几类求积公式的统一推行及其应用

通过构造函数Pi（t）给出了几类求积公式（辛普森公式,梯形公式,中点公式）的统一的误差估计,结果表明：推行后的求积公式误差更小,并通过举例说明了这些结果比已有文献中的结果要好。最后给出这些结果在数值积分方面的应用。     

广义BIRKHOFF求积公式的存在性

本文讨论了广义Birkhoff求积公式的存在性及其相关的问题。主要工具是拓扑学中的一个重要定理。     

基于非[2π]周期三角方法的正常积分模拟与仿真

用非周期三角多项式作为逼近工具,对带Chebyshev权的正常积分构造两类求积公式:一类是将带Chebyshev权的正常积分变换成带另一权的正常积分,对后面的积分构造求积公式,然后利用变量逆变换将求积公式变为基于非周期三角多项式的原正常积分的求积公式;另一类是用正常积分的被积函数在非周期三角多项式生成子空间上的正交投影对被积函数进行逼近而得到求积公式;同时提出了这两种求积公式精度的概念. 对上述两种求积公式在计算机上用MATLAB编程实现,当被积函数不是周期函数且不均匀时,得到的求积公式逼近效果优于传统意义下的求积公式,实验结果与理论分析相符.     

改进的高斯二点求积公式

为改进高斯二点求积公式,提出了一个增加求积公式校正项的求积余项公式.此方法在可完全利用高斯二点求积公式数据的基础上,通过增加一个校正项,即可达到与高斯三点求积公式相当的求积精度,而且可以对求积误差进行估计,提高了求积方法的实用性和求积数据利用的效率.     

基于三角方法的Cauchy主值积分数值计算

用三角变量替换的方法把含Cauchy核的主值积分变换到[0,π)上含三角函数核的主值积分,用非等距结点的π(反)周期三角插值多项式作为工具去逼近新的主值积分的被积函数,构造出含Cauchy核主值积分的一个新的内插型求积公式,根据求积公式视结点个数的奇偶性不同给出了求积公式的不同表达式,推导出求积公式中求积系数的循环关系式.最后以一个实例在计算机上用Matlab编程实现,用得到的数值结果和图像来说明所得求积公式的误差渐进性.     

积分方程数值解的外推算法

本文讨论积分方程数值解法，以梯形求积算子为基础，建立了外推格式，证明了算法的超收敛性，数值试验与理论分析相符。     

关于黎曼—斯蒂吉司积分的乘积型求积公式

设σ(x)∈BV[a,b],σ(a 0)=σ(a),σ(b-0)=σ(b). 本文考虑用乘积型求积公式来迫近积分的问题,证明了存在一类正则的求积公式,它们收敛于积分,正则求积公式具有最小范数性质。本文还讨论了拟正则求积公式。     

不对等剖分的二重积分数值解法

本文以一维传统的数值积分法为基础,总结归纳出求二重积分近似值的复化梯形法、复化抛物线法的求积公式,并证明了它们的收敛性。在给出x、y两方向对等剖分的复化梯形、复化抛物线法的计算机算法和计算实例的分析之后,又进行新的探索和改进,总结出x、y两方向不对等剖分的复化梯形、复化抛物线法及其计算机算法,并得出了满意的计算实例的结果。     

Cauchy核奇异积分的反Gauss求积算法

利用正交多项式的三项循环关系，定义了一新的正交多项式，建立了奇异积分的插值型反Gauss求积公式。用极限方法构造出求积系数和余项积分显式表达式，余项积分表达式表明奇异积分的反Gauss求积算法是收敛的，对奇异积分求积算法进行了模拟与仿真， 结果表明，随着求积结点数的增多，通过反Gauss求积公式计算的积分值与积分精确值的误差在缩小，误差曲线也较为平滑，所得积分近似值逐渐逼近积分的精确值。该求积算法可应用到工程技术数值计算中， 为应用软件的开发提供了理论依据。     

一类仅带端点导数的复合求积公式

利用仅带端点导数的Ｈｅｒｍｉｔｅ插值公式导出一类仅带端点数的求积公式,色后用等距结点的复合求积方法,构造出复合求积公式,利用同一内结点上相邻区间公式中导数项的系数互相抵消这一特点,得出只含整个区间两端点上导数值的复合求积公式。     

一种新的积分算法

提出了一种对复化梯形求积公式改进的新的积分算法,对积分区间的划分,采取由外到内、逐渐细分的划分方法,而不是自左而右的等距顺序划分方法．在划分过程中,依据函数本身的特征随时进行计算,从而降低了计算量,使计算速度提高了3～4倍．     

一类具有二阶导数的求积公式

利用带二阶导数的Ｈｅｒｍｉｔｅ插值公式,导出一类具有二阶导数的求积公式．此类求积公式不但需要结点上的函数值,还需要结点上的一阶和二阶导数值．当被积函数在结点上的导数值容易计算时,利用这类公式进行计算可以得到十分精确的结果．     

Pappus定理及其应用

从教学的角度给出了古希腊数学家Pappus总结出来的Pappus定理的证明.进而导出一般旋转体体积公式.利用该公式可使一些旋转体体积的计算得到简化,同时对高等数学的教学也有一定的指导意义。     

积分方程数值解的外推算法

本文讨论积分方程数值解法,以梯形求积算子为基础,建立了外推格式,证明了算法的超收敛性,数值试验与理论分析相符。     

梯形明渠临界水深的直接计算方法

通过引入一个无量纲参数——单位水面宽度，对梯形明渠临界水深的基本公式进行恒等变形，得到计算梯形明渠临界水深的迭代公式，再与合理的迭代初值配合使用，推导出梯形断面临界水深的直接计算公式，在梯形断面全部范围内最大相对误差小于0．082％．误差分析及实例计算表明，该直接计算式形式简单，适用范围广，计算精度高．     

Cauchy核奇异积分的反Gauss求积算法

利用正交多项式的三项循环关系,定义了一新的正交多项式,建立了奇异积分的插值型反Gauss求积公式.用极限方法构造出求积系数和余项积分显式表达式,余项积分表达式表明奇异积分的反Gauss求积算法是收敛的,对奇异积分求积算法进行了模拟与仿真,结果表明,随着求积结点数的增多,通过反Gauss求积公式计算的积分值与积分精确值的...     

基于前馈型神经网络解线性Fredholm积分-微分方程

为了研究积分-微分方程的数值解，构造了一种前馈型神经网络用于求解Fredholm积分-微分方程近似解。首先，运用Taylor展开式近似代替未知函数，神经网络的误差由内部误差和边界误差组成。其次，应用神经网络对Taylor展开式的系数进行学习从而得到近似解。最后，与梯形求积规则(Trapezoidal Quadrature Rule, TQR)数值方法进行比较，验证了提出方法的可行性与有效性。     

第二类弱奇性Volterra积分方程的求解—在活动边界杂质扩散…

对研究活动边界杂质扩散和活动边界热传导问题时遇到的第二类弱奇性Ｖｏｌｔｅｒｒａ积分方程提出一种数值解法，该方法利用Ｇａｕｓｓ型求积公式，采取逐段积分逼近，并利用最小二乘法拟合外推，可以得到比较满意的计算结果。     

Gauss—Jacobi求积公式的收敛阶

本文采用Hermite—Fejer与Quasi—Hermite—Fejer插值的方法讨论Gauss—Jacobi求积公式的收敛与发散阶.     

一类权和积分区间端点有关的求积公式

利用具有两个ｎ＋１重结点的Ｈｅｒｍｉｔｅ插值公式导出一类新的求积公式,这类求积公式仅和被积函数在积分区间两个端点上的函数值导数值有关,如果被积函数及其条阶导数在端点上的值容易计算,利用这类求积公式能获得较好的结果。