Expressions for solution of the Laplace and Helmholtz equations in three-dimensional eddy-current problems

Contents General three-dimensional solutions are given for the Laplace equation and Helmholtz equation in the cylindrical co-ordinate system, for processes which remain harmonic with time. The expressions for solution which are presented, not only for the magnetic and electrical field variables, but also for the higher-order vector potential, permit an analytical solution. The interrelationships between the field variables, the vector potential, and the higher-order vector potential are discussed. Several examples of engineering applications of the analytical calculation method are given.

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Lösungsansätze für die Laplace- und Helmholtzgleichung in dreidimensionalen Wirbelstromproblemen

Übersicht Es werden allgemeine dreidimensionale Lösungen für die Laplacegleichung und die Helmholtzgleichung im Zylinderkoordinatensystem bei zeitlich harmonischen Vorgängen angegeben. Die vorgestellten Lösungsansätze, sowohl für die magnetischen- und elektrischen Feldgrößen, als auch für das übergeordnete Vektorpotential, erlauben eine analytische Lösung. Zusammenhänge zwischen Feldgrößen, Vektorpotential und übergeordnetem Vektorpotential werden diskutiert. Einige technische Anwendungsbeispiele für die analytische Berechnungsmethode werden angegeben.

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List of symbols and nomenclature A Constant - B Constant - B magnetic flux density - B ₁,B ₂ scalar position functions - C closed curve section - C constant - D electric flux density - df diffential of normal to surface - ds differential of length - C constant - E electrical field strength - F area - F constant - F constant - H magnetic field strength - I,x modified Bessel function, first kind, order - j imaginary number - J,x Bessel function, first kind, order - K,x modified Bessel function, second kind, order - K constant - L constant - n normal to surface - q distribution of sources - r radial co-ordinate - S electrical current density - t time - V magnetic vector potential - W higher-order vector potential - W higher order vector potential with sources - W ₁,W ₂ scalar position functions - Y,x Bessel function, second kind, order - z position co-ordinate - eigenvalue - - eigenvalue - dielectric constant - eigenvalue - Laplace operator - h increment of height - f increment of area - V increment of volume - solid angle - electrical conductivity - permeability constant - eigenvalue - ordinal of harmonic of stator electrical loading - scalar potential - scalar potential - electrical angular frequency Notation Underlined values are complex. Conjugate complex values by an asterisk (*). The unit vectors in the cylindrical coordinate system are denotede _r ,e ,e _z .     

Calculation method of linear induction motor supplied from symmetrical voltage source

Contents A finite length of the primary part of a linear induction motor (LIM) contributes to nonuniform magnetic field distribution in an airgap. It causes the current asymmetry if the primary winding is supplied from a symmetrical voltage source. This paper presents a calculation method of the LIM performance. The method is based on Fourier series technique and takes into account the current asymmetry caused by the end effects. In order to illustrate an influence of current asymmetry the calculation results of electromechanical characteristics of a flat single-sided LIM are presented.

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Die Berechnungsmethode eines linearen Induktionsmotors (LIM) der aus einer symmetrischen Spannungsquelle gespeist wird

Übersicht Die endliche Länge des Primärsteils eines linearen Induktionsmotors (LIM) ruft die ungleichmäßige Verteilung des magnetischen Feldes im Luftspalt hervor. Es bewirkt die Asymmetrie der Ströme, wenn die Wicklung des Primärsteils aus der symmetrischen Spannungsquelle gespeist wird. Dieser Beitrag stellt die Berechnungsmethode der Leistungen von LIM dar. Diese Methode beruht auf der Berücksichtigt der Asymmetrie der Ströme, die von Rand-effekten bewirkt wird. Die Ergebnisse der Berechnungen der elektromechanischen Charakteristiken des einseitigen flach LIM wurden dargestellt, um den Einfluß der Asymmetrie der Ströme zu illustrieren.

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List of symbols and abbreviations B magnetic flux density - b slot opening - d conducting plate thickness - E electric field intensity - E e.m.f. - F force - |I _r | phase current - J current density - imaginary unit - K _t finite primary width correction factor - K _C Carter's coefficient - k, l, i harmonic and wave number - L primary length - P ₁ input power - P _m mechanical power - q number of slots per pole per phase - s slip - |U _r | phase voltage - v secondary speed relative to primary - W primary width - w _c number of wire per coil - w _s secondary width - X reactance - P power losses - Z impedance - conductivity - modified airgap length - _r actual airgap length - permeability - LIM efficiency - ( _s –L) distance between adjacent primaries - _i tooth pitch - _x pole pitch - Q=Q _m exp (jt) Q _m =|Q _m| exp (j) - Q ^* conjugate value ofQ - r number of phase - angular frequency - f frequency     

Three dimensional-space analysis of the electromagnetic field in induction pump with nonuniform distribution of molten metal velocity and nonsinusoidal current

Contents In this paper an analysis of electromagnetic field, power-losses and force in the MHD generator with flat structure of inductor is presented. The computational model, based on Fourier series technique, takes into account higher-time harmonics in supply current, the finite length and width of inductor winding and nonuniform velocity distribution along the liquid metal depth. The calculations of magnetic flux density, electromagnetic force and power losses distribution in liquid zinc have been carried out for induction pump fed by nonsinusoidal and sinusoidal current.

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Die dreidimensionale Analyse des elektromagnetischen Feldes in einer Induktionspumpe bei inhomogener Verteilung der Geschwindigkeit des flüssigen Metalls und bei nichtsinusförmigem Speisestrom

Übersicht In diesem Beitrag wurde die Analyse des elektromagnetischen Feldes, der Verlustleistung und der Kraft in einem MHD-Generator mit flachem Induktor dargestellt. Das Berechnungsmodell, gestützt auf die Methode harmonischer Fourierreihen, berücksichtigt die höheren Zeitharmonischen im Speisestrom, endliche Länge und Breite der Induktorwicklung und die inhomogene Verteilung der Geschwindigkeit in der Tiefe des flüssigen Metalls. Die Berechnungen der Verteilung der elektromagnetischen Kraftdichte und der Verlustleistung im flüssigen Zink wurden für eine mit nichtsinusförmigem und sinusförmigem Strom gespeiste Induktionspumpe ausgeführt.

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List of symbols A magnetic vector potential - B magnetic flux density - b slot opening - d _i thickness ofi-th layer - E electric field intensity - f fundamental frequency - f _x(y,z) x(y, z) component of electromagnetic force density - h tooth harmonic - I ₀ ^s inductor phase current - imaginary unit - L inductor length - m number of inductor phase - p power losses density - p number of magnetic pole pairs - r time harmonic - S _i slip ofi-th layer - v _i velocity ofi-th layer - W inductor width - _i conductivity ofi-th layer - _i permeability ofi-th layer - v phase space harmonic - _i tooth pitch - _z pole pitch - =2f angular frequency - Q Q _m exp (jt),Q _m =Q _m exp (j) - Q ^* conjugate value ofQ     

Elementare Feldmodelle für die mittelfrequente Reizstromtherapie mit vier Elektroden

Übersicht Bei der Überlagerung mehrerer Strömungsfelder mit wenig unterschiedlichen Frequenzen entsteht ein Schwebungsfeld mit einer eigenartigen Richtungsabhängigkeit. Obwohl solche Anordnungen in der Reizstromtherapie schon seit längerer Zeit angewendet werden, fehlen im Schrifttum bisher klare Vorstellungen über die physiologische Wirkung und die Natur dieser Schwebungsfelder.—Beim gegenwärtigen Stand der Erkenntnis ist der Amplitudenhub für die Reizung maßgebend. Die Richtung, in der in einem vorgegebenen Feldpunkt der größte Amplitudenhub zu messen ist, wird als Hauptrichtung bezeichnet. Der Amplitudenhub ist also eine gerichtete Größe, aber kein Vektor. Er kann durch die Intensitätensteuerung der Stromquellen nach Betrag und Hauptrichtung verändert werden.—Am Beispiel eines homogenen zylindrischen Feldes mit 2 achsenparallelen, symmetrisch angeordneten Linienquellenpaaren wird gezeigt, daß es möglich ist, den Ort mit dem größten Amplitudenhub mit unveränderter Höhe zu verschieben.—Die Ergebnisse dieses einfachen Modells liefern neue Ansatzpunkte für die mittelfrequente Reizstromtherapie. Da nur der Amplitudenhub andauernde Reizungen auslöst, kann man, ohne die Lage der Elektroden zu verändern, einen Reizort im Gewebe gezielt ansteuern oder rhythmisch verlagern.

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Simplified field models for stimulation therapy by four electrodes in the middle-frequency range

Contents The superposition of several current fields with little differences in frequencies creates a surge field showing a special directional derivative.—Although such arrangements have been applied in stimulation therapy for a considerable time already, precise notions concerning the physiological mechanism and the character of these surge fields are so far not to be found in literature.—It is assumed that the surging amplitude is decisive for stimulation. The direction indicating the maximum value of the surging amplitude for any chosen position in the field is named main direction. The surging amplitude is therefore a directed value but no vector. It can be altered in value and main direction by tuning the intensity of the sources of currents.—The model of a homogeneous cylindrical field with two spherical line sources demonstrates the possibility of shifting the position of the maximum surging amplitude without altering the amplitude.The results provide a new starting point for stimulation therapy in the middle-frequency range.—According to the fact that permanent stimuli can only be produced by the surging amplitude, any stimulation area in tissue can be selected or shifted rhythmically without changing the position of the electrodes.

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Verwendeter Formelzeichen B Höchstwert nach Bild 2b, c - f=1/T Frequenz - F Vektor der Feldstärke - F Feldstärke in komplexer Darstellung - Schwebungsgrad nach Bild 2b, c - h normierte Feldstärke in komplexer Darstellung Linienquellenpaar I - H Feldstärkebetrag im Ursprungz=0 Linienquellenpaar I - I Intensitäten der Linienquellenpaare - Einheit der imaginären Achse - k normierte Feldstärke in komplexer Darstellung Linienquellenpaar II - K Feldstärkebetrag im Ursprungz=0 Linienquellenpaar II - m=h/k Quotient der normierten Feldstärken - M=H/K Intensitätsquotient - p(x, y) Potentialfunktion - q Lage des Kreismittelpunktesk=const auf der imaginären Achse nach Bild 12 - T=1/f Periode - z=x+jy Ort im Behandlungsfeld inx,y-Koordinaten - z=r e^j desgl. in Polarkoordinaten - Z=z ² komplexe Funktion - Z=R e^j desgl. in Polarkoordinaten - Winkel nach Bild 12 - Winkel zwischenk und _b - Amplitudenhub - _b maximaler Amplitudenhub in komplexer Darstellung nach Bild 8 - _bg absolutes Maximum des Amplitudenhubs - _b =arc( _b2 )–arc( _b1 ) Winkeländerung der Hauptrichtung infolge geänderter Intensitäten - =+j komplexe Potentialfunktion - = _b /Kk aufKk bezogener maximaler Amplitudenhub - =arc (m) Winkel vonm - Polarwinkel - Radius des Kreisesk=const in Bild 12 Indizes I, II Linienquellenpaare - O im Ursprungz=0 - a, c, in der Richtunga, c, - b in der Hauptrichtungb mit maximalem Amplitudenhub _b - g im Reizungszentrum, d. h. im absoluten Maximum von _b Nach DIN 5483 sind komplexe Größen unterstrichen, konjugiert komplexe Größen mit einem Stern^* versehen.     

Berechnung der magnetischen Felder und der Wicklungsinduktivitäten bei einem Turbogenerator mit supraleitender Erregerwicklung

Übersicht Ein charakteristisches Merkmal des Turbogenerators mit supraleitender Erregerwicklung ist die weitgehende Verwendung unmagnetischer Materialien im magnetischen Kreis. Um einen grundsätzlichen Einblick in das Betriebsverhalten eines derartigen Generators zu bekommen, werden für radial unendlich dünne Strombelagsschichten übersichtliche Feldgleichungen unter der vereinfachenden Annahme abgeleitet, daß die Maschine unendlich lang ist, einen idealen Dämpferkäfig hat und radial von einem idealen magnetischen Schirm umgeben ist. Der Feldberechnung schließt sich eine Berechnung der charakteristischen Induktivitäten und Reaktanzen an. Abschließend wird das Aufzeichnen des Zeigerdiagramms erläutert.

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Contents A characteristic feature of the turbo-generator with superconducting field winding is the predominant use of nonmagnetic materials in the magnetic circuit. To obtain a basic insight concerning the operating characteristics of such a generator, clear field equations for radially infinite thin current sheets are derived under the simplified assumption that the machine is infinitely long, has a perfect damper winding, and is radially surrounded by an ideal magnetic screen. The calculation of the field is followed by the calculation of the characteristic inductivities and reactances. In conclusion, the recording of the vector diagramm is discussed.

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Verzeichnis der verwendeten symbole A Maximalwert des Strombelags, Strangbezeichnung, Abstandsmaß - a Augenblickswert des Strombelags Abstandsmaß - b Augenblickswert der Induktion, Breite eines Leiters - I Gleichstrom, Effektivwert des Strangstroms - L axiale Länge des geraden Wicklungsteils im Stator (zwischen den beiden Statorwickelköpfen) - l axiale Länge des geraden Wicklungsteils im Rotor (zwischen den beiden Rotorwickelköpfen) - L _K axiale Länge des Wickelkopfbereiches im Stator - l _K axiale Länge des Wickelkopfbereiches im Rotor - M Kopplungsinduktivität - n Drehzahl - n _1,2 ganze Zahl - p Grundwellenpolpaarzahl - Q Nutenzahl je Pol (bei gleichmäßiger Nutung) - q Nutenzahl je Pol und Strang - R _J Innenradius des Statorjochs - R _s mittlerer Radius der Statorwicklung - r radiale Koordinate - rJ Außenradius des magnetischen Bereichs der Welle - rJ Radius des Dämpferrohrs - rS mittlerer Radius der Erregerwicklung - S Spulenweite, bezogen auf den mittleren Radius der Statorwicklung - s Schlupf - t Zeit - U Effektivwert der Strangspannung - v Augenblickswert des Vektorpotentials - X ₁ Reaktanz - X ₁ transiente Längsreaktanz - X ₁ Subtransientreaktanz - Z Leiterzahl eines Stranges (Leiter in Reihe geschaltet) - z axiale Koordinate - , räumliche Winkel - räumlicher Umfangswinkel - elektrische Leitfähigkeit - ₀ Permeabilität des Vakuums - relative Permeabilität - v Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - v vorzeichenbehaftete Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - Produkt aus Zonen- und Sehnungsfaktor im geraden Wicklungsteil - b Kupferbreitenfaktor - z Zonenfaktor im geraden Wicklungsteil - _p Polteilung, bezogen auf mittleren Radius der Statorwicklung - Maximalwert des Flusses je Pol - Augenblickswert des Flusses je Pol - Winkel zwischen dem Zeiger des Stromes und dem Zeiger der induzierten Polradspannung - Kreisfrequenz Indizes 1 Statorgrößen - 2 Rotorgrößen - a außen - i innen induziert - J Joch - K Wickelkopf Kupfer - o Oberschicht - p Polrad, Pol, Polpaarzahl - r radial - S Strombelag - s synchron - Sp Spule - u Unterschicht - v verkettet - z axial, Zone - in Umfangsrichtung - v Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - t vorzeichenbehaftete Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern     

Two-dimensional analysis of linear induction motor using Fourier's series method

Contents A single sided linear induction motor with finite length of the primary is considered. Calculations of magnetic flux density, secondary current, forces and power losses in two layers of a secondary are based on Fourier's series method. Variation of magnetic flux density across an air-gap and finite values of permeability and conductivity of the secondary back iron were taken into account in the computational model. Calculations were compared with test results.

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Zweidimensionale Analyse des linearen Induktionsmotors nach der Methode harmonischer Fourierreihen

Übersicht Es wird ein einseitiger linearer Induktionsmotor bei Berücksichtigung endlicher Strombelaglänge betrachtet. magnetische Induktion, Strom-, Kraft-und Verlustdichte in zwei Schichten des Sekundärteiles wurden auf Grund der Methode harmonischer Fourierreihen berechnet. Im rechnerischen Modell wurde die Änderung der magnetischen Induktion im Spalt und der endliche Wert der magnetischen Induktion im Spalt und der endliche Wert der magnetischen Permeabilität sowie der Leitfähigkeit von Eisen im Sekundärteil berücksichtigt. Die Berechnungen wurden mit Ergebnissen experimenteller Untersuchungen verglichen.

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List of symbols and abbreviations a primary width - B magnetic flux density - b slot opening - c secondary width - d conducting plate thickness - E electric field intensity - F force - f force density - H magnetic field intensity - J current density - J ^s primary linear current density - J ^r secondary linear current density - K _t finite primary width correction factor - K _b Carter's coefficient - k, u, i harmonic and wave number - L primary length - q number of slots per pole per phase - s slip - v secondary speed relative to primary - v _ijk speed of the kui field harmonic - w _s number of wires per slot - P _e secondary power losses - p _e secondary power loss density - modified air-gap length - _a actual air-gap length - permeability - modified air-gap length - permeability - modified secondary conductivity - _a actual secondary conductivity - [ _s –L] distance between adjacent primaries - _t tooth pitch - _z pole pitch - Q - Q* conjugate value ofQ     

Bemerkungen zu Leistungsbegriffen bei Strömen und Spannungen mit Oberschwingungen

Übersicht Neben der üblichen Formulierung der Leistungsbegriffe für periodische nichtsinusförmige Ströme oder Spannungen im Frequenzbereich wird besonders die Darstellung von Schein-, Wirk- und Blindleistung im Zeitbereich untersucht. Für die Leistungsbegriffe wird solchen Formen der Vorzug gegeben, die auch künftigen Entwicklungen und möglichen Anforderungen gerecht werden können.

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A note on power definitions for currents and voltages with harmonics

Contents Besides the usual definitions of power terms for periodical non-sinusoidal currents and voltages in the frequency domain the presentation of apparent-, effective-(active-) and fictitious (reactive) power particularly in the time domain is investigated. For power terms such forms are preferred which will cope future developments and possible requirements.

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Benutzte formelzeichen = Gleichheit gemäß Definition - für alle - v.p. valor principalis (Hauptwert) - Re Realteil - Im Imaginärteil - e Einheitsvektor 2. Stufe - O Nullvektor - A Spaltenvektor - A -te Komponente vonA - A ^* konjugiert komplexer Spaltenvektor - A ^T transponierter Spaltenvektor=Zeilenvektor - <A, B inneres Produkt zwischenA undB - |A| =+<A, A Betrag vonA - >A, B< (A _v B –A B _v) äußeres Produkt zwischenA undB - i _j Zeitfunktion des Stromes - komplexer Effektivwert der -ten Teilschwingung voni _t - i _veff - I Vektor der komplexen Effektivwerte aller Teilschwingungen voni _t - i _eff =|I| - p _t Augenblicksleistung - P Wirkleistung - Q Blindleistung - Q _V Verschiebungsblindleistung - Q _D Verzerrungsblindleistung - S Scheinleistung     

On the calculation of pole surface leakage flux

Contents In designing electromagnetic circuits the pole surface leakage flux introduced by an air-gap, must be known. After defining the so called utilization factor, a review of the existing formulas for calculating it, is given. The major part of the paper deals with the presentation of a new and very accurate formula, based on the method of conformal mapping. Finally this formula is compared with experimental results.

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Übersicht Beim Entwurf magnetischer Kreise muß der Streufluß im Luftspalt bekannt sein. Nach der Definition des sogenannten Ausnützungsfaktors—d. h. des Verhältnisses von Nutzfluß zur Gesamtfluß—wird ein Überblick über bekannte Methoden zu seiner Berechnung gegeben. Mit Hilfe der konformen Abbildung wird eine neue und sehr genaue Berechnungsmethode vorgestellt. Die hieraus gewonnenen Lösungen werden mit experimentellen Ergebnissen verglichen.

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List of principal symbols a cylinder radius - g air-gap width - k modulus of the Jacobian elliptic functions - k complementary modulus - l fringe-path extent - n constant - q auxiliary quantity - t auxiliary variable - u, v, x, y real variables - ,z complex variables - A, B, C, D, E, F vertexes - E(u) fundamental elliptic integral of the second kind - E complete elliptic integral of the second kind - K complete elliptic integral of the first kind - M, N constants - , constants - , °, very small real values - running variable in thez-plane - utilization factor - , polar coordinates - ₀, _A , _C ,v _A ,v _A real exponents - , real variables - complex variable - _l , _m , _t leakage, main and total magnetic flux.     

Die Theorie des Käfigläufermotors unter Berücksichtigung der Ständer- und Läufernutung

Übersicht Das allgemeine Gleichungssystem des Käfigläufermotors wird auf den Fall erweitert, daß Ständer und Läufer Nuten besitzen. Insbesondere wird dieser Einfluß auf die Gegeninduktivität zwischen Ständer und Läufer sowie auf die Selbstinduktivität des Läufers berücksichtigt. Anhand eines Beispiels wird der Einfluß der Ständernutöffnungen auf die Oberfeldmomente erläutert.

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Contents The general system of equations of the squirrel-cage induction motor is extended to the case that both stator and rotor have slots. The influence of the stator slots upon the mutual inductance between stator and rotor and upon the selfinductance of the rotor circuits is considered in particular. A numerical example shows the effect of stator slot openings on the torque components due to magnetic field harmonics.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a Dreher nach Gl. (34) - A ₀ Querschnitt für den Unipolarfluß - A _z Querschnitt eines Läuferzahnes - b Dreher nach Gl. (34) - B Induktion - d Dreher nach Gl. (6) - g Ordnungszahl der Leitwertswelle - i Strom - I Strommatrix - k _c Carterscher Faktor - k _Fc Faktor der Eisensättigung - l ideelle Eisenlänge - L Induktivität - L Induktivitätsmatrix - L Induktivitätsschwankung - L Matrix der Induktivitätsschwankung infolge der Nutung - Drehfeldinduktivität einer Läufermasche - N Läufernutenzahl - N _s Ständernutenzahl - p Polpaarzahl - P Matrix nach Gl. (5) - P Matrix nach Tafel 1 - R Bohrungsradius - R Widerstand - R Widerstandsmatrix - s Schlupf - u Spannung - U Matrix der Spannung - V magnetische Spannung - w _s Anzahl der in Reihe geschalteten Windungen eines Ständerwicklungsstranges - Umfangskoordinate - Verhältnis magnetischer Leitwerte nach Gl. (46) - Konstante nach Gl. (51) - einseitiger effektiver Luftspalt - _g einseitiger geometrischer Lufftspalt - Ersatzluftspalt - Sehnung der Ständerwicklung in Nutteilungen - Nutungsfaktor - räumlicher Drehwinkel - A magnetischer Luftspaltleitwert - ₀ Induktionskonstante - Ordnungszahl der Luftspaltfelder (Grundwelle =1) - Wicklungsfaktor - _schr Schrägungsfaktor - Spulenfluß - Netzkreisfrequenz Indizes s Ständer - r Läufer - h Haupt- - Streu- - o Nullkomponente des Läufers (unipolare Komponente) - St Stab Hochgestellte Zeichen T transponierte Matrix - * konjugiert komplex - einmal transformierte Größe - zweimal transformierte Größe - 0 Nullkomponente des Ständers - + Pluskomponente - – Minuskomponente - Drehfeld- - ^ Scheitelwert     

Electrodynamic forces at thin non-magnetic tapes placed above ferromagnetic plates

Contents A method of calculation of the current density and electrodynamic forces at thin non-magnetic tapes placed in parallel to thick ferromagnetic plate is presented. The integral equation approach is applied, which permits to obtain an approximate solution of the problem considered. The tapes of finite width are considered. As an example, forces as a function of position and time are given.

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Elektrodynamische Kräfte auf dünne, nicht-magnetische Bänder, die parallel zu einer ferromagnetischen Platte angeordnet sind

Übersicht Es wird eine Methode zur Berechnung der Stromdichte und der elektrodynamischen Kräfte bei parallel zu einer dicken ferromagnetischen Platte angeordneten dünnen, nichtmagnetischen Bändern dargestellt. Eine Näherungslösung des betrachteten Problems wird mit Hilfe einer Integralgleichungsmethode erhalten, wobei ein Band mit endlicher Breite betrachtet wird. Als Beispiel werden die Kräfte in Abhängigkeit von Ort und Zeit angegeben.

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List of Symbols A vector potential - B magnetic density - 2d width of tape - h height of conductor above tape - l current in tape - J current density - k ² j _{0 s} - thickness of tape - ₀ permeability of vacuum - _r relative permeability of the ferromagnetic plate - conductivity of tape - _s conductivity of steel plate - _ij Kronecker delta - angular frequency     

Die Gleichungen der Synchronmaschine und ihr mathematisches Modell

Übersicht Ausgehend von der Geometrie der Maschine werden die allgemeinen Gleichungen der Schenkelpol-Synchronmaschine mit Dämpferkäfig aufgestellt und ihre Induktivitäten unter Berücksichtigung der Oberfelder ermittelt. Die Transformation in (o, d, q)-Komponenten läßt erkennen, daß man den Dämpferkäfig durch eine von der Stabzahl je Pol abhängige Anzahl von äquivalenten Ersatzwicklungen in der Längs- und Querachse darstellen kann. Sofern keine Ständernullkomponente auftritt, wird der Dämpferkäfig durch je eine Ersatzwicklung in der Längs- und Querachse verhältnismäßig gut beschrieben. Abschließend wird der Einfluß der Oberfelder auf die Streuung diskutiert.

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Contents Starting from the geometry of the machine the general equations of the salient-pole synchronous machine are derived, and its inductances are determined, taking the magnetic field harmonics into account. A transformation to (o, d, q)-components shows, that it is possible to replace the damper winding by equivalent windings in the direct-and quadrature-axis, the number of these equivalent windings depending upon the number of damper bars per pole. If the stator current system does not contain a zero-sequence component, the damper winding can be described comparatively well by one equivalent winding in the direct axis and one in the quadrature axis. Finally, the influence of field harmonics on the leakage inductaces is discussed.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole A Transformationsmatrix der Ständergrößen - B Luftspaltinduktion - Amplitude des Ständerfeldes unter Vernachlässigung der Pollücken - B Transformationsmatrix der Käfiggrößen - c Feldfaktor, bezogen auf die Seite der erregenden Wicklung - c Feldfaktor, bezogen auf die der erregenden Wicklung gegenüberliegende Seite - D Bohrungsdurchmesser - i Strom - I Strommatrix - k Konstante nach Gl. (49) - l ideelle Eisenlänge - L Induktivität - L Induktivitätsschwankung - L Induktivitätsmatrix - m, M Gegeninduktivität - M Gegeninduktivitätsschwankung - M _e elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment - N Anzahl der Dämpferstäbe je Pol - p Polpaarzahl - R Widerstand - R Widerstandsmatrix - t _n Nutteilung der Dämpferwicklung im Längenmaß - u Spannung - U Spannungsmatrix - w Anzahl der in Reihe geschalteten Windungen - _i ideeller Polbedeckungsfaktor - _r Umfangskoordinate des Läufers - Faktor nach Gl. (58) - effektiver einseitiger Luftspalt - räumlicher Winkel zwischen zwei benachbarten Dämpferstäben längs des Polbogens - ; räumlicher Winkel zwischen zwei Randstäben - Verteilungsfaktor der Dämpferwicklung - räumlicher Drehwinkel - ₀ Induktionskonstante - Wicklungsfaktor - Spulenfluß - Spulenflußmatrix Indizes a, b, c Bezeichnung der Ständerwicklungsstränge - d Längskomponente des Ständers - D Längskomponente der Dämpferwicklung - f Erreger- - h Haupt- - k Komponente des transformierten Läuferstromes - K Dämpferkäfig - q Querkomponente des Ständers - Q Querkomponente des Dämpferkäfigs - r Läufer - s Ständer - St Stab - Ordnungszahl des Ständerfeldes - v Ordnungszahl des Ständerstrombelages - Streu- - o Nullkomponente - 1, 2, 3, ..., 2pN Bezeichnung der Käfigmaschen Hochgestellte Zeichen p bezogen auf eine Maschine mitp Polpaaren - T transponierte Matrix - nach der ersten Transformation - nach der zweiten Transformation - * konjugiert komplex - ^ Scheitelwert - Drehfeld     

Beitraǵ zur Berechnunǵ der notwendiǵen Trocknunǵszeit von Großtransformatoren

Ohne ZusammenfassungSymbolliste A Oberfläche - A _j Koeffizient der Differenzgleichung - a Schichtdicke in Diffusionsrichtung - a ₁...a ₄ Konstante - B _j ,C _j Koeffizienten der Differenzgleichung - c Feuchte - c _b Feuchteverteilung zu Beginn des Ausgleichsvorganges - c ₀ Feuchte an der Außenkante (x=0) - D Diffusionskoeffizent - F Fehlerterm - E _j ,F _j Koeffizienten der Differenzgleichung - G Masse - G zeitliche Änderung der Wassermasse dG/dt - H _j Koeffizient der Differenzgleichung - j Anzahl Gitterpunkte - K Pumpenkapazität - k relativer Feuchtehalt - m Nummer des mittleren Maschenpunktes - n Anzahl Zeitschritte - p Druck - p Laplaceoperator für die Zeittransformation - p ₀ Anfangsdruck (t=0) - p _e Enddruck - Q gesamte Feuchtemenge - q Lapalaceoperator für die Ortstransformation - R Gaskonstante - T absolute Temperatur - t Zeitkoordinate - t _max maximal zulässige Zeit - t Zeit, während der gesättigter Wasserdampf gepumpt wird - V Volumen - v Diffusionsgeschwindigkeit - x Ortskoordinate - x ₀ Feuchteeindringtiefe - y Ortskoordinate - z Ortskoordinate - reduzierter Schrittlängenfaktor - Schrittlängenfaktor - Hilfsgröße - x Schrittlänge inx-Richtung - t zeitliche Schrittlänge - partielles Differential - Differenz - Gaußsches Fehlerintegral - unabhängige Variable - ₁ Thetafunktion - v unabhängige Variable     

Dreidimensionale analytische Berechnung des Statorfeldes eines Turbogenerators mit supraleitender Erregerwicklung

Übersicht Das Feld der dreisträngigen Statorwicklung wird unter Berücksichtigung der genauen Anordnung der Statorwicklung (Leiterbreite, Wicklungsradius, Unterschicht/Oberschicht, Wickelköpfe) dreidimensional für den stationären Betrieb berechnet. Magnetische und elektrische Schirme der Maschine sind als ideale Berandungen berücksichtigt.

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Contents The magnetic field of the stator winding is calculated during steady-state operation in its three dimensions taking into account the exact configuration of the winding (width of the conductors, radius of stator conductors, top/bottom layer, end windings). Magnetic and electric shields of the machine are considered in form of ideal boundarys.

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Übersicht der wichtigsten verwendeten Symbole A Strombelagshöchstwert - a Augenblickswert des Strombelages, örtlicher Wert des Strombelages - B Induktionshöchstwert - b Augenblickswert der Induktion, örtlicher Wert der Induktion - b Induktionsvektor (Augenblickswert) - b _K Wicklungsbreite, Kupferbreite - g halbe Periodenlänge - I _n (x) modifizierte Besselfunktion 1. Art undn-ter Ordnung mit dem Argumentx - I _n (x) Ableitung vonI _n (x) nach dem Argumentx - I Effektivwert eines Wechselstromes - I komplexer Effektivwert eines Wechselstromes - i Augenblickswert eines Wechselstromes Zählziffer - j imaginäre Einheit - K _n (x) modifizierte Besselfunktion 2. Art undn-ter Ordnung mit dem Argumentx - K _n (x) Ableitung vonK _n (x) nach dem Argumentx - l axiale Länge des geraden Wicklungsteils - l _K axiale Länge des Wickelkopfes - n Absolutbetrag von ₁·p - p Polpaarzahl - Q Nutenzahl je Pol - q Nutenzahl je Pol und Strang - r radiale Koordinate - S Spulenweite einer Statorspule im Bogenmaß oder als Vielfaches der Nutteilung angegeben - T Periodenlänge - t Zeit - t _p Polteilung im Bogenmaß oder als Vielfaches der Nutteilung angegeben - V Höchstwert des Vektorpotentials - v Augenblickswert des Vektorpotentials - v Vektor des Vektorpotentials (Augenblickswert) - W _Sp Spulenweite einer Statorspule im Bogenmaß - Z Leiter in Reihe geschaltet - z axiale Koordinate - räumlicher Winkel - räumlicher Differenzenwinkel - räumlicher Verdrehungswinkel - z Breite der Streifen, in die die Wickelköpfe der Statorwicklung aufgeteilt sind - räumlicher Umfangswinkel - elektrische Leitfähigkeit - Ordnungszahl von Wellen, die sich in axialer Richtung räumlich und zeitlich sinusförmig ändern - ₀ magnetische Feldkonstante - _r Permeabilitätszahl - Ordnungszahl von Wellen, die sich in Umfangsrichtung räumlich und zeitlich sinusförmig ändern - Faktor - Phasenwinkel - Kreisfrequenz Indizes 1 Stator (als erster Index) - 1 Mitsystem (als letzter Index) - 2 Gegensystem (als letzter Index) - A Strang A - B Strang B - b Kupferbreite - C Strang C - k k-ter Streifen des Statorwickelkopfes - o Oberschicht - r radial - s Schicht - u Unterschicht - w Wickelkopf - z Zone - z axial, vom axialen Strombelag herrührend (zweiter Index hinterr oder ) - tangential, in Umfangsrichtung, vom tangentialen Strombelag herrührend (zweiter Index hinterr, oderz) Schreibweisen X(a, b, c) Funktion vona, b, c - X ₍₎ Fourierkoeffizient mit der Ordnungszahl - X _{(, )} Fourierkoeffizient mit den Ordnungszahlen und - Re {X} Realteil vonX - Im {X} Imaginärteil vonX Der Verfasser dankt dem Inhaber des Lehrstuhls für Elektrische Maschinen und Geräte der TU München, Herrn Prof. Dr.-Ing. H. W. Lorenzen für die Anregung und-freundliche Förderung dieser Arbeit. Unser Dank gilt auch der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die Bereitstellung von Sachmitteln zur Durchführung unseres Forschungsvorhabens im Rahmen des DFG-Schwerpunktprogramms Neue elektrische Antriebe.     

Das magnetische Feld des gleichstromdurchflossenen Leiters von elliptischem Querschnitt

Übersicht Es wird das magnetfeld eines elliptischen Stromleiters bestimmt. Die Permeabiliät des Leiters ₁ und des umgebenden Raumes ₂ sind beliebig. Zur Berechnung wird die Methode der Trennung der Veränderlichen angewendet.

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Contents The magnetic Field of the wire of eliptical cross section has been determined. The calculations have been carried out for any permeability values of the wire and its environment. The Fourier method of separation of variables has been applied.

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Bezeichnungen a, b Halbachsen der Ellipse - c Ellipsenexzentrizität - ₁ Permeabilität des Leiters - ₂ Permeabilität des Raumes - , ,z elliptische Koordinaten - a ,a ,a _z Einheitsvektoren - A Vektorpotential - B _x ,B _y Induktionskomponenten im kartesischen Koordinatensystem - B ,B Induktionskomponenten im elliptischen Koordinatensystem - C, D Konstanten - J Stromdichte - I Leiterstrom - Index I Innengebiet des Leiters - Index II Außengebiet des Leiters     

The finite element method application to the slot impedance calculation

Contents The aim of this paper is to determine, by means of the finite element method, the impedance of the bar filling the semi-closed slot of an electric machine. As an example the slot of complex shape was chosen for calculations. The analysis of that case by means exact methods would have been totally impossible. An accuracy of the method has been evaluated on the basis of published data. The two-dimensional skin effect was taken into considerations.

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Anwendung der Methode der finiten Elemente in der Nut Impedanzen Berechnung

Übersicht Der Beitrag behandelt, mit Hilfe der Methode der finiten Elemente, die Bestimmung der Impedanzen von Leitern in der halbgeschlossenen Nut elektrischer Maschinen für den Fall kompliziert geformter Querschnitte, bei denen eine geschlossene analytische Berechnung unmöglich ist. Das Verfahren und die erreichbare Genauigkeit wird an einem Beispiel gezeigt, wobei die Stromverdrängung mit berücksichtigt wird.

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List of Symbols A z-component of vector potential (complex r.m.s. value) - B _t tangential component of induction - I=|I| e^j0 complex value of current, |I|=r.m.s. value - imaginary unit - |z|,z ^* modulus of complex numberz and complex conjugate ofz - Re [z], Jm [z] real and imaginary part of complex numberz - angle of slot opening - R _o d.c. resistance - magnetic permeability - conductivity - ² scalar Laplacian - /n derivative in normal external direction - cross section area - S boundary of area - H Hilbert's space - H–² energetic space of a positive definite ² - ^h region under triangulation - l _h boundary of ^h - W ₂ ¹ () Sobolev's space - S _h subspace ofW ₂ ¹ () - pulsation     

Theoretische und experimentelle Untersuchung der Läuferoberfelder von Käfigläufermotoren

Übersicht Zur Überprüfung einer Vorausberechnung der Läuferoberfelder werden die von ihnen hervorgerufenen Induktionen sowohl in schmalen Meßschleifen auf der Ständeroberfläche als auch in den Ständerzähnen gemessen. Eine vergleichende Untersuchung anhand von Läufern mit und ohne Käfig macht den schon im Leerlauf wichtigen Beitrag der Oberfelder der Läuferoberströme deutlich. Der Einfluß der Eisensättigung auf die Zahnpulsationen wird theoretisch und experimentell untersucht. Die Bedeutung der Läufernutenzahlen, der Ständernutöffnung und der Schaltung der Ständerwicklung wird aufgezeigt.

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Theoretical and experimental investigation of the rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors

Contents For the purpose of verifying predetermined rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors, induction caused by the rotor is measured on the stator surface by means of narrow search loops, as well as in the stator tooth bodies. Comparative investigations made on rotors with and without cages clearly evidence the influence of the harmonic fields produced by the higher harmonic currents of the rotor — even in no-load operation. The influence of magnetic saturation on the tooth flux pulsations is subjected to theoretical and experimental investigation. In addition, the importance of the number of rotor slots, the extent of stator slot openings as well as the connection of stator windings are dealt with.

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Verwendete Symbole b _zs Ständerzahnbreite - B Induktion - B _zG Zahninduktion des abgeplatteten Grundfeldes - D Bohrungsdurchmesser - g Ordnungszahl - h _zs Ständerzahnhöhe - I _N Nennstrom - I _R Ringstrom des Läufers - k _c Carterscher Faktor - k _Fü Eisenfüllfaktor - l axiale Blechpaketlänge - m Strangzahl des Ständers - N Nutenzahl - p Polpaarzahl - q Nutenzahl je Pol und Wicklungsstrang - s Schlupf - S Spulenweite der Meßschleife auf der Ständeroberfläche - t Zeit - U _N Nennspannung - V magnetische Spannung - t _ns Ständernutteilung im Längenmaß - y Längenkoordinate in axialer Richtung - Umfangskoordinate im Bogenmaß - Abplattungsfaktor - _g geometrischer Luftspalt - , ' Ersatzluftspalte - Sehnung der Ständerwicklung um Nuten - Ordnungszahl der Läuferoberfelder - _r G relative Permeabilität der Grundfeldzahninduktion - _r P relative Permeabilität der Zahnpulsation - Ordnungszahl der Ständeroberfelder - Wicklungsfaktor - _S Sehnungsfaktor der Meßschleife - _z Sehnungsfaktor des Ständerzahnes - _ns Ständernutteilung im Bogenmaß - Korrekturfaktor aus der digitalen Feldberechnung - Netzkreisfrequenz Indizes gr der Ordnungszahlg _r - i desi-ten Ständerzahnes - r Läufer - s Ständer - ung ungesättigt - z im Ständerzahn Hochgestellte Indizes und Sonderzeichen N Nutungsoberfeld - Scheitelwert - Re Realteil einer komplexen Größe Unterstreichung: komplexe Größe     

A quasi analytical procedure for determining the optimum commutation angles of PWM converters

Contents A method for calculating the optimum commutation times for PWM converters is proposed. The method is mainly analytical and leads to a simple, fast calculation procedure. The time behaviour of any variable, electrical or non electrical, which is considered to be the most characteristic of the behaviour of the system, can be optimized. The validity of the analytical approach is subject to some hypotheses which are often verified in practice. The computation power required by the method is so limited that, in the majority of cases, a minicomputer can be used.

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Quasi analytische Bestimmung der optimalen Steuerwinkel für pulsbreitenmodulierte Frequenzumrichter

Übersicht Man beschreibt ein meist analytisches Verfahren für die Berechnung der optimalen Steuerwinkel für pulsbreiten-modulierte Frequenzumrichter. Durch dieses Verfahren wird es möglich, den Zeitverlauf der bedeutendsten elektrischen und nichtelektrischen Größen des Systems zu optimieren. Das Rechnungsverfahren beruht auf meistens erfüllten Annahmen; auf Grund seiner einfachen und schnellen Durchführung braucht man in den meisten Fällen nur Minicomputer zum Zweck.

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List of symbols fundamental frequency - x(t) modulated wave (input wave) - y(t) variable to be optimized (output wave) - f ^*() transfer function - f ^*() f ^*() amplitude - ^*() f ^*() phase - f(n) f ^*() evaluated only in correspondence with () _f integer multipliers - a _n x(t) Fourier coefficients relative to the terms cos (n _f t) - b _n x(t) Fourier coefficients relative to the terms sin (n _f t) - a _n ,b _n asa _n ,b _n , but relative toy(t) - y _d (t) required output wave-form - a _d (n), b _d (n) y _d (t) Fourier coefficients - y _s (t) deviation function (defined asy(t)–y _d (t)) - a _s (n), b _s (n) y _s (t) Fourier coefficients - ^* rms value ofy _s - as ^* except for some constants - _i commutation angles - m ₁ commutations number in the first half of the period - m number of independent commutations in the period - _ij , _ij x _ij auxiliary variables dependent on the _i - V _k numerical values relative to the links imposed onx(t)'s,y(t)'s harmonics - peak values ofy(t) andx(t) harmonic of ordern - Y _n ,X _n rms values of ordern harmonics ofy(t) andx(t) - _j Lagrange multipliers - z number of constraints relative tox(t)'s harmonics Research supported by Italian Research Council (C.N.R.)     

Zur Berechnung der Wirbelströme in beliebig geformten,lamellierten, dreidimensionalen Eisenkörpern

Übersicht Es wird ein numerisches Lösungsverfahren vorgestellt, mit dem die Wirbelströme in den Lamellierungsebenen beliebig geformter, lamellierter Eisenkörper berechnet werden können.Die Anregung kann durch eine beliebige Verteilung zeitlich sinusförmiger Leiterströme vorgegeben werden, die nicht innerhalb der Eisenkörper fließen. Durch Diskretisierung der zeitfreien, komplexen Maxwellschen Gleichungen wird das dreidimensionale Feldproblem in ein großes, komplexes, algebraisches Gleichungssystem überführt.Lösung dieses Systems sind die komplexen Amplituden der magnetischen FeldstärkeH und der WirbelstromdichteJ _w.

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On the calculation of eddy-currents in arbitrarily shaped, threedimensional, laminated iron-coresPart I: The method

Contents For the calculation of eddy-currents in the lamination-planes of arbitrarily shaped iron-cores, a numerical method is suggested.The excitation can be given as an arbitrary distribution of sinusodial currents outside the iron.By a discretization of the time-free, complex Maxwell-equations, the threedimensional field-problem is transfered into a great, complex, algebraic system of linear equations.The solution of this system are the complex values of the magnetic field-vectorH and the eddy-current-densityJ _w.

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Formelzeichen und abkürzungen H komplexe Amplitude der magnetischen Feldstärke - B komplexe Amplitude der magnetischen Flußdichte - J _w komplexe Amplitude der Wirbelstromdichte - J _e komplexe Amplitude der eingeprägten Stromdichte - E komplexe Amplitude der elektrischen Feldstärke - D komplexe Amplitude der elektrischen Flußdichte - Leitfähigkeit - (_E) Diagonaltensor der Ersatzleitfähigkeit, Diag (_x,_yO) - Permeabilität - (_E) Diagonaltensor der Ersatzpermeabilitäten, Diag (_x,_y,_z) - H _i Hilfsfeld mit den Wirbeln vonH _L - komplexes Potential - Dx _i Elementarstrecken inx-Richtung - Dy _j Elementarstrecken iny-Richtung - Dz _k Elementarstrecken inz-Richtung - Ax _n Elementarflächen dery-z-Ebenen - Ay _n Elementarflächen derx-z-Ebenen - Az _n Elementarflächen derx-y-Ebenen - Q _n Elementarquader mit der Nummern Indizes H _E E für Eisen - H _L L für Luft - x _i i-tex-Koordinate des Gitternetzes - y _j j-tey-Koordinate des Gitternetzes - z _k k-tez-Koordinate des Gitternetzes - Q _n n-ter Gitterpunkt, bzw. Quader - _x, n x-Komponente des Ersatzpermeabilitätentensors im Elementarquadern - I, J, K Anzahl der Gitterlinien inx-,y- undz-Richtung - A zweidimensionales Gebiet - A Rand des GebietesA - Kreisfrequenz     

Leistungsbilanz und statische Stabilität der einphasigen elektrischen Welle

Übersicht Es wird das stationäre Verhalten einer einphasigen elektrischen Welle aus zwei gleichen Drehstromasynchronmaschinen mit Schleifringläufern unter Verwendung der Methode der symmetrischen Komponenten untersucht.Die Leistungsbilanz und die Stabilität einer Einphasenwelle unter Vernachlässigung der Dämpfung (statische Stabilität) werden behandelt und in eine Formel dafür abgeleitet. Ferner die daraus gewonnenen Rechenergebnisse werden mit Meßwerten verglichen. Es wird festgestellt, daß sich die die Einphasenwelle im Stillstand für Drehmomentübertragung mit Vorteil verwenden läßt.Zusammenstellung der benutzten Bezeichnungen U _N Netzspannung (V) - U _m ,U _g ,U ₀ Spannung des Mit-, Gegen- und Nullsystems (V) - j - P Polpaarzahl - Verdrehungswinkel des Läufers derten Wellenmaschine in Richtung des Drehfeldes des Mitsystems (=1,2) - ₁₀, ₂₀ Gleichgewichtswerte (^oel.) - P ₂- ₂ = gegenseitiger Verdrehungswinkel der Läufer (^oel.) - Winkelgeschwindigkeit des Läufers der -ten Wellenmaschine (s^–1) - Drehbeschleunigung des Läufers der -ten Wellenmaschine (s^–2) - m Mitsystem - g Gegensystem - o Nullsystem - 1 Wellenmaschine 1 - 2 Wellenmaschine 2 - Primärseite (Ständer) - Sekundärseite (Läufer) - J ₁ Primärstrom (Netzstrom) (A) - J _m ,J _g Strom des Mit- und Gegensystems (A) - J _re ,J _im reeller bzw. imaginärer Anteil des Primärnetzstromes der -ten Wellenmaschine (A) - J Läuferstrom der einphasigen elektrischen Welle (A) - , Ständer- bzw. Läufer-Streukoeffizient - totaler Streukoeffizient - R ohmscher Widerstand () - Streublindwiderstand () - _l Nutz-(Magnetisierungs-)blindwiderstand () - L l(1+)=Drehfeldinduktivität (H) - l Drehfeldhauptinduktivität (H) - l Streuinduktivität (H) - n Drehzahl (U/min) - n ₀ synchrone Drehzahl (U/min) - s Schlupf - s _K Kippschlupf der dreiphasigen Asynchronmaschine - M Drehmoment eines Wellenmotors(mkg) - M _K Kippmoment der dreiphasigen Asynchronmaschine (mkg) - N _d Drehfeldleistung einer Wellenmaschine (W) - N Vom Netz aufgenommene Leistung eines Motors der Einphasenwelle (W) - V undV Ständer- und Läuferkupferverluste (W) - N _m abgegebene mechanische Leistung (W) - N _s abgegebene Wirkleistung an den Schleifringen (W) - N _Gs gesamte vom Netz aufgenommene Leistung der einphasigen elektrischen Welle (W) - Winkelabweichungen von der Gleichgewichtslage - Trägheitsmoment (mkg s²) - Kreisfrequenz der ungedampften Schwingung (s ^–1) - N _bs Schleifringblindleistung (bkW) - N _b Blindleistung (bkW) - N Läuferblindstreuleistung (bkW) - N Statorstreuverluste (bkW) - f _b berechnete Frequenz (Hz) - f _m gemessene Frequenz (Hz) Mit 13 Textabbildungen