Modified Subgradient Extragradient Method for Variational Inequality Problems and Fixed Point Problems

变分不等式问题和不动点问题的修正次梯度外梯度方法

李肖银,刘红卫,程江丽,张东耀

（西安电子科技大学,数学与统计学院,西安,710126）

中文说明：

本文提出一种求解实 Hilbert 空间中拟非扩张不动点问题和伪单调变分不等式问题的新算法。为减少运行时间和加快收敛速度,提出的算法采用了惯性技术。此外,该算法借助于非单调步长规则,在不估计利普希茨常数的情况下获得了强收敛定理。最后数值结果表明该算法比其它算法有更好的效率。

关键词：惯性方法,不动点,变分不等式,强收敛性,次梯度外梯度方法

     

Inertial Subgradient Extragradient Algorithm for Solving Variational Inequality Problems with Pseudomonotonicity

求解伪单调变分不等式的惯性次梯度外梯度算法

丁玉婉,刘红卫,马小军

（西安电子科技大学,数学与统计学院,西安 710126）

摘要：本文提出了一种利用非单调步长的惯性次梯度外梯度算法,用于求解 Hilbert 空间中具有伪单调性和利普希茨连续性的变分不等式问题。此外,在适当的条件下,给出了算法的弱收敛性和 R-线性收敛率。最后,通过数值实验验证了该算法的有效性。

关键词：变分不等式、外梯度算法、伪单调性、利普希茨连续、弱收敛和线性收敛

     

Weak and Strong Convergence of Self Adaptive Inertial Subgradient Extragradient Algorithms for Solving Variational Inequality Problems

自适应惯性次梯度外梯度技术求解变分不等式问题的强弱收敛算法

李瑶,刘红卫, 吕佳敏

(西安电子科技大学 数学与统计学院,西安710126,中国)

摘要：次梯度外梯度算法在众多解决变分不等式的算法中具有显著的优势。本文给出两种不同的算法来解决变分不等式问题,并将变分不等式问题定义在实希尔伯特空间中,且具有利普希茨连续和伪单调条件。本文的两种新方法采用惯性技术和非单调的步长准则,当利普希茨常数没有提前给出时,仍然可以证明它们的收敛性。最后通过设计数值结果验证了两个新算法的有效性。

关键词: 变分不等式问题; 惯性算法; 非单调步长规则; 利普希茨连续; 伪单调映射

     

一类变分不等式问题的区域分解法

考虑第二类变分不等式离散问题的区域分解法.将变分不等式问题转化为等价的优化问题,针对该优化问题,给出了加性区域分解算法,最后证明了算法的收敛性.     

一类优化问题的区域分解法

研究了第二类变分不等式离散问题的区域分解法,将问题转化为等价的优化问题,针对该优化问题,给出了乘性区域分解算法,最后证明了算法的收敛性.     

关于单调变分不等式的一种邻近增广拉格朗日方法

对单调变分不等式的一种新的拉格朗日方法（AL）进行讨论，这种方法只需要解一系列强单调变分不等式子问题，允许参数从一个叠代点到另一个叠代点变化，在比较弱的条件下算法的收敛性得到了证明。     

一个半线性椭圆型变分不等式最优控制问题的近似解序列的收敛性

讨论了一个半线性椭圆型变分不等式近似最优控制问题.首先,利用分解法和对偶方法将原始问题转化成带有线性状态方程和对于状态是非凸限制的最优控制问题; 然后,在此基础上,给出了该问题近似解序列的收敛性.     

拟线性半变分不等式解的存在性

考虑拟线性半变分不等式解的存在性.我们的方法是变分法及局部Lipschitz函数的非光滑临界点理论.     

半定规划的一种新算法

将半定规划转化为一个变分不等式,在满足单调性的假设下,提出了一种新算法,并给出算法的收敛性分析,该算法简便易行且具有直观的几何意义,数值实验结果表明此方法是有效的。     

一类具有输出不确定性的Lipschitz非线性系统观测器设计

针对输出带有不确定性的Lipschitz非线性系统,提出了一种基于LMI的Lyapunov方法来设计此类系统观测器.在系统输出的不确定性满足Lipschitz条件时,通过LMI方法选取观测器的增益矩阵,并运用Lyapunov方法给出观测器渐近收敛的充分条件.同时给出了满足该观测器Lipschitz常数最大值的计算方法.最后通过仿真实例验证了观测器的有效性.     

箱型约束变分不等式的微粒群算法

对箱型约束变分不等式的简单光滑价值函数,给出了求解箱型约束变分不等式的微粒群算法。该算法具有计算简单、快速收敛到全局最优解和较高的计算精度等优点。数值计算结果表明,提出的算法可靠性高、有效性强,在计算精度上,都优于阻尼牛顿法和正则半光滑牛顿法。     

箱型约束变分不等式的微粒群算法

对箱型约束变分不等式的简单光滑价值函数,给出了求解箱型约束变分不等式的微粒群算法。该算 法具有计算简单、快速收敛到全局最优解和较高的计算精度等优点。数值计算结果表明,提出的算法可靠性高、有 效性强,在计算精度上,都优于阻尼牛顿法和正则半光滑牛顿法     

求解一类变分不等式问题的信赖域算法

变分不等式作为变分原理的主要推广,是数学上的一个主要分支.近年来,变分不等式理论已被大量应用于经济与金融、交通各个领域中.将一类变分不等式问题等价转化为无约束优化问题,并提出了一个求解无约束优化问题的信赖域算法;在通常假设下,证明了算法的全局收敛性.该算法可用于网络的均衡模型,使得模型解的精确程度有了很大地提高.     

自反Ballach空间中极大单调集值映射变分不等式的解的存在性

研究一般凸集约束下自反Banach空间极大单调集值映射变分不等式的解的存在性，首先利用集值映射锐角原理，提出了一个例外簇的概念，由此给出变分不等式问题解存在的一个充分条件．对于伪单调变分不等式问题，它是解存在的充要条件．把文献[1]变分不等式问题解的存在性推广到自反Banach空间极大单调集值映射．     

无限族k-严格伪压缩映象的强收敛定理

在Hilbert空间中,给出了寻求平衡问题解集、变分不等式问题解集以及无限族k-严格伪压缩映象的不动点集的公共点的序列,并在适当的条件下证明了该序列强收敛于其公共点.所得结果推广和改进了已有的相关结果.     

一类变分不等式的重叠并行Schwarz算法

讨论了一类变分不等式的重叠并行Ｓｃｈｗａｒｚ算法，并建立了一种实用算法，证明了其收敛性，同时也讨论了该算法对于贴合分量的有限步收敛性．     

修正Armijo线搜索下共轭梯度法的收敛性

为解决传统线搜索下没有全局收敛性,提出修正Armijo线搜索下共轭梯度法。通过估计目标函数导数的Lipschitz常数,能在每一步迭代中找到合适的步长,以保证全局收敛性,提高实际运算中的有效性。     

用变分不等式解具自由表面渗流问题的一种近似解析方法

本文针对具有自由袭面稳定渗流问题所建立的变分不等式Ⅴ.Ⅰ.,提出了一种整体逼近的近似解析方法,其结果是近似解析式,便于分析流场中水头、流速、压力等物理量;利用这种方法导出1这一问题在地面有入渗情形的近似解析解,对研究在不同入渗条件下流场各物理量的变化带来极大的方便。本文所提供的算例与现有国外资料比较,方法简单,有较高精度,能清晰地分析各物理量。这也表明,用近似解析方法求解变分不等式的问题,仍是一种不容忽视的途径。     

圆柱体棒弹塑性挠度问题的点松弛法

直接求解圆柱体棒弹塑性挠度问题的方程是很困难的,为此先将其转化成与之等价的变分不等式问题,接着运用点松弛法求解该变分问题,从而很好地解决了原问题.论文表明变分不等式在弹塑性挠度问题中有着广泛的应用.     

New Variational Solution for the Space Contact Problem

In the recent thirty years,a great of investigations have been made in the Wiener-Hopf equations and variational inequalities as two mutually independent problems.In this paper,we investigate the equivalence of the solution of variational inequality and the inversion of the Toeplitz operator when the projection operators P,Q are linear.The solution of general Wiener-Hopf equation is concluded as the solution of a variational problem.Thus an approximation method of obtaining the maximum value by variational is proposed to obtain the approximation of general Wiener-Hopf equation and apply it to the space contact problems in the elasticity theory.Especially,the solution representation is given in case that the projection of contact surface is round.The closing-form solution is also given when the known displacement is a polynomial of even power.