Accelerazione della convergenza per metodi di risoluzione di equazioni differenziali ordinarie

In this paper a procedure for the acceleration of the convergence is given. It allows the doubling of the order of the multistep methods for the numerical solution of the ordinary differential equation $$y' = f(x,y),y_0 = y(x_0 );{}_{x_0 }^x \in [a,b].$$ This acceleration is applicable to any method of orderp≥1 whatsoever, and it requires the evaluation of the globalp-th derivate of the functionf(x, y). Special attention is confined to the 2⁰ and 3⁰ order methods, and a numerical exemple is provided.     

Soluzione delle equazioni della cinetica di un reattore nucleare per mezzo di approssimazioni successive di tipo monotono

The solution of the one-energy group space-independent reactor kinetics equations is obtained in the form of the limit of two monotone bounded sequences of functions {N _j ^?} and {N _j ⁺}, non decreasing and non increasing respectively, defined as $$\begin{gathered} N_{j + 1}^ - = T_1 N_j^ + + T_2 N_j^ - + f \hfill \\ N_{j + 1}^ + = T_1 N_j^ - + T_2 N_j^ + + f \hfill \\ \end{gathered} $$ whereT ₁ andT ₂ are monotone-type operators, precisely antitone and isotone. In this work a procedure for obtaining the two initial elements,N ₀ ^? andN ₀ ⁺, satisfying the required properties to assure the convergence of the two sequences {N _j ^?} and {N _j ⁺}, is described; moreover, it is proved that the two sequences converge uniformely to the same limit. In addition, some numerical results are presented.     

Diramazioni di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie non lineari

Sommario In questa nota vengono studiate proprietà delle soluzioni non banaliw(x) (0≤x≤1) del problema non linearew″+λw=g(w) w′ ²,w(0)=w(1)=0, dove λ è reale eg(w) è intera; sono studiati in dettaglio alcuni casi corrispondenti a scelte particolari dig.

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Properties are obtained of the non trrivial solutionsw (x) (0≤x≤1) of the non linear boundary problemw″+λw=g(w)w′ ²,w(0)=w(1)=0, where λ is real andg(w) is entire. Some special cases (corresponding to special choices ofg) are studied in detail.

     

Formule di runge-kutta di ordine elevato per i sistemi differenziali lineari del 1o ordine con applicazione al calcolo delle radici delle equazioni algebriche

Simple formulae of the Runge-Kutta type and order greater than four are established for linear differential systems of the first order. They can also be used to solve numerically algebraic equations with real coefficients.      

Un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie

Sommario Utilizzando formule di quadratura di Newton-Cotes di tipo estrapolatorio, si propone un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie. Il metodo è antopartente e se ne dimostra la stabilità in un caso particolare. Si riportano esempi paragonando il metodo proposto con i metodi di Milne e di Runge-Kutta.

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By making use of extrapolation Newton-Cotes formulas a numerical method for integrating ordinary differential equation is presented. The method is self-starting and stability is demonstrated in a particular case. In order to compare this method and those of Milne and Runge-Kutta some example are presented.

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Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Sull'analisi numeerica delle equazioni integrali di volterra

In this note we examine a fourth-order Runge-Kutta procedure for the nn-meric resolution of Volterra integral equation:

$$y(t) = f(t) - \int\limits_{t_0 }^t {\varphi (t, \tau , y (\tau )) } d\tau$$     

Un metodo di approssimazione bilaterale per equazioni differenziali ordinarie

In this paper we describe a method, based on predictor-corrector formulas, for the bilateral approximation of the solution of special initial value problems for ordinary differential equations. For given predictor-corrector formulas, conditions are stated in order to obtain, at any mesh-point, an interval containing the exact solution. The amplitude of the interval gives an error estimate according to the order of the method. Some numerical examples are considered and relevant results are displayed.      

Sulla soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno

Sommrio Vengono presentati due metodi di calcolo per la soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno. Tali metodi, adottando opportuni sviluppi in serie di potenze consentono la determinazione delle componenti incognite del vettore-C delle condizioni iniziali con una maggiore precisione, ed una notevole riduzione del tempo di calcolo rispetto al procedimento classico che fa uso di metodi di integrazione numerica passo-passo. Tali vantaggi vengono messi in evidenza in un esempio di calcolo in cui si confrontano i risultati ottenuti con i diversi metodi di soluzione.

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Two numerical methods for the solution of a linear differential system with boundary conditions are presented. These methods, through suitable developments in power series, make it possible to determine the unknown components of the vector of the initial conditions with greater accuracy and considerable reduction in calculation time compared with the classical methods using step by step numerical integration. Such calculation techniques are, furthemore, particulary useful where an analysis is required of the behaviour of the solution where the coefficient matrix or the vector of forcing function are varied. These advantages are brought out in an example in which the results obtained by the various methods are compared.

     

Discretizzazioni A(Θ)-stabili di equazioni differenziali astratte

We study a semi-discretization in time of linear parabolic problems by using A(Θ)-stable linear multistep methods of arbitrary order. The original problems are reduced to sequences of elliptic equations, which can be approximated by Galerkin methods. The stability and error estimates are uniform with respect to these space-discretizations.      

Su una classe di formule espliciteA-stabili per l'integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie

Sommario Si dimostra che ogni formula lineare ak passiA-stabile definisce un metodo esplicito, in una particolare classe di metodi lineari ak passiA-stabili e a coefficienti variabili. A questa classe di metodi viene estesa la teoria della stabilità e convergenza dei metodi tradizionali a coefficienti costanti. Si applicano i risultati per ricavare alcune formule espliciteA-stabili che, impiegate insieme a opportuni correttori, danno luogo a metodi di predizione e correzioneA-stabili.

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EachA-stable lineark-step method is shown to define an explicit one in a class ofA-stable lineark-step, with variable coefficients, methods. For this class of methods an outline of stability and convergence theory is given. Application is made in derivingA-stable explicit formulae, which are useful to performA-stable predictor-corrector methods.

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Lavoro esegnito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Studio di un procedimento di integrazione numerica per equazioni differenziali lineari a derivate parziali di tipo parabolico

Sommario In questo lavoro si esaminano la stabilità e la convergenza di un procedimento di integrazione numerica per problemi parabolici lineari a coefficienti variabili. Il procedimento è di tipo seriale, cioè viene discretizzata solo la variabile temporale, risolvendo ad ogni passo una equazione differenziale ordinaria con valori agli estremi. Il procedimento è particolarmente adatto per calcolatori di tipo ibrido. Summary This paper takes under examination stability and convergence of a numerical method for the integration of linear parabolic problems with variable coefficients. The method is a serial procedure, i. e. only the time variable is discretized, and at every step it is necessary to solve an ordinary differential equation with boundary values. At the beginning the procedure was thought for hybrid computers.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Un metodo di soluzione delle equazioni algebricheP(z)=0

We describe a method for the solution of an algebraic equationP(z)=0, based on the determination of the linear factors of the polinomialP(z):§ 2 gives some more details for the case of algebraic equations with real coefficients, but the method can also be applied to equations with complex coefficients: some variants are shown in § 4. Computer results of a program based on the method are generally superior to those obtained with other methods.      

Sul calcolo delle radici complesse di particolari equazioni algebriche con l'ausilio dei polinomi di Tchebyshev

In this paper a process is suggested for the numerical approximation of the complex roots equations.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n^o 22 del C. N. R. (1963–64).     

Tecniche di riordinamento delle equazioni per la risoluzione dei sistemi lineari sparsi

Some reordering schemes are considered for the solution of large sparse sets of linear equations, leading to a considerable gain in c.p.u. time and memory requirement. From the obtained results the techniques ignoring the possible band structure of the matrix are proved to be the best.