保形C^1二次样条插值方法

本文得到了保形Ｃ＾二次样条插值函数存在的充分必要条件，并给出一种通过插入一些新的结点来构造保形Ｃ＾１分段二次样条插值函数的简单算法。     

几类插值有理样条函数

众所周知,多项式样条函数具有比较好的性质和广泛的应用。但是用它们对某些含有奇点的函数进行插值是不适宜的。在这种情形下有理样条则是较合适的工具。在本文中,我们用规范多项式 B 样条 B_(i,k)(x)构造出几类插值有理样条函数。其构造方法与[2]、[3]及[4]中的不同。首先,我们在区间[a、b]上,给出了属于 C~1[a、b]与 C~2[a、b]的两类插值有理样条函数的分段表达式,并且证明了它们的存在唯一性。其次,我们还求得了形式如:R(x)=sum from j=-k+1 to N-1 (C_jR_(j,k)(x)) x∈[a,b]的另一类插值有理样条函数,其中 N 为区间[a、b]被划分成子区间的个数,函数R_(j,k)(x)=B_(j,k)(x)/((x-x_j)~2+(x_(j,k)-x)~2),j=-k+1,-k+2,…N-1有与 B_(j,k)(x)相类似的一些性质。因此 R(x)∈C~(k-2)[a,b]。文中,我们对于 k=4的情形作了详细的讨论。文未的算例说明了对某些函数来讲,用有理样条逼近比用三次样条逼近要好。同时也说明了文中的方法是可行的。在应用这些有理样条时,用户可根据需要调节这些有理样条的分母或分子的次数。     

保形C^1三次样条插值方法的改进

对文献「１」的保形Ｃ＾１三次样条插值的２种方法进行了改进，得到了２个新的简单的方法。     

插值多元拟有理样条函数

过去几十年间多元样条插值与逼近理论发展得十分迅速。然而有理样条却很少有人问津。本文通过给定三角剖分下各胞腔上的有理分式函数,构造了两种广义多元有理插值样条,从而将王仁宏等人关于有理Spline函数和有理样条函数的插值问题推广到多元情形。     

3/1型有理插值样条

重心有理插值在整个插值区间上具有足够的光滑性、不存在极点,且具有很高的逼近阶.首先基于给定权构造的重心有理插值来计算导数的近似值,再通过两族参数作为形状调节参数来构造3/1型有理插值样条使得插值函数保单调,保凸,最后分析了误差并给出了数值例子来说明新方法的有效性.     

含可调参数的保单调有理样条插值

为了使有理插值样条在计算机图形和CAD领域有更灵活的应用,构造了带有可调参数的的二次有理样条函数（2/2型）,并给出了详细的构造方法。该函数可通过选取适当的形状参数使得曲线具有保形性。可以通过调整参数交互式的修改插值曲线的形状,以得到满意的曲线,并证明了此类插值函数的保单调性和给出了其误差分析。最后通过数据实例,说明了它较稳定和保单调的特点。     

一次有理插值样条

重心有理插值在整个插值区间上具有足够的光滑性、不存在极点,且具有很高的逼近阶。首先基于给定的权构造的重心有理插值来计算导数的近似值,通过适当选择形状参数,插值函数一阶连续且保单调来构造1/1型有理插值样条,最后分析了误差并给出了数值例子来说明新方法的有效性。     

三次自然样条函数的凸性条件

提出了在等距情形下三次自然样条函数一系列凸性的充分条件，在某定之下，还得到了一些三次自然样条函数凸性的必要条件。     

单调函数的C′保形插值方法

对于给定的单调数组,本文描述了一种保形三次插值样条函数,得到的样条函数是C′连续的,且计算简单,最后该文还估算了插值函数的误差。     

二阶连续的四次有理插值样条及其应用

对有理插值样条有关问题进行了分析,并在此基础上构造了一种带参数的分母为线性的四次有理插值样条.把四次有理插值样条函数的连续性降为C2连续就可以提供额外的自由度,这对于控制曲线的形状具有较大的灵活性.     

指数样条插值的误差估计

笔者就三次样条插值函数误差估计的已有结果作了比较系统的总结,并就某些特殊的指数样条插值的误差估计方法做了比较有意义的优化改进.不但具体给出了误差估计中的系数,而且还给出了详细的计算步骤.对相关数学领域的后续工作提供了参考.     

样条插值的MATLAB实现

插值法是工程实践中最常用的函数逼近方法,其方法就是利用有限个数据点来实现对整个函数的拟合.本文介绍了插值法的概念,进而对样条插值的概念和条件进行了阐述.三次样条插值和B样条插值是最常用的两种样条插值方法.本文着重对这两种方法进行了数学分析并基于MATLAB工具箱对其进行仿真实现.     

三次样条在插补中的应用

本文用半步偏差法来插补三次样条,提出了在插补中两曲线间衔接的方法,建立了偏差递推公式,实现了对三次样条的软件插补。插补程序具有计算简单、通用的特点。     

三次样条插值的收敛性

本文在一些特殊条件下对三次样条插值的收敛性进行了讨论。给出了一个结论:设f(x)∈C[a,b],且f(x0)=f(xn),SΔn(x)是关于Δn的三次周期样条插值函数,对任何满足Δn→0的分划序列Δn,nli→∞m‖SΔn(x)-f(x)‖=0成立的充分必要条件是f(x)∈LiP1,且当f(x)∈Lipk1时,有‖SΔn(x)-f(x)‖≤54k-Δn。     

一个关于三次样条插值收敛性的证明

在一些特殊条件下,对三次样条插值的收敛性进行了讨论.给出了一个结论:设f(x)∈C[a,b],且f(x0)=f(xn),SΔn(x)是关于Δn的三次周期样条插值函数,对任何满足的n→0分划序列Δn,limn→∞‖SΔn(x)-f(x)‖=0成立的充分必要条件是f(x)∈Lip1,且当f(x)∈Lipk1时,有‖SΔn(x)-f(x)‖5/4k-n.     

一类特殊三次广义样条插值的误差估计的优化改进

笔者在一类特殊的三次广义样条插值的误差估计做出了下述优化改进：对3种不同形式下的具体问题给出了误差估计中的系数设定方法,同时亦给出了误差估计的详细计算步骤.对相关数学领域的后续工作提供了参考.     

保形三次B样条插值算法

给定空间有序点列{Vi}ni=0,构造了一条三次B样条插值曲线,该曲线上的所有3n+1个deBoor点由点列{Vi}ni=0直接计算产生。对于平面有序点列{Vi}ni=0,导出了该三次B样条插值曲线保形的一种算法,该算法中所有的deBoor点由点列{Vi}ni=0直接计算产生,避免了求解矢量方程。     

三次样条插值函数的数值稳定性

在插值节点非等距分布的情况下,研究了边界条件数据误差和型值数据误差对三次样条插值函数的影响,分别导出了第一类和第二类三次样条函数相应的误差估计,表明了边界条件和型值数据误差对三次样条插值函数的影响是随着远离端点而衰减的,从而证明了三次样条函数的数值稳定性。     

不完全线性算子方程样条插值解

给出了不完全算子方程的样条插值解,并讨论了解的收敛性及误差估计．