第一类切比雪夫数字滤波器分析与设计

本文根据变系数微分方程(1-x~2)(dy~2/dx~2)-x(dy/dx)+ny=0导出了第一类切比雪夫多项式 C_n(x)及第二类切比雪夫多项式 D_n(x)。用二项式展开式得出了 C_n(x) 的前5个多项式,找出 C_n(x)的零点分布的特点,得到 C_n(x)的波形图,接着合成了第一类切比雪夫滤波波形,得到了第一类切比雪夫模平方函数 A(Ω~2),推导了 A(Ω~2)的极点公式和第一类切比雪夫模拟滤波器的传递函数 H(s),直至用 Z 平面的极点表示出第一类切比雪夫数字滤波器的传递函数 H(Z),进而以实例说明了第一类切比雪夫数字低通、高通、带通、带阻滤波器的设计方法.     

关于Hermite-Fejer型插值算子逼近度的某些问题

1978年王斯雷得到结论:当取第一类切比雪夫多项式,根作插值节点时,Hermite—Fejer算子的逼近度不会比1/n更好。本文得到更进一步的结果:当取Jacob多项式(αα)Jn (x) (α>-1)的根作插值节点时,既使任意提高函数的光滑程度,Hermite—Fejer算子的逼近度也不会比1/n更好。     

关于(0,2,3)型插值多项式的逼近阶研究

设f(x) ∈C_(2π),Qn(f,x)是以x_(kn)=(2πk)/n(k=0,1,…,n-11)为基点的(0,2,3)型插值多项式,n=2m+1。Tm(f,x)是以{X_(kn)}_(k=0)~(n-1)为基点的(0)型插值多项式。因为u_n(x)∈C_(2π),使得 lim[f(x)-Q_n(f,x)-u_n(x)(f(x)-T_m(f,x))]=0 n→∞ (关于0≤x≤2π一致地成立)。本文进一步得到了逼近阶估计: |f(x)-Q_n(f,x)-u_n(x)(f(x)-T_m(f,x))| ≤C[ω(f,(1_nn)/n)+1/n_(k=1)~nΣω(f,1/k)]     

关于intergral from n=-1 to 1([(1+x)/(1-x)]~(1/2)f(x)dx)的高斯型求积公式

本文首先导出了在闭区间[-1 1]上关于权函数p(x)=(1+x)/1-x~(1/2)的正交多项式及其递推公式,进而导出关于积分(1+x)/(1-x)f(x)dx~(1/2)的高斯型求积公式及其余项表达式。     

在契贝雪夫意义下列表函数的最佳多项式逼近

本文给出了一个由多项式ρn(x)=nΣj=0 θjX^j对1列表数（x1，y1)1^m做拟合的FORTRAN程序。这个多啊式是在契贝雪夫意义下，对列表函数（x1，y1)1^m的最佳逼近多项式。因此，在m个样本点（x1，y1)1^m上的最大绝对误差absPn(x1)-y1)为最小。本算法是基于Remez第二类算法，并采用了迭代交换算法。这种算法表明计算精度，能满足产生一个由使用者所要求的次数的逼近多项式。     

任意连续函数的多项式插值逼近

多项式函数由于其计算的简单性,在数值近似方面广泛应用。常用的多项式Lagrange插值,当插值节点数量较大时,表现为极大的数值不稳定性。采用第二类切比雪夫点作为插值节点的重心Lagrange插值,具有极高的数值稳定性。我们研究的问题是:对于区间[-1,1]上给定的任意函数f(x),寻求一个多项式函数pn(x),使得误差‖f(x)-pn(x)‖∞接近机器精度。本文采用重心Lagrange插值计算所给函数在一些第二类切比雪夫点上的插值多项式函数,通过计算机数值计算确定满足逼近精度要求的插值节点数量,从而得到符合精度要求的多项式的阶数。本文方法得到的插值逼近多项式,其导数也充分逼近原函数的导数。给出了本文方法的MATLAB计算程序和数值算例。     

完整三角和的一种新估计

设q为一个正整数,f(x)=sum from n=0 to ka_nx~n(k≥4)是一个适合条件(a_1,a_2,…,a_k)=1,且(na_n,q)=(1l有|s(p~1,f(x)|≤(k-1)p~V,其中 1/2,1=1或偶数 V= ,以及对任意 (1+1)/2,1≥3且1为奇数自然数a有 |s(a,f(x))|≤e(0.247(k-1)~4)q(3/4)     

几类插值有理样条函数

众所周知,多项式样条函数具有比较好的性质和广泛的应用。但是用它们对某些含有奇点的函数进行插值是不适宜的。在这种情形下有理样条则是较合适的工具。在本文中,我们用规范多项式 B 样条 B_(i,k)(x)构造出几类插值有理样条函数。其构造方法与[2]、[3]及[4]中的不同。首先,我们在区间[a、b]上,给出了属于 C~1[a、b]与 C~2[a、b]的两类插值有理样条函数的分段表达式,并且证明了它们的存在唯一性。其次,我们还求得了形式如:R(x)=sum from j=-k+1 to N-1 (C_jR_(j,k)(x)) x∈[a,b]的另一类插值有理样条函数,其中 N 为区间[a、b]被划分成子区间的个数,函数R_(j,k)(x)=B_(j,k)(x)/((x-x_j)~2+(x_(j,k)-x)~2),j=-k+1,-k+2,…N-1有与 B_(j,k)(x)相类似的一些性质。因此 R(x)∈C~(k-2)[a,b]。文中,我们对于 k=4的情形作了详细的讨论。文未的算例说明了对某些函数来讲,用有理样条逼近比用三次样条逼近要好。同时也说明了文中的方法是可行的。在应用这些有理样条时,用户可根据需要调节这些有理样条的分母或分子的次数。     

Turàn的一个问题

H_r(n),n(f;x)为次数不高于2n-2的多项式,由H_r(n),n(f;xk,n)=f(xk,n)K=1,2,…,nH_r(n)~(?),n(f;xk,n)=0,K=1,2,…,n,K≠r(n)唯一确定,其中xk,n=cos(2K-1)/(2n)π.我们证明了,存在r(n)使H_r(n)~(?),n(f;x)对于[-1,1]上的有界函数f(x)在[-1,1]上为有界序列,而对于某个适当的f_1∈C[-1,1],却处处发散,不管怎样选取r(n),H_r(n)~(?),n(f;x)在[-1,1]上既一致有界又处处发散,这是不可能的.     

任意连续函数的多项式插值逼近

多项式函数由于其计算的简单性,在数值近似方面广泛应用。常用的多项式Lagrange插值,当插值节点数量较大时,表现为极大的数值不稳定性。采用第二类切比雪夫点作为插值节点的重心Lagrange插值,具有极高的数值稳定性。我们研究的问题是：对于区间[-1,1]上给定的任意函数f（x）,寻求一个多项式函数pn（x）,使得误差‖f（x）-pn（x）‖∞接近机器精度。本文采用重心Lagrange插值计算所给函数在一些第二类切比雪夫点上的插值多项式函数,通过计算机数值计算确定满足逼近精度要求的插值节点数量,从而得到符合精度要求的多项式的阶数。本文方法得到的插值逼近多项式,其导数也充分逼近原函数的导数。给出了本文方法的MATLAB计算程序和数值算例。     

一个加权的Kolmogoroff型不等式

设整数1≤j〈m≤n.范数‖·‖ωthe norm‖f‖ω^2=∫-1^1f^2（x）ω（x）dx.首先讨论了一个关于正交的Chebyshev多项式Tn（x）的Kolmogoroff型不等式.利用Tn（x）的正交性,对满足条件的整数的j和m,建立了代数多项式pn（x）的加权Kolmogoroff型不等式：‖√1-x^2）^jpn^（j）（x）‖ωT^2≤ajm‖√1-x^2）^mpn^（ m）（x）‖ωT^2＋bjm‖pn（x）‖ωT^2对任意的pn（x）∈πn成立（πn为次数不超过n的代数多项式空间）,并且指出其不等式的系数在某种意义上是最好可能的.     

色多项式为P(G,λ)＝(λ－λ1)(λ－λ2)λn＋1的色等价图

找出了所有色多项式为（λ－λ１）（λ－λ２）λ（ｎ＋１）的色等价图，并证明了一些相关的定理和推论．     

一类离散正交分段多项式及其应用

在离散的几何图形应用中,经常需要正交表示有突变或间断的几何图形,若采用连续的正交函数系(如三角函数系)必然会出现Gibbs现象, 而用间断的Walsh函数系表示因其收敛速度慢而效果欠佳。从Tchebichef离散正交多项式出发,构造了一类分段点(N-1)／2p处的离散正交分段多项式基(discrete piecewise tchebichef basis, DPTB)。该类基函数既有平滑过渡的部分, 又有间断突变的部分, 因而可以用它较准确地表示由离散分段多项式建模的几何图形。给出了正交基的性质与构造实例。最后通过离散信号逼近仿真实验验证了该算法的可行性, 实验结果表明该分段离散正交多项式基表示分段跳跃突变信号的结果明显优于离散余弦基。     

多项式的系数乘子

设Qn 表示在单位圆盘内不取零值 ,并且满足degp≤n ,p( 0 ) =1的多项式 p(z)的全体 ,又设Wn 表示满足degs≤n并且对每一个 p∈Qn,s p∈Qn 的多项式s(z)的全体 ,其中 表示Hadamard乘积 .Qn 和Wn 的一些性质得到证明     

多项式回归分析在传感器测试中的应用

介绍了3种实际应用今用到的代数多项式回归分析方法，即普通多项式方法、最小二乘法和切比雪夫(Tchebyshev)多项式方法．并且在相同阶的情况下，进行了3种方法的对比，从而证明了后两种回归分析方法是准确度较高的代数多项式回归分析方法．     

关于Hurwitz zeta-函数的一组恒等式

对Hurwitz zeta-函数的性质进行了研究,以期解决解析数论中该函数积和的计算问题.运用初等数论和解析数论的方法,根据Bernoulli数多项式、k阶Bernoulli数多项式的性质以及Hurwitz zeta-函数与Bernoulli多项式之间的关系,得到了Hurwitz zeta-函数以及其特殊情况Riemann zeta-函数的一组恒等式.     

亚纯函数的唯一性

讨论了亚纯函数涉及微分多项式的唯一性。     

带奇函数因子的广义数值积分公式

讨论了形如Ｉ（ｆ）的数值积分问题，这里φ（ｘ）为奇函数因子。借助已有的Ｇａｕｓｓ型积分公式，用２ｎ个对称点，构选出４ｎ阶代数精度的求积公式，估计了误差范围，并用一个例子说明此方法的可行性。     

关于线性单输入广义系统可控性的一点研究

目的讨论线性单输入广义系统在状态反馈作用下的强可控性(即S-可控性)和完全可控性(即 C-可控性)判别问题.方法利用多项式的有关理论和性质及其常用的推导方法.结果和结论获得判别广义系统(1)可控的两个充分必要条件.     

S.N.Bernstein型第三求和多项式算子

构造了一个求和三角多项式算子Hn( f ;r ,θ) (r≥ 1为自然数 )。Hn( f ;r ,θ)对每个以 2π为周期的连续函数都能在全实轴上一致地收敛到 f(θ) ,若 f(θ)∈Cj2π,0≤j≤r - 1 ,则Hn( f;r ,θ)的收敛阶均达到最佳收敛阶。