一类G2连续分段四次代数样条

三角形中的多项式代数样条可以表示为Bernstein-Bézier(BB)形式,选取其中一类带有4个形状参数和经过三角形2个顶点的四次实代数样条,在给定有序节点或者控制多边形的条件下,每2个相邻节点外加一个控制顶点可以构造一个三角形,这类限定在三角形内的代数曲线段可以构造G2连续的分段插值和逼近曲线.若给定满足条件的形状参数,可以证明其在重心坐标系统中是保单调的,同时还可以调整这些形状参数使它保凸.最后给出了图例分析和三次的比较.     

G2连续的低次避障代数样条曲线

为便于机器人在避障时能高速前进,把整体G2连续的低次避障曲线从参数形式拓展到代数样条形式上。首先,对导向折线段中除去首末线段的其他线段插入中点,以生成一组控制多边形;然后,根据各控制多边形和与之对应的障碍物,得到既能使曲线规避所有障碍物,又能使曲线在整体上保持G2连续的形状因子。低次避障代数样条曲线不仅能够直接得到与给定点之间的位置关系,还具有次数低、连续阶高、计算简单、保形性好和便于控制的优点。曲线在次数为3时更是具有局部可调性,其在设计时的灵活度得以增加。     

带形状参数的类三次代数三角Hermite参数样条曲线

基于空间{1,t,sin t,cos t,sin~2t}提出了一类带形状参数的类三次代数三角Hermite参数样条曲线。该曲线不仅具有标准三次Hermite参数样条曲线的性质,而且在适当条件下能够精确表示圆、椭圆、抛物线等工程曲线。在给定插值条件时还可通过改变形状参数的取值对曲线的形状进行调控。同时,还基于光顺准则建立求解最优形状参数的数学模型,根据实际需要,该模型所求的形状参数能使得曲线达到C~1或C~2连续。实例表明,利用模型求解的最优形状参数能保证曲线具有良好的光顺性。     

一类二次曲面上的参数样条

在空间四个有序数据点所确定的一个二次曲面上,可以构造一类特殊的曲线。给出了四个形状控制因子的有理基函数,以及通过研究其参数间的函数关系定义函数集,构造一类样条曲线,使得通过改变控制因子能任意精确地逼近控制多边形。这类样条曲线端点处满足一定切线方向和有界曲率,容易将它们拼接成一条逼近样条曲线。利用这些样条构造出逼近样条曲面,具有更多的自由度。     

基于三点形状可调的二次三角Bzier曲线

给出了二次三角多项式形式的Bzier曲线,基函数由一组带形状参数的二次三角多项式组成。由三个控制顶点生成的曲线具有与二次Bzier曲线类似的性质,但具有比二次Bzier曲线更好的逼近性。形状参数有明确几何意义:参数越大,曲线越逼近控制多边形。曲线可精确表示椭圆弧,还给出了两段三角多项式曲线的G2和C3连续的拼接条件。     

代数曲面混合的切分结合S曲面补洞方法

该文首先采用代数曲线样条逼近的方法参数化混合边界,然后用三次样条曲面混合任意两个隐式代数曲面,实现样条曲面和基曲面之间光滑过渡.进一步,文中采用GB样条混合两张代数曲面,当混合边界为Lissajous曲线、二次曲线、三角函数曲线、双曲函数曲线、悬链线或螺旋线等特殊曲线时,可实现混合曲面精确插值边界曲线.而对于多个隐式代数曲面混合,又首次提出了G1连续的切分结合S曲面片补洞的方法,且每张曲面片的形状都可通过形状参数直观地进行调整.     

带形状参数的双三次三角多项式Coons曲面片

给出一类含参数的三角多项式混合函数,在此基础上构造一类三角多项式混合Coons曲面片,提出带形状参数的双三次三角多项式Coons曲面片的表达式。所构造的曲面不仅具有双三次Coons曲面片的相似的结构,可以通过改变参数,得到不同的曲面片,而旦还能精确地表示圆环面、球面、椭球面等二次曲面。     

一类可调控的三次多项式曲线

为拓展Bézier曲线的表示方法,本文首先给出了一组带有两个形状参数的三次调配函数,是二次Bernstein基函数的一种扩展。然后,基于该调配函数生成了一类可调控的三次多项式曲线,并讨论了该曲线与二次Bézier曲线及三次Bézier曲线之间的关系。事实表明,该曲线是二次Bézier曲线的一种扩展,不仅具有二次Bézier曲线的诸多特性,而且由于带有两个形状参数,使得曲线具有更强的表现能力,在控制顶点不变时,可通过修改两个形状参数对曲线进行局部或全局调节。为方便自由曲线的设计,还讨论了两段曲线的拼接条件,给出了该曲线在曲线设计中的实例应用。     

一类带两个形状参数的三次Bézier曲线

提出一组带两个形状参数λ,μ的四次多项式基函数,它是带一个形状参数的三次Bernstein基函数的扩展.基于该组基定义了一类带两个形状参数λ,μ的三次Bézier曲线,它不仅具有带一个形状参数的三次Bézier曲线的绝大多数性质,而且利用λ,μ的不同取值能够局部或整体调控曲线的形状,并且可以从两侧逼近控制多边形.讨论了两段曲线C2拼接条件.最后,还给出了一些可调控曲面的实例.     

三角网格上的代数曲面重建

提出一种用分片代数曲面构造三角曲面片的方法,利用具有公共边的2个三角形区域的4个顶点的函数值以及公共边2个端点的外法向量来构造一个二次曲面V(g)和一个截面V(h),其交V(g,h)即为2个三角曲面片的公共边界曲线.对每个已确定了边界条件的三角片内部进一步划分成3部分,每部分各自定义一个三次代数曲面.这3个三次代数曲面不仅在其交线处光滑拼接,而且分别沿三角形的边界与V(g)光滑拼接,从而构成一个具有GC1连续性的分片代数曲面.对于只属于一个三角片的边界留有一个自由度,可对曲面形状加以控制.     

A basis for the implicit representation of planar rational cubic Bézier curves

We present an approach to finding the implicit equation of a planar rational parametric cubic curve, by defining a new basis for the representation. The basis, which contains only four cubic bivariate polynomials, is defined in terms of the Bézier control points of the curve. An explicit formula for the coefficients of the implicit curve is given. Moreover, these coefficients lead to simple expressions which describe aspects of the geometric behaviour of the curve. In particular, we present an explicit barycentric formula for the position of the double point, in terms of the Bézier control points of the curve. We also give conditions for when an unwanted singularity occurs in the region of interest. Special cases in which the method fails, such as when three of the control points are collinear, or when two points coincide, will be discussed separately.     

带最多独立形状参数的三阶三次均匀B样条曲线

构造了三阶三次等距结点的多项式B样条参数曲线,给出了de Boor控制顶点与分段三次Bézier控制顶点的关系式。该曲线具有一些类似于二次B样条曲线的性质：关于参变量为C¹连续,每个样条区间上的曲线由三个de Boor控制顶点的线性组合表示,具有仿射变换下的不变性,包含了二次均匀B样条曲线等。还具有形状可调性质：调配函数中含有形状参数,具有明显的几何意义,可用于调控曲线的形状或变形。给出了其具有凸包性、对de Boor控制多边形保形性等性质及其条件,讨论了形状参数对曲线形状的影响。     

Some remarks on Bézier curves

Parametric polynomial curves in Bézier-Bernstein representation are considered as prohections of rational norm curves of degree n in n-space; from this point of view the singularities of a planar Bézier cubic are determined and expressed by its affine invariants. Secondly, for an arbitrary pair of adjacent parametric curves in homogeneous coordinates, the general conditions for geometric continuity of any order k, G^k, are established.This result generalizes the corresponding conditions in the non-homogeneous (affine) case, recently obtained by [Goodman '84]. Some applications are given for Bézier curves. In particular, for γ-splines [Boehm '85], the existence of a global rational parameter that makes it to a C² parametric curve is shown. Furthermore, for two adjacent rational Bézier curves the complete conditions for G³ are stated using the projective properties of the control points only.     

基于几何约束的三次代数曲线插值

尽管三次参数曲线在曲线曲面造型中扮演着主要角色,但是计算几何专家也一直没有放弃对三次代数曲线的性质及应用进行研究。该文首先综述了近年来有关三次代数曲线研究的最新进展,对各主要方法的优缺点进行了客观的评价。然后提出了一种基于几何约束的三次代数曲线的插值方法,该方法守完全通过几何量如控制顶点、切线和曲率来控制三次代数曲线的形状,使得对三次代数曲线的编辑与对三次B－样条曲线的编辑一样灵活方便。该文提出的代数曲线的结构有两种,一种是插值平面上四点及两端点切线的三次代数曲线;另一种是插值两端点、两切线及两曲率的三次代数曲线。在第二种情况下对曲率的情况进行了详细的分类。并且从理论上对曲线的连续性及保凸性进行了严格的证明。     

Shape aware normal interpolation for curved surface shading from polyhedral approximation

Independent interpolation of local surface patches and local normal patches is an efficient way for fast rendering of smooth curved surfaces from rough polyhedral meshes. However, the independently interpolating normals may deviate greatly from the analytical normals of local interpolating surfaces, and the normal deviation may cause severe rendering defects when the surface is shaded using the interpolating normals. In this paper we propose two novel normal interpolation schemes along with interpolation of cubic Bézier triangles for rendering curved surfaces from rough triangular meshes. Firstly, the interpolating normal is computed by a Gregory normal patch to each Bézier triangle by a new definition of quadratic normal functions along cubic space curves. Secondly, the interpolating normal is obtained by blending side-vertex normal functions along side-vertex parametric curves of the interpolating Bézier surface. The normal patches by these two methods can not only interpolate given normals at vertices or boundaries of a triangle but also match the shape of the local interpolating surface very well. As a result, more realistic shading results are obtained by either of the two new normal interpolation schemes than by the traditional quadratic normal interpolation method for rendering rough triangular meshes.     

Developable Bézier patches: properties and design

Geometric design of quadratic and cubic developable Bézier patches from two boundary curves is studied in this paper. The conditions for developability are derived geometrically from the de Casteljau algorithm and expressed as a set of equations that must be fulfilled by the Bézier control points. This set of equations allows us to infer important properties of developable Bézier patches that provide useful parameters and simplify the solution process for the patch design. With one boundary curve freely specified, five more degrees of freedom are available for a second boundary curve of the same degree. Various methods are introduced that fully utilize these five degrees of freedom for the design of general quadratic and cubic developable Bézier patches in 3D space. A more restricted generalized conical model or cylindrical model provides simple solutions for higher-order developable patches.     

Bézier曲线曲面正则性的判别条件

正则性是参数曲线曲面的重要代数性质,是由参数曲线曲面的参数化决定的.在计算机辅助制造过程中,要求所处理的参数曲线曲面是正则的,前提是计算机辅助设计得到的参数曲线曲面是正则曲线曲面.然而,直接按照正则参数曲线曲面的定义,采用解方程或方程组的方法来判断曲线曲面是否正则,其计算相当复杂,实际上也是行不通的.通过将Bézier曲线曲面的导矢曲线(法矢曲面)的参数表示转换为隐式表示,得到了一个判断Bézier曲线曲面正则性的简单而实用的充分条件.     

圆弧标准型有理三次Bézier表示的内在性质研究

给出圆弧带参数的标准型有理三次Bézier表示的一种实用形式,讨论参数对内控制点、两内权因子及肩点的影响。详细分析该参数与圆弧非标准型二次Bézier表示下的权因子之间的内在关系,参数值的变化对应了一个有理线性参数变换。最后讨论了圆弧标准型有理三次Bézier表示的反算问题。     

Bézier曲面的函数复合及其应用

目前有两种常用的Bézier曲面片,分别称为三角和四边Bézier曲面片,它们分别用不同的基函数表示.本文通过移位算子和函数复合的方法,得到了两个关于这两种Bézier曲面片的结果.一个是四边Bézier曲面片与一次三角Bézier函数的复合,另一个是三角Bézier曲面片与双线性四边Bézier函数的复合.在每一种情况中,复合所得到的Bézier曲面片的控制顶点是原来Bézier曲面片的控制顶点的线性组合.移位算子的应用使得相应的推导过程变得简洁和直观.这两个结果的应用包括：两种Bézier面片间的转化     

三点插值的三次PH曲线构造方法

为推广三次PH曲线的实际应用,研究在给定3个平面型值点条件下的三次PH曲线构造方法.三次PH曲线具有鲜明的几何性质和代数特征,采用平面参数曲线的复数表示方法,三次PH曲线的充分必要条件被表述为复代数系统.通过对给定型值点进行参数化,将复代数系统转化为一元二次复方程,求解方程即得三次PH曲线的控制顶点,从而得到2条构造曲线.应用该方法对模拟给定的若干平面型值点数据进行实验,比较了均匀参数化、弦长参数化、弧长参数化方法的不同效果,并计算弧长、弯曲能量、绝对旋转数来选取最优构造曲线.实验结果表明,该方法有效且易于计算,可应用于三次PH样条构造.