椭圆曲线密码体制中快速标量乘方法研究

椭圆曲线标量乘是椭圆密码体制中最耗时的运算,其中求逆运算的次数直接决定了标量乘法的性质。转换求逆为乘法运算能够降低求逆次数。根据这个思想,给出在素数域Fp上用仿射坐标直接计算5P的算法,比传统方法节省了两次求逆运算。同时还给出直接计算5kP的算法,比重复计算k次5P更有效。最后结合多基链把这两个新算法应用到标量乘中。实验结果表明,该方法与以往的标量乘算法相比,效率可提高6.5%~14%,相交处I/M可降到1.1。     

GF(2~n)域椭圆曲线密码体制中快速标量乘算法的研究

根据将求逆转换为乘法运算的思想,提出在二进制域Fn2上用仿射坐标直接计算5P+Q的算法,其运算量为2I+7S+13M,比传统算法节省了二次求逆运算。同时还推导出一种新的直接计算3kP的快速算法,比殷新春等人所提的算法节省了4k+10的乘法运算。最后结合MBNS表示方法把这些新算法应用到标量乘法中,实验结果表明,在NIST推荐的椭圆曲线上,新算法比Purohit算法的平均效率大约提高了21.22%,比Mishra算法的平均效率大约提高了3.29%。     

素数域[GF(P)]上椭圆曲线快速标量乘算法的研究

基于求逆转换为乘法的思想,利用仿射坐标提出了直接计算椭圆曲线上[7P]的算法,该算法运算量为I+23M+10S,比现有的算法节省了一次求逆运算,同时也给出了直接计算[7kP]的快速算法,该算法比重复计算[k]次[7P]更有效。结合多基数系统将这些新算法应用到标量乘法中,实验结果表明,在NIST推荐的椭圆曲线上,新算法的效率优于徐凯平等人所提的算法及传统的ternary-binary、3-NAF、Dimitro算法,相交处I/M可降至2.4。     

椭圆曲线密码体制中标量乘法的快速算法

求逆是标量乘法中最耗时的运算,求逆运算次数的多少直接决定标量乘法的性能。转换求逆为乘法运算能够降低求逆次数。根据这种思想,提出了素域Fp上用仿射坐标直接计算3P+Q的算法,其运算量为1I+3S+16M,比Ciet等人提出的方法节省了一次求逆运算。同时还给出直接计算3kP的算法,该算法比重复计算k次3P更有效。最后结合3-NAFw的编码方法,把两个新算法应用到标量乘法中。结果表明,运用3P+Q、3kP的标量乘法比传统的NAF、NAF4等方法更有效,相交处I/M的值可降为5.4。     

基于w-NNAF的快速Edwards曲线标量乘法

在分析利用Edwards曲线上三倍点公式计算3nP(n=1,2,...)的基础上,根据各3"P的坐标具有统一表示形式的特性,提出了一种通过减少求逆运算而快速计算3"P (n=2, 3}..)的新算法I}ripling_Algorithm,并将此算法与标量k的二NNAF表示方法相结合,给出了一种计算标量乘法kP的高效算法ImprovedSM-3-NNAF。通过对ImprovedSM-3-NNAF的计算复杂性与安全性分析表明,利用该算法计算kP不仅是安全的,而且至少可节约20. 78%的计算量,大大改进了Edwards曲线上标量乘法的计算效率。     

Edwards曲线快速标量乘算法研究

标量乘法是椭圆曲线密码算法中最核心的运算,其运算速度影响着整个密码体制的实现效率。首先,详细地介绍了Edwards曲线的基本概念。其次,为了提高标量乘法的运算速度,针对椭圆曲线标量乘算法进行了研究,引入了一种可以用来计算连续倍点2◢△mP◣的算法CDA。为了提高CDA的计算效率,提出了将标量◢k◣表示为4-NNAF形式以减少◢k◣的长度,再结合CDA计算标量乘法可以有效地减少运算量。最后根据算法的运算量分析和具体例子得出,减少标量◢k◣长度后的计算效率提高了13%以上。为了进一步加快运算速度,又提出了对CDA中乘法运算和模逆运算采用并行结构来减少标量乘法的运算次数。计算结果表明,并行后的计算效率提高了36%以上。     

一种改进的Fixed-base Comb安全快速算法

本文从分析椭圆曲线上Fixed-baseComb算法出发,根据其特点,利用牺牲乘法操作以降低求逆操作的方法,分别用2kP、2P Q的快速算法对Fixed-baseComb算法的预计算阶段和赋值阶段进行改进,极大地提高了计算效率:在素数域上预计算阶段提高70%～80%,而赋值阶段提高38%～43%,同时,改进算法通过对k的预处理,使得算法能够抵抗边际信道攻击.     

椭圆曲线中直接计算7P的方法及其应用

为了提高椭圆曲线标量乘法的效率,根据将求逆转换为乘法运算的思想,提出了在二进制域F2n上用仿射坐标直接计算7P的两种算法。两种算法分别通过引入公因子和除法多项式来计算7P,其运算量分别为2I+7S+14M和I+6S+20M,比Purohit等提出的算法(PUROHIT G N, RAWAT S A, KUMAR M. Elliptic curve point multiplication using MBNR and Point halving. International Journal of Advanced Networking and Applications, 2012, 3(5)： 1329-1337)分别节省了一次和两次求逆运算。同时还给出直接计算7kP的快速算法,该算法比重复计算k次7P更有效。最后结合半点运算和扩展多基表示形式将这些新算法应用到标量乘法中。实验结果表明,在美国国家标准技术研究所(NIST)推荐的椭圆曲线上,当预存储点的个数为2和 5时,新算法比Purohit算法效率提高了30%和37%,比洪银芳等所提的算法(洪银芳,桂丰,丁勇.基于半点和多基表示的标量乘法扩展算法.计算机工程,2011,37(4)：163-165)效率提高了9%和13%。新算法以增加少量的预计算存储为代价,能有效降低标量乘法的运算量。     

基于双基数的快速标量乘算法

标量乘法是整个椭圆曲线密码体制实现的瓶颈,本文在有效表示标量k方面,引用一个新的数域系统--双基数系统,将标量的双基数链长度限制在O(log k/log log k)范围内,减少标量乘法中的上层运算.在底层域快速算法研究方面,推导出直接计算3kP快速算法.最后结合直接计算2kP,2P±Q,3P±Q及3kP快速算法.给出基于双基数的快速标量乘新算法,新算法的效率优于Dimitrov算法及传统标量乘算法.     

对称三进制在椭圆曲线标量乘法中的应用

把对称三进制引入到椭圆曲线密码体制标量乘法中,对k进行重新编码,直接计算kP,以改进标量乘法的运算效率。给出将k重新编码为对称三进制串的算法,提出对称三进制标量乘法算法。相对于二进制标量乘法算法,平均效率提升5.4%。当进行预计算时,相对于二进制算法和二进制预计算算法,平均效率分别提升73.18%、15.58%,并且能减少需要存储的点数。     

利用半点计算椭圆曲线双标量乘法算法

实现椭圆曲线密码体制最主要的运算是椭圆曲线点群上的标量乘法(或点乘)运算。一些基于椭圆曲线的密码协议比如ECDSA签名验证,就需要计算双标量乘法kP+lQ,其中P、Q为椭圆曲线点群上的任意两点。一个高效计算kP+lQ的方法就是同步计算两个标量乘法,而不是分别计算每个标量乘法再相加。通过对域F2m上的椭圆曲线双标量乘法算法进行研究,将半点公式应用于椭圆曲线的双标量乘法中,提出了一种新的同步计算双标量乘法算法,分析了效率,并与传统的基于倍点运算的双标量乘法算法进行了详细的比较,其效率更优。     

抵抗SPA攻击的分段Montgomery标量乘算法

基于Akishita在Montgomery形式椭圆曲线上计算双标量乘kP+lQ的思想,提出了一种计算三标量乘kP+lQ+tR的新算法,使运算量减少了约23%。在上述算法基础上提出一种椭圆曲线上分段计算标量乘bP的方法,通过预计算少量点,将计算bP转化为计算kP+lQ或kP+lQ+tR,并使用边信道原子化的方法使其可以抵抗简单能量分析(SPA)攻击。最后使用Magma在二进制域上对分段算法仿真,结果显示二分段算法计算速度最快,三分段算法其次,在效率上均比原始Montgomery算法提升很大。     

GF（3^m）椭圆曲线群快速算术运算研究

详细研究了GF(3m)上椭圆曲线基本算术运算,给出并证明GF(3m)上超奇异和非超奇异椭圆曲线仿射坐标系下点加、倍点、3倍点和3k倍点计算公式.提出高效3k倍点递归算法,在逆乘率较高时,其效率要优于逐次3倍点算法.在此基础上,提出一种新的变长滑动窗口wrNAF标量乘算法,其在保证较少点加法运算优点的同时可有效降低3倍点的计算量.     

基于整数拆分的椭圆曲线密码体制上的快速点乘算法

在椭圆曲线密码系统中,其核心操作是点乘运算κP,P是椭圆曲线上的点,忌是整数。怎样提高点乘计算速度,已成为热点研究领域。本文提出了一种新的基于整数拆分与预计算相结合的快速点乘算法。     

椭圆曲线中一种计算7P和7kP的改进算法

为了提高椭圆曲线底层域运算的效率,基于将乘法运算转换为平方运算的思想,提出在素数域[GFP]上用仿射坐标直接计算[7P]和[7kP]的改进算法,其运算量分别为[I+18M+12S]和[I+(17k+2)M+(14k+1)S],与已有的最好算法相比,效率分别提升了8.3%和10.3%。另外,基于相同的思想给出了素数域[GFP]上用仿射坐标系直接计算[5kP]的改进算法,其运算量为[I+(9k+2)M+(14k+1)S],与徐凯平和Mishra等人所提的算法相比,效率分别提升了17.2%和35.7%。     

基于Montgomery的分段并行标量乘快速算法

在椭圆曲线二进制域上,Montgomery算法利用在计算kP过程中只需计算x坐标,在最后才恢复y坐标的特性,使该算法的计算量更少。在此基础上提出基于Montgomery的分段并行标量乘算法来更进一步提高算法的效率,经分析,将整数标量分两段并行计算,算法效率可提高约25%,将其分三段时其效率可提高约37%。通过编程实现验证了新算法的效率确实有明显提高,新算法对椭圆曲线标量乘快速实现有实际意义。