关于矩阵秩的几个重要不等式

针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题,综合运用演绎、 分析与综合、 化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究,并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用,这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论,提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力.     

{1}—逆的表征与线性方程组的求解

给出复矩阵Ａｍｘｎ的（１）－逆的表征以及应用（１）－逆求解线性方程组的具体方法。     

伴随矩阵的新求法

本文讨论了伴随矩阵的一些性质和一类特殊方阵的伴随矩阵，并用初等变换给出了伴随矩阵的一种新的求法，它大大简化了传统的方法。     

矩阵秩的下界估计与Schur不等式的改进

研究具有实用价值的关于一般复方阵的非奇准则，秩的下界实用估计，特征值实部和虚部的平方和上界估计，所得结果改进了著名的Ｓｃｈｕｒ不等式和ＫＹＦａｎ－Ｈｏｆｆｍａｎ不等式的估计。     

关于伴随矩阵的推广

设Ａ是ｎ阶方阵，定义了Ａ的ｍ重伴随矩阵，并对其性质进行了讨论，得到了一些有趣的结果。     

随机矩阵的一些性质

论述并证明了带行和S的既约广义随机矩阵的性质，双随机矩阵积的性质和P类柜阵的一些性质。     

以矩阵为变量的线性方程组

本文讨论以矩阵为变量的线性方程组，给出相容性的充要条件。     

矩阵求秩的一种算法及实现

给出了求任意m×n阶矩阵秩的一种算法,并能在计算机上实现。     

再谈线性方程组的同解定理

讨论了扩充线性方程组与原线性方程组的同解定理，并利用它证明了扩充矩阵方程与原矩阵方程的同解定理。     

一类矩阵秩的恒等式

利用分块矩阵的初等变换,证明了李书超等于2004年提出的一类矩阵秩的猜想.并把此结论推广到了更一般情形.     

特殊分块矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的秩，得到能写成[A B]和[0 B^A C]的矩阵的秩与子块的秩的不等式以及等式成立的条件，同时得到能写成[AB A]和[B A^A B]的矩阵的秩与子块的秩的等式。     

用同态基本定理证明矩阵秩的一些性质

在高等代数中，许多关于矩阵的秩的性质和证明是比较复杂的，因此提出用世代数中的同志基本定理来证明这些性质，这种方法简洁明了，便于接受。     

稀疏矩阵存储技术

在科学与工程计算领域,有许多问题都最终归结为求解稀疏线性方程组;其稀疏矩阵中只有少量元素不为零,为了节省计算机的存储空间,加快存取运算速度,开展稀疏矩阵存储技术的研究是十分必要的。本文从基本的矩阵存储技术出发,介绍了一些常用的稀疏矩阵存储方法,比较了它们的优缺点,并给出了它们的适用条件。期望能够对稀疏线性方程组的高效求解提供一些有益帮助。