector or matrix - (*) conjugate value     

Raumzeiger in Matrizendarstellung in der Theorie der elektrischen Maschinen

Übersicht Die komplexen Raumzeiger, welche die räumlichen Wellen im Luftspalt von elektrischen Maschinen symbolisch darstellen, bilden die physikalische Grundlage einer allgemein gültigen Lösungsmethode, die als ein rein mechanischer Rechenvorgang in der Matrizenform formuliert werden kann. Aus dem Vergleich mit der in der anglo-amerikanischen Literatur verbreiteten Methode der linearen Transformationen geht hervor, daß man mit Raumzeigern bedeutend mehr Probleme lösen kann. Im folgenden wird weiterhin gezeigt, daß die Methode der Raumzeiger, ausgehend von der Wicklungsverteilung in Nuten, direkt zu dem komplexen transformierten Gleichungssystem führt. Eine selbständige Berechnung von Haupt- und Gegeninduktivitäten ist dabei nicht notwendig.

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Contents The complex space phasors, representing symbolically the space waves in the air gap of electrical machines, constitute the physical basis of a general method of deriving machine equations. This method can be formulated in the matrix notation as a sheer mechanical calculating process. The comparison with the method of the linear transformations commonly used in the American and English literature shows that the method of space phasors has a greater application range and, starting from the winding distribution in slots, leads directly to the wanted transformed system of complex equations. No separate calculation of main and mutual inductances is necessary.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a, b, c, ..., z Nuten - A, B, C, ..., Z Stränge - a, b komplexe Einsvektoren - D Ständerbohrung - i _A, i_B, ..., i_Z Augenblickswerte der Strangströme; -Matrizen für Ständer und Läufer - i _Sv ,i _Rv Raumzeiger der Strombelagswellen der Ordnungv; -Matrizen für Ständer und Läufer - Matrizen der symmetrischen Komponenten der Augenblickswerte - l Paketlänge - L Induktivitäten; -Matrix der Einsinduktivitäten - L _S, L_R Streuinduktivitäten eines Stranges des Ständers und Läufers - m _S, m_R Strangzahlen des Ständers und Läufers - N _S Nutenzahl des Ständers - p Polpaarzahl - R _S, R_R Wirkwiderstand eines Stranges des Ständers und Läufers - S _v komplexe effektive Leiterzahlen je Strang und Raumwelle; -Matrix - t Zeit - Matrix der Koordinatentransformation - Matrizen der Augenblickswerte von Strangspannungen - u ₁,u ₂,u ₃ ... Komponenten der Matrix - z Leiterzahlen der einzelnen Stränge in einzelnen Nuten (z. B.z _aA ist die Anzahl der dem StrangA zugechörigen Leiter in der Nuta); -Matrizen für Ständer und Läufer - v, v Ordnungszahlen der Raumwellen - Ordnungszahlen der Raumwellen des Flusses - ₀ magnetische Feldkonstante - Augenblickswert des Raumwinkels zwischen den Koordinatensystemen des Ständers und Läufers - Raumzeiger der Flußwelle der Ordnung ; -Matrix - * konjugiert-komplexe Größen     

An induction motor model with deep-bar effect and leakage inductance saturation

Contents A two-phase dynamic induction motor model is derived which includes the effects of rotor bar eddy currents and leakage inductance saturation. The model is based on approximate analysis of the air-gap and slot electromagnetic fields which leads directly to lumped circuit equations. New expressions are given for the variation of the zig-zag and slot leakage inductance with saturation. — The model is applied to the calculation of both steady state and dynamic characteristics for a large induction motor.

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Ein Modell des Asynchronmotors mit Hochstabläufer-Effekt und Sättigung der Streuinduktivität

Übersicht Es wird ein zweisträngiges Modell eines Asynchronmotors abgeleitet, das Wirbelströme in den Läuferstäben und die Sättigung der Streuinduktivität berücksichtigt. Grundlage des Modells ist eine angenäherte Analyse der Felder im Luftspalt und in den Nuten, die direkt auf Gleichungen mit konzentrierten Elementen führt. Es werden neue Ausdrücke für die Abhängigkeit der doppeltverketteten und der Nutstreuung von der Sättigung angegeben. Das Modell wird für die Berechnung stationärer und dynamischer Vorgänge bei einem großen Asynchronmotor angewendet.

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List of Symbols A magnetic vector potential - B flux density - G describing function - g air-gap length - H magnetic field intensity - I _Om rotor saturation current - I _r rotor current matrix - l _r ^j current in thejth rotor slot - l _rm amplitude of the fundamental ofI _bir ^j distribution - I _rr rotor harmonic conceptual current matrix - I _s stator current matrix - I _ss stator harmonic conceptual current matrix - i _mne m, nth modal eddy current in thejth rotor slot - i _nb nth harmonic conceptual current at the interface betweenjth rotor slot and slot neck regions - i _n ^rj nth harmonic conceptual current at the opening of thejth rotor slot - i _n ^sj nth harmonic conceptual current at the opening of thejth stator slot - i _Ob rotor zero order conceptual current matrix - i _Oi ^j conceptual current at thejth rotor slot due to daturation of the tooth tips - K _nw nth harmonic winding distribution factor effective length of the motor - L _nc self inductance of the eddy current modei _One ^j - L _r rotor inductance matrix - L _s stator inductance matrix - P _p pole pitch - M _ne mutual inductance betweeni _One ^j andI _r ^j and rotor modal eddy currents - M _ri mutual inductance matrix between rotor winding and rotor conceptual winding due to saturation of the tooth tips - M _rr mutual inductance matrix between rotor winding and rotor conceptual winding - M _rss mutual inductance matrix between rotor winding and stator conceptual winding - M _si mutual inductance matrix between stator winding and rotor conceptual winding due to saturation of the rotor tooth tips - M _sr mutual inductance matrix between stator and rotor windings - M _srr mutual inductance matrix between stator winding and rotor conceptual winding - M _ss mutual inductance matrix between stator winding and stator conceptual winding - N ₁,N ₂ number of stator and rotor slots - R _ne resistance of eddy current modei _One ^j - R _r rotor resistance matrix - R _s stator resistance matrix - s ₁,d ₁ dimensions of a stator slot - s ₂,d ₂ rotor slot opening and rotor slot neck height - s _b ,d _b dimensions of a rotor bar - s _p slot pitch - N _c number of turns per slot - U _s applied voltage matrix - q number of slots per pole phase group - rotor flux linkage matrix - y_s stator flux linkage matrix - , inductance coefficients - O angular position - conductivity of rotor bars - eigenvalues - resistivity of rotor bars     

Berechnung der magnetischen Felder in den Stirnraumwänden elektrischer Maschinen

Übersicht Ausgehend von der Beschreibung des magnetischen Feldes im Stirnraum elektrischer Maschinen wird die Induktion in den nichtleitend und hochpermeabel angenommenen Stirnraumwänden berechnet. Ferner wird versucht, die wirklichen Materialbeiwerte nachträglich zu berücksichtigen.

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Contents The magnetic field in non-conductive and highly permeable walls of the end-region of electrical machines is calculated by means of the field in the air-part of the end-zone. In a second step the properties of real materials are considered.

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Im Text verwendete Symbole a Vektorpotential - A , A, A_z Komponenten des Vektorpotentials in der zyl. Maschine - A _y, A_z Komponenten d. Vektorpotentials im abgewickelten Modell - a radiale Bauhöhe des Stirnraums im abgewickelten Modell - a , a_z; a_y, a_z dimensionslose Koeffizienten der - b , b_z; b_y, b_z Reihenwicklung des Strombleags - B , B, B_z Komponenten der Induktion in der zylindrischen Maschine - B _y, B_z Komponenten der Induktion im abgewickelten Modell - c axiale Abmessung des Stirnraumes - c _I–c _VI Konstanten der homogenen Lösungen der Wandflüsse - d _I–d _VI (die Indices kennzeichnen einzelne Wandzonen entsprechend Bild (B 2)) - d Eindringmaß - magnetische Feldstärke - i , i, i_z Ströme - F Strombelag - J , J, J_z Komponenten des Strombelags - j , j_z Strombelagsmaximum für ein Wicklungselement - Drehoperator - k, n Separationsparameter in der zyl. Maschine - l ₀, m, n Separationsparameter im abgewickelten Modell - l komplexer Separationsparameter - p Polpaarzahl (=Separationsparameter i. d. zyl. Maschine) - R Reduktionsfaktor - |R| Betrag des Reduktionsfaktors - d Wegelement - u, v, w natürliche Zahlen - flußdurchsetzte Zone in den idealisierten Stirnraumwänden - elektrische Leitfähigkeit - Permeabilität - ₀ Permeabilität des Vakuums - Grundwellenpolteilung im abgewickelten Modell - magnetischer Fluß - Kreisfrequenz Funktionen I _p(k ) Besselfunktionen erster und zweiter Art - N _p(k ) Besselfunktionen erster und zweiter Art - I _p(n ) modifizierte Besselfunktionen erster und zweiter Art - K _p(n ) modifizierte Besselfunktionen erster und zweiter Art - S _{u, p}(k ) Hilfsfunktionen nach Lommel (L₃) Koordinaten , ,z Zylinderkoordinaten - x, y, z cartesische Koordinaten - z ₁,z ₂,z ₃ Einheitsvektoren für Zylinderkoordinaten - ₁, ₂; ₁, ₂;z ₁ Koordinaten des Wicklungselementes mitj -undj -Strombelagskomponenten - ₁; ₁, ₂;z ₁,z ₂ Koordinaten eines Wicklungselementes mitj -undj _z-Strombelagskomponenten - ₀ Wellenradius - ₃ Außenwandradius hochgestellte Indices (i) ideell - (h) homogen - (p) partikular     

Digitale Rechenverfahren für elektrische Netze Teil I

Übersicht Zur Berechnung elektrischer Netze werden Verfahren angegeben, die besonders für die Anwendung programmgesteuerter Rechenanlagen geeignet sind. Die auf den Knotenpunktsgleichungen aufbauende Theorie gilt für beliebige Netze unter Einbeziehung der technisch üblichen Transformatorschaltungen. Lösungsverfahren werden abgeleitet für eine umfassende Berechnung der möglichen Kurzschlußfälle, für die Lastflußberechnung, für die Ermittlung der Netzverluste und deren Minimalisierung und für die Minimalisierung der Erzeugungskosten.

Übersicht der benutzten Formelzeichen

a) Matrizen und Vektoren In Anlehnung anR. Zurmühl [28] werden Matrizen durch große Frakturbuchstaben, Vektoren durch kleine Frakturbuchstaben gekennzeichnet. Matrix, allgemein - Kehrmatrix von - transponierte Matrix von - Verlustmatrix nach Gl. (56) - c _u Vektor nach Gl. (31) - Diagonalmatrix - Einheitsmatrix - Fehlermatrix in Abschn. 5·3 - Admittanzmatrix - Knotenpunktsadmittanzmatrix - i Vektor der bezogenen Ströme (auf die Nennspannungen der Netzebenen bezogen, nur bei i _Tra auf die Nennspannungen des Transformators bezogen) - Im(...) Imaginärteil des Klammerausdrucks - Verknüpfungsmatrix für das Knotenpunktsverfahren - Vektor der Potentiale (siehe Bemerkung zu i) - Hilfsvektoren zur Berechnung von - Re(...) Realteil des Klammerausdrucks - Matrizen in Gl. (75) - Symmetrierungsmatrix - Matrizen in Gl. (75) - Transformationsmatrix - Vektor der Lagrangeschen Multiplikatoren - Realteil des Potentialvektors - Imaginärteil des Potentialvektors - Impedanzmatrix b) Zahlen Komplexe Zahlen sollen durch einen Punkt auf dem Formelzeichen bezeichnet werden a Operatorc ^+j120° - b Anzahl der Zweige - B _ik Verlustformelkoeffizient - Komponente des Vektors - const konstanter Wert - Elemente der Diagonalmatrizen - F Funktion, die beim Verlust- und Kostenminimum zu minimalisicren ist - F _i Festkosten - komplexes Verhältnis in Gl. (12) - Element einer Admittanzmatrix - h Schrittzahl - Im(...) Imaginärteil des Klammerausdrucks - Leiterstrom - relativer Leerlaufstrom des Transformators - j Operator - k Element der Verknüpfungsmatrix - K _i Kosten am Knotenpunkti - K Gesamtkosten - l Leitungslänge - n Anzahl der Knotenpunkte - N _n Nennleistung - N _Zus Zusatzleistung des Zusatztransformators - Leistungsstrom - N _sw -Wert (bezogener Leitwert) - Potential - P Wirkleistung - P ^* Realteil des Leistungsstroms - Q Blindleistung - q _i , v_i Komponenten der Vektoren - R _b bezogener Lichtbogenwiderstand - Re(...) Realteil des Klammerausdrucks - t Verhältniszahl - u _r relativer ohmscher Spannungsfall - u _x relative Streuspannung - Leiterspannung - U Nennspannung des Netzes - U _Gen Nennspannung des Generators - U _Tra Nennspannung des Transformators - ü Übersetzungsverhältnis - V Verluste - V _Cu Kupferverluste - V _Fe Eisenverluste - V Netzverluste - w Fehlerartzahl - x Kurzschlußentfernung - x _i Realteil des Potentials - x _d relative Anfangsreaktanz - y _i Imaginärteil des Potentials - (bezogener) Leitwert - z _i Zuwachskosten - Element einer Impedanzmatrix - Schaltungswinkel bei Transformatoren - relative Genauigkeit - Phasencharakteristik - Faktor in Gl. (14) - Phasenwinkel - Leitungswinkel c) Indizierung a Teilmenge der Knotenpunkte mit Leistungsvorgabe - c Teilmenge der Knotenpunkte mit konstanten Potentialen - const konstant - f Teilmenge der Knotenpunkte mit frei wählbaren Leistungen - i, k, m laufender Index, allgemein - konj konjugiert komplex - Kno die Knotenpunkte betreffend - n auf die Nennspannung des Netzes bezogen - Phase die PhasenR, S, T betreffend - R, S, T Phasen des Drehstromsystems - Reg das Regelkraftwerk betreffend - sym die symmetrischen Komponenten betreffend - Tra auf die Nennspannung des Transformators bezogen - u Teilmenge der Knotenpunkte mit unbekannten Potentialen - Ver die Verbraucher betreffend - Zweig die Zweige betreffend - , laufende Indizes Auszug aus der an der Technischen Hochschule München genehmigten gleichnamigen Dissertatin des Verfasers, die am Institut für Hochspannungs- und Anlagentechnik der Technischen Hochschule München angefertigt wurde. Der Verfasser ist der Deutschen Forschungsgemeinschaft zu tiefem Dank verbunden, die diese Arbeit im Rahmen eines Forschungsvorhabens durch großzügige finanzielle Hilfe unterstützte.     

Use of Ritz and Bubnow-Galerkin methods for calculation of inductance and impedance of conductors

Contents It is shown that the Ritz and Bubnow-Galerkin methods can be applied for the calculation of the inductance and the impedance, respectively. Moreover it is shown that the calculation of the impedance by the Bubnow-Galerkin method is a generalization of the calculation of the inductance by the Ritz method in the case of a nonhomogeneous Neumann boundary problem. For the illustration of these methods the inductance of a rectangular ferromagnetic conductor and the inner impedance of a rectangular conductor placed in a semi-closed slot are calculated.

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Übersicht In der Arbeit wird bewiesen, daß man die Methoden von Ritz und Bubnow-Galerkin zur Berechnung der Induktivität und der Impedanz anwenden kann. Überdies wird gezeigt, daß die Berechnung der Impedanz mit Hilfe der Methode von Bubnow-Galerkin eine Verallgemeinung der Berechnung der Induktivität mit Hilfe der Ritz-Methode für die ungleichartigen Randbedingungen des Neumann-Problems bildet.Zur Illustration der Methoden werden die Induktivität des rechteckigen ferromagnetischen Leiters und die innere Impedanz des rechteckigen Leiters in der halbgeschlossenen Nut berechnet.

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Symbols A Component of the vector potential to thez-axis (complex v. m. s. value) - B _t,B _n Tangential and normal component of magnetic induction (complex r. m. s. values) - C,C ₀,K Operators in a Hilbert space - H Hilbert space - Energetic space of a positive definite operator - I=\I\e ⁱ Complex value of the current, |I|=r. m. s. value - Imaginary unit - J Current density (complex r. m. s. value) - l Conductor length - L, L() Inductance - Z Impedance - z ^* Dimension coupled with complex dimensionz - Magnetic permeability - Conductance - Pulsation - Derivative in normal external direction and tangential direction - Scalar Laplacian - 1 _t,1 _n Unit vectors, tangential and normal to the curve lying in thex,y-plane - (x/y) Scalar product of Hilbert space elementsx, y     

Ein Beitraǵ zur Berechnunǵ der Potentialverteilunǵ inhomoǵener Dielektrika

Übersicht Das in der Literatur wenig behandelte Problem der Potentialverteilung für ein System von achsenparallelen Dielektrika mit kreiszylindrischen Berandungen wird mit analytischen Methoden untersucht. Eine Anwendung erfolgt auf zwei radialsymmetrische Anordnungen, aus denen sich durch Grenzübergang die zweifach isolierte ungeschirmte Doppelleitung und die inhomogen isolierte Viererleitung ergeben, deren Kapazitätsformeln bis zur vierten Potenz der Innenleiterradien angegeben werden.

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Contents The problem of the potential distribution of a system of axially parallel dielectrics with circular cylindrical contours, little discussed up to now in literature, is studied with the help of analytical methods. It is applied to two configurations in radial symmetry giving, by limit, the twofold insulated unscreened two-wire line and the inhomogeneously insulated phantom circuit whose formulae are indicated up to the fourth power of the radius of inner conductors.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole q Ladung pro Längeneinheit, das - betreffende Dielektrikum - Re Realteil - ₁ reelle Dichtefunktion des Integrals vom Cauchyschen Typ auf dem KreisL _l - sgnL _l=±1 komplexe Variable - z=x+jy komplexe Parameterdarstellung des KreisesL _l     

On reducing the vibration and noise level of induction motors with integral and fractional slot windings

Contents The paper presents a method of calculating the radial magnetic forces and pulsating torques in induction motors with integral and fractional stator slot winding and squirrel-cage rotors, which aims on reducing the forces of vibration and the noise level of electromagnetic origin. The method leads to a proper choice of stator and rotor slot numbers and other design data, which allow to avoid cases where force components of considerable value and frequencies in the resonant band of the motor are generated. Special attention is paid to the generation of time dependent (synchronous) parasitic torques and their frequencies. Finally the paper includes the experimental verification and presents a case of successful application in a high power motor.

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Die Reduktion des Schwingungs- und Geräuschniveaus von Induktionsmotoren mit Ganzloch- und Bruchloch-Wicklung des Ständers

Übersicht Im Beitrag werden Methoden zur Berechnung von magnetischen Radialkräften und Oberschwingungsanteilen des elektromagnetischen Moments von Induktionsmotoren mit Ganzloch- und Bruchloch-Wicklungen des Ständers und Käfigläufern vorgestellt. Ziel der Berechnung ist die Reduzierung von Schwingungen und Geräuschen elektromagnetischer Herkunft.Diese Methoden helfen bei der Auswahl der Nutzahl von Ständer und Läufer sowie anderer Konstruktionsdaten. Damit können Oberschwingungsanteile von auftretenden inneren Kräften derart beeinflußt werden, daß Komponenten, die im Bereich der mechanischen Eigenfrequenz des Motors liegen, nicht auftreten. Besondere Aufmerksamkeit wird den frequenzabhängigen Oberschwingungsanteilen des Momentes gewidmet. Es werden experimentelle und theoretische Ergebnisse, die anhand eines Motors großer Leistung gewonnen wurden, gegenübergestellt.

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List of main symbols k _s ,k _r stator and rotor winding factors - k _sk skewing factor for -harmonic - N _s ,N _r number of stator and rotor slots - p number of pair-poles - q number of stator slots per pole and phase - s slip of rotor in respect to fundamental harmonic - angle around the rotor surface - airgap width - magnetomotive force (MMF) - magnetic conductance - integers denoting transformed rotor currents - integers assigned to harmonics (fundamental =p) - integers assigned to harmonics (fundamental =1) - _r rotor position angle - ₁,f ₁ pulsation and frequency of supply voltage - angular speed of the rotor     

Die Theorie des Käfigläufermotors unter Berücksichtigung der Ständer- und Läufernutung

Übersicht Das allgemeine Gleichungssystem des Käfigläufermotors wird auf den Fall erweitert, daß Ständer und Läufer Nuten besitzen. Insbesondere wird dieser Einfluß auf die Gegeninduktivität zwischen Ständer und Läufer sowie auf die Selbstinduktivität des Läufers berücksichtigt. Anhand eines Beispiels wird der Einfluß der Ständernutöffnungen auf die Oberfeldmomente erläutert.

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Contents The general system of equations of the squirrel-cage induction motor is extended to the case that both stator and rotor have slots. The influence of the stator slots upon the mutual inductance between stator and rotor and upon the selfinductance of the rotor circuits is considered in particular. A numerical example shows the effect of stator slot openings on the torque components due to magnetic field harmonics.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a Dreher nach Gl. (34) - A ₀ Querschnitt für den Unipolarfluß - A _z Querschnitt eines Läuferzahnes - b Dreher nach Gl. (34) - B Induktion - d Dreher nach Gl. (6) - g Ordnungszahl der Leitwertswelle - i Strom - I Strommatrix - k _c Carterscher Faktor - k _Fc Faktor der Eisensättigung - l ideelle Eisenlänge - L Induktivität - L Induktivitätsmatrix - L Induktivitätsschwankung - L Matrix der Induktivitätsschwankung infolge der Nutung - Drehfeldinduktivität einer Läufermasche - N Läufernutenzahl - N _s Ständernutenzahl - p Polpaarzahl - P Matrix nach Gl. (5) - P Matrix nach Tafel 1 - R Bohrungsradius - R Widerstand - R Widerstandsmatrix - s Schlupf - u Spannung - U Matrix der Spannung - V magnetische Spannung - w _s Anzahl der in Reihe geschalteten Windungen eines Ständerwicklungsstranges - Umfangskoordinate - Verhältnis magnetischer Leitwerte nach Gl. (46) - Konstante nach Gl. (51) - einseitiger effektiver Luftspalt - _g einseitiger geometrischer Lufftspalt - Ersatzluftspalt - Sehnung der Ständerwicklung in Nutteilungen - Nutungsfaktor - räumlicher Drehwinkel - A magnetischer Luftspaltleitwert - ₀ Induktionskonstante - Ordnungszahl der Luftspaltfelder (Grundwelle =1) - Wicklungsfaktor - _schr Schrägungsfaktor - Spulenfluß - Netzkreisfrequenz Indizes s Ständer - r Läufer - h Haupt- - Streu- - o Nullkomponente des Läufers (unipolare Komponente) - St Stab Hochgestellte Zeichen T transponierte Matrix - * konjugiert komplex - einmal transformierte Größe - zweimal transformierte Größe - 0 Nullkomponente des Ständers - + Pluskomponente - – Minuskomponente - Drehfeld- - ^ Scheitelwert     

Die Berechnung der Drehstrom-Asynchronmaschine mit beliebigen Kurzschlußläufern unter besonderer Berücksichtigung ihrer Ortskurven

Übersicht Mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen wird eine Methode zur zweidimensionalen Berechnung des stationären Betriebsverhaltens einer Drehstrom-Asynchronmaschine mit Kurzschlußläufer abgeleitet. Die Maschine wird in anisotrope Kurzschlußläufer abgeleitet. Die Maschine wird in anisotrope und isotrope Schichten unterteilt; sie sind im Bereich der Rotornutung skineffektbehaftet. Die Krümmung wird vernachlässigt. Eine Matrix-Rechenmethode liefert die Feldgrößen an den Oberflächen aller Schichten. Nicht erfaßte Streufelderscheinungen sowie der ohmsche Statorwiderstand werden in einem Ersatzschaltbild berücksichtigt. Im Iterationsverfahren werden die elektrischen und magnetischen Feldstken, die Oberflächenimpedanzen einschließlich der Eingangs-Oberflächenimpedanz und der aufgenommene Strom errechnet; die so gewonnene Stromortskurve wird mit experimentellen Daten verglichen.

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The calculation of the three-phase induction machine with any squirrel-cage rotors considering the geometric locus

Contents By means of Maxwell's equations, a method is being derived to calculate the stationary performance of a three-phase induction machine with squirrel-cage rotor two-dimensionally. The machine is being divided into anisotropic and isotropic layers; in the proximity of the slots they underlie the skin-effect. The curvature is being neglected. A matrix calculus renders the field intensities of all layers' surfaces. Non-detected leakage-fields and ohmic resistance of the stator are separately described by an equivalent circuit. Electric and magnetic field strengths, surface impedances including input surface impedance as well as input current can be found by an iterative method. The geometric locus of current calculated this way is compared with experimental data.

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Verzeichnis der werwendeten Symbole a Element der Transfermatrix - A Strombelag: Amplitude - b Element der Transfermatrix; Breite - B magnetische Induktion: Amplitude - c Element der Transfermatrix - D Durchmesser; Schichtdicke - e Energiedichte - E elektrische Feldstärke: Amplitude; Energie - f Frequenz - G _n - h Höhe - H magnetische Feldstärke: Amplitude - I Strangstrom: Effektivwert - l Länge - N Nutenzahl; äußerste Schicht - p Polpaarzahl - r radiale Koordinate - R Wirkwiderstand eines Stranges - s Schlupf; Stromdichte - t _n Nutteilung - t _p Polteilung - U elektrische Spannung pro Strang: Effektivwert - U _i induzierte Spannung; Luftspaltspannung pro Strang: Effektivwert - V magnetische Spannung - x, y, z kartesische Koordinaten - X Blindwiderstand eines Stranges - z Leiterzahl je Strang in Reihe - Z Impedanz; Wellenimpedanz - ZO Oberflächenimpedanz - Luftspalt - elektrische Leitfähigkeit - Permeabilität - Kreisfrequenz Indizes a Außen- - eff Effektiv- - Fe Eisen- - i Innen- - in Eingangs- - n Numerierung der Schichten; Nut- - q Bereich der Strombelagsschicht - z Zahn- - Streu- - 1 den Ständer betreffend - 2 den Läufer betreffend Besondere Schreibweise Komplexe Zahlen werden durch Unterstreichen gekennzeichnet     

On the analysis of induction motor with square wave currents in the rotor via state transition signal flow graph technique

The performance equations of an induction motor are given in the rotor reference frame of two of the three phases. These equations are used to analyse the steady state performance of an induction motor with square wave currents in the rotor and sinusoidal voltages on the stator. A closed form solution for stator flux linkages in the time domain is obtained using state transition signal flow graph technique. It is found that the stator current is essentially sinusoidal superimposed by slip dependent harmonics. The torque developed by the motor has pulsations both at six times and twelve times slip frequency.

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Stationäres Verhalten eines Asynchronmotors bei rechteckförmigen Läuferströmen auf Signalflußdiagrammbasis

Übersicht Für einen Asynchronmotor werden die Spannungsgleichungen in einem auf zwei Strangachsen bezogenen läuferfesten Koordinatensystem aufgestellt. Diese Gleichungen werden zur Analyse des stationären Verhaltens bei rechteckförmigen Strömen im Läufer und sinusförmigen Spannungen am Ständer angewendet, und führen über Signalflußdiagrammdarstellung zu einer geschlossenen Lösung. Der Ständerstrom hat schlupfabhängigen Schwingungen. Das Drehmoment enthält Schwankungen, die Komponente sechster und zwölfter harmonischen Ordnung des Schlupfes entsprechen.

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List of symbols i _a,i _b,i _c stator phase currents - i _A,i _B,i _C rotor phase currents - L _m mutual inductance between stator and rotor - L _s self inductance of stator - L _r self inductance of rotor - P pairs of poles - R _s resistance per phase of stator - R _r resistance per phase of rotor - s Laplace operator - T torque developed - _a , _b , _c stator phase flux linkages - _A , _B , _C rotor flux linkages - _a (0), _b(0) stator flux linkages at the beginning of 1/6th cycle - _s , _r synchronous and rotor angular frequencies - Phase difference between stator and rotor phases     

Impedances of rotor-conductors with circular cross-section of a double-cage motor

Contents Impedances of cylindrical conductors of the working and starting cages of a double-cage motor are calculated by using the Bubnow-Galerkin method. Tables of values of the impedance of a conductor of the starting cage are given.

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Impedanzen von Läuferstäben mit Kreisquerschnitt in einem Doppelkäfigmotor

Übersicht Es werden die Impedanzen des Arbeits- und Anlaufkäfigs eines Doppelkäfigmotors bei kreisförmigem Leiterquerschnitt unter Benutzung der Bubnow-Galerkin-Mothode berechnet. Die Impedanzwerte des Anlaufkäfigs werden in einer Tabelle angegeben.

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List of Symbols A z component of the vector potential (complex r.m.s. value) - B component of the magnetic induction - h length of slot between conductors - I ₁,I ₂ currents (complex r.m.s. values) - imaginary unit - r _v ,r ₂ radii of conductors - R _1,0;R _2,0 ohmic resistances - Z ₁,Z ₂ impedances - |z|,z ^* modulus of complex numberz and conjugate number withz - Rez, Imz real part and imaginary part ofz - r, polar coordinates with origin at the centre of conductor 1 (in part 2.1) and 2 (in part 2.2) - ₁, ₂, ₃ half of the angles corresponding to slot widths - ₁, ₂ conductivities - A scalar laplacian - ₀, magnetic permeabilities - angular frequency Place of employment     

Transient skin effect in a rectangular conductor placed in a semi-closed slot

Contents It is demonstrated that the Bubnow-Galrekin method can be applied for the analysis of the non-steady state in conductors. The Joule power losses in a rectangular conductor placed in a semi-closed slot and the electrodynamic force acting on this conductor are calculated. The equivalent circuit of the impedance of the conductor is also considered. The investigations are made by using the Bubnow-Galerkin method for the parabolic equation.

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Übersicht Es wird gezeigt, daß man die Methode von Bubnow-Galerkin zur Analyse der nichtstationären Vorgänge in den Leitern anwenden kann. Es werden die Stromwärmeverluste für den rechteckigen Leiter in der halbgeschlossenen Nut einer elektrischen Maschine und die auf den Leiter wirkende Kraft berechnet. Die Ersatzschaltungen für die Impedanz einer Maschinennut werden weiter betrachtet. Zur Analyse der parabolischen Differentialgleichung wird die Methode von Bubnow-Galerkin angewandt.

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Symbols B the magnetic induction - B _x ,B _y Components of the magnetic induction - C Operator in a Hilbert space - E z-component of the electric field - F Electrodynamic force - F _x ,F _y Components of the electrodynamic force - H Hilbert space - H _C Energetic space of a positive definite operatorC - I Current - Imaginary unit - L Inductance - Laplace transform - P Power - R Resistance - Z Impedance - z ^* Dimension coupled with complex dimensionz - Rez, Imz, |z| Real part, imaginary part and modulus of complex numberz - Magnetic permeability - Conductance - Pulsation - ² Scalar Laplacian - 1 _x , 1 _y Unit vectors - (x/y) Scalar product of elementsx,y of Hilbert spaceH - Norm of elementx of Hilbert spaceH -      

Das elektromagnetische Feld eines in Seewasser parallel zum Spiegel verlegten,geraden, stromdurchflossenen,isolierten Drahtes mit blanken Enden in dem dreifach geschichteten Raum: Luft,Wasser, Erde

Inhaltsübersicht Die Aufgabe und ihre Daten—1. Das elektrische Strömungsfeld und das parasitäre elektrische Luftfeld: 1.1. Die formale Lösung für das elektrische Strömungsfeld; 1.2. Die Lösung der Aufgabe in Reihenform und der Zusammenhang mit der Methode der elektrischen Bilder; 1.3. Die Potentialfunktion des vom Strömungsfeld abhängenden elektrostatischen Feldes im Luftraumz0; 1.4. Die Berechnung der elektrischen Strömung i(_±, z) aus der PotentialfunktionV(, ,z) und die Darstellung in Zylinderkoordinaten—2. Das Magnetfeld des Strömungsfeldes: 2.1. Die grundlegenden Integraldarstellungen für die drei Komponenten des Vektorpotentials; 2.2. Die drei inhomogenen und verkoppelten partiellen Differentialgleichungen für die drei Komponenten des Vektorpotentials, die HilfsfunktionU(, ,z) im FalleB _z=0; 2.3. Die direkte Berechnung der KomponenteA _z(, ,z) des Vektorpotentials; 2.4. Die direkte Berechnung der KomponentenA (, ,z) undA (, ,z) des Vektorpotentials aus den Integraldarstellungen; 2.5. Das Vektorpotential und das Magnetfeld der stromdurchflossenen Kabellänge zwischen den Punkten (±a,o,—h); 2.6. Der magnetische Feldanteil mitB _z=0–3. Schlußbemerkungen.Physikalische Bedeutung der benutzten Symbole; Einheiten , ,z;x, y, z die Zylinderkoordinaten oder die kartesischen Koordinaten des Aufpunktes, - , ,z die Koordinaten des Quellpunktes oder des Wirbelpunktes; in beiden Fällen sind die Längen in m zu messen, - die elektrische Leitfähigkeit in S/m; Index 1 Wasser, Index 2 Erdkörper - h Abstand des Kabels von der Meeresoberfläche in m - H mittlere Tiefe des Meeres über die Länge des Kabels in m - ₀ die Dielektrizitätskonstante der Luft - ₀ die Permeabilität von Luft, Wasser, Erdkörper: - i elektrische Stromdichte in A/m² - V Potentialfunktion in V - U das Vektorpotential in Vs/m - B die magnetische Induktion in Vs/m² - qF die elektrische Flächenladung As/m² Mit 2 Textabbildungen