一类有理逼近参数样条

在二次曲面上构造一种带有形状因子的有理参数样条曲线,该样条曲线能逼近所在的控制多边形,且有较好的几何特性,并且可以作升阶和降阶处理。分析其端点性质,便于拼接成光滑曲线,如果选取合适的形状因子,可以使得曲线连接成G2连续。     

一类G2连续分段四次代数样条

三角形中的多项式代数样条可以表示为Bernstein-Bézier(BB)形式,选取其中一类带有4个形状参数和经过三角形2个顶点的四次实代数样条,在给定有序节点或者控制多边形的条件下,每2个相邻节点外加一个控制顶点可以构造一个三角形,这类限定在三角形内的代数曲线段可以构造G2连续的分段插值和逼近曲线.若给定满足条件的形状参数,可以证明其在重心坐标系统中是保单调的,同时还可以调整这些形状参数使它保凸.最后给出了图例分析和三次的比较.     

一类代数空间逼近样条

给定空间不共面的四个有序数据点,可以形成一个四面体。在四面体内,Bernstein-Bézier（B-B）形式定义两类正则实多项式代数曲面片,一类是二次的,一类是三次的。此两类曲面片在四面体内的交集为一条正则曲线段。先固定二次曲面片,并得到其参数形式,然后约简三次曲面片所对应的Bernstein系数,使之为带有三个形状调整的形状因子,其中两个分别代表曲线段端点处的曲率,另外一个作为形状的调整。利用二次曲面的参数形式,由三次曲面片可得到曲线的隐参数约束形式,从而得到曲线的参数形式。对给定的空间点列,利用两个形状因子较容易的拼接出G²-连续的逼近曲线,突破了现行代数曲线生成方法,即空间连续曲线均是通过三角形仿射变换,由B-B形式生成的平面弧拼接而成。     

一类二次曲面上的参数样条

在空间四个有序数据点所确定的一个二次曲面上,可以构造一类特殊的曲线。给出了四个形状控制因子的有理基函数,以及通过研究其参数间的函数关系定义函数集,构造一类样条曲线,使得通过改变控制因子能任意精确地逼近控制多边形。这类样条曲线端点处满足一定切线方向和有界曲率,容易将它们拼接成一条逼近样条曲线。利用这些样条构造出逼近样条曲面,具有更多的自由度。     

等距曲线的三次B样条保形逼近

本文给出了巧妙地运用三顶点共线技巧构造插值三次Ｂ样条保形曲线，并用其逼近等距曲线，本文最后给出了几个实例。     

二次均匀B样条曲线的双圆弧逼近方法*

提出了一种用双圆弧对二次均匀B样条曲线的分段逼近方法。首先,对一条具有n 1个控制顶点的二次均匀B样条曲线按照相邻两节点界定的区间分成n-1段只有三个控制顶点的二次均匀B样条曲线段;然后对每一曲线段构造一条双圆弧进行逼近。所构造的双圆弧满足端点及端点切向量条件,即双圆弧的两个端点分别是所逼近的曲线段的端点,而且双圆弧在两个端点处的切向量是所逼近的曲线段在端点处的单位切向量。同时,双圆弧的连接点是双圆弧连接点轨迹圆与其所逼近的曲线段的交点。这些新构造出来的双圆弧连接在一起构成了一条圆弧样条曲线,即二次均匀B样条曲线的逼近曲线。另外给出了逼近误差分析和实例说明。     

特征点的B样条曲线逼近技术

为了构造逼近稠密有序点列的初始曲线,提出一种B样条曲线逼近的节点配置算法.以初始曲线的曲率极值点和点列的2个端点作为特征点的种子点,利用最小二乘法构造逼近种子点的B样条曲线,并根据B样条曲线段的复杂度进行特征点的细分和节点矢量的更新;重复这一过程,直到逼近的误差小于给定的阈值,实现B样条曲线的精确逼近.实例结果表明,在相同的给定阈值条件下,文中算法可比Park算法、Piegl算法和Li算法减少更多的控制顶点,逼近曲线的控制顶点数等于细分后的特征点数,且逼近曲线的节点分布合理.     

曲率连续的三角B样条曲线与曲面

给出了一种二次参数三角样条曲线,基函数由一组特殊的二次三角多项式组成;曲线的每一段由三个控制顶点生成,不仅具有二次均匀B样条曲线的端点性质,而且具有更好的逼近性、整体达到曲率连续。该曲线(面)可用于曲线曲面的造型。     

用封闭周期域对称B样条基实现均匀样条逼近

针对现有求解均匀样条曲线控制顶点方法巾使用较为复杂的迭代算法的不足,提出均匀样条曲线控制顶点的快速并行算法.首先将基本B样条基平移建立对称B样条基(参数定义域为单位区间);然后利用复函数组{εk(v)=e1kv}的正交性构造封闭周期区域的正交B样条基,得出正交B样条基系数的显式并行计算公式;进一步,利用正交基系数与对称B样条基系数(样条曲线控制顶点)的关系,得出控制顶点的显式并行计算公式.最后以四阶与三阶样条逼近为例分析并行公式的快速算法,用从封闭及任意给定点列构造B样条曲线的2个例子证明了该算法的有效性.实验结果表明,文中算法为简单的B样条基增加了对称性,能够容易地实现快速并行计算,可提高构造大规模样条曲面的效率.     

带形状参数的C~2连续类三次三角样条曲线

传统的三次均匀B样条曲线在给定控制顶点时其形状不能调整,以及不能精确表示圆锥曲线。针对三次均匀B样条曲线的不足,提出了一种带形状参数的C2连续的类三次三角样条曲线。该曲线不仅与三次均匀B样条曲线具有相似的性质,而且在控制顶点保持不变时其形状可通过形状参数的取值进行调整。在适当条件下,类三次三角样条曲线比三次均匀B样条曲线更能逼近于控制多边形,且能精确表示圆、椭圆、抛物线等圆锥曲线。     

带参数的四次Hermite插值样条

为了克服标准三次Hermite插值样条的不足,给出了一种带参数的四次Hermite插值样条,具有标准三次Hermite插值样条完全相同的性质。在插值条件给定时,四次Hermite插值样条的形状可通过改变参数的取值进行调控。通过选择合适的参数,四次Hermite曲线能达到C2连续,而且其整体逼近效果要好于标准三次Hermite插值样条。所提出的新样条进一步丰富了Hermite插值样条理论,也为工程中插值曲线曲面的构造提供了一种新方法。     

三次均匀B样条曲线的扩展

给出四次多项式调配函数,它是三次B样条函数的扩展．基于给出的调配函数,建立一种带形状参数的分段多项式曲线的生成方法．通过改变形状参数的取值,可以调整曲线接近其控制多边形的程度;可以调整曲线从三次均匀B样条曲线的两侧逼近三次均匀B样条曲线．选取不同的形状参数值,可以得到不同位置的C^2连续的曲线,且所给曲线与三次均匀B样条曲线有相同的端点性质．最后给出了曲线设计的计算实例．     

具有多种优点的三角多项式曲线曲面

为了将形状可调性、高阶连续性、自动插值性,以及可以精确表示圆锥曲线曲面等性质融入到一种曲线曲面模型中,构造了一组带2个参数的5次三角多项式调配函数,分析了该调配函数的性质.基于该函数组,分别采用与3次B样条曲线、曲面相同的定义方式,定义了基于4点分段的曲线,并且基于16点分片的曲面,给出了曲线、曲面的性质.曲线、曲面的分段、分片组合结构决定了它们具有B样条方法的局部性.讨论了参数取值的改变对曲线形状的影响;证明了在取特殊参数时曲线可以达到G⁵或G⁷的高阶连续性,而且在具有G⁵连续性时仍然具有形状可调性;通过将2个参数中的一个取为特殊值,即可使曲线、曲面自动插值给定点列、网格点,这种方式不需要反求控制顶点,且插值曲线、曲面中依然存在调整形状的自由度;分别给出了曲线、曲面精确表示椭圆、椭球面的条件.数值实例结果显示了所给曲线曲面表示方法的正确性和有效性.     

保形五次插值参数样条曲线

１．引 言 参数曲线的保形插值一直是计算几何中的一个重要研究课题［１－２］．目前已有的研究结果主要是分段插值,给每个参数曲线段以充分的限制使整个插值曲线达到Ｃ２（或Ｇ２－）连续并且具有保形性［３－８］．这种插值方法要么计算复杂要么曲线的形状无法作局部修改,使其在应用上受到限制． 对于一组有序的型值点列Ｐｉ（ｉ＝０,１,…,ｎ）,在第二、三节,本文充分利用相邻四个型值点的几何信息,由其构造一段参数曲线,所有这些参数曲线段组成一条样条曲线．这种样条曲线具有两个重要的性质：凸包性和 Ｃ２连续性．在第四节,…     

五阶与六阶三角样条曲线

利用三角函数构造了两个含参数的函数组,它们分别由6 个、7 个函数组成,分析了这两个函数组的性质。由这两组函数定义了两种新的样条曲线,它们分别具有与五次、六次B 样条曲线相同的结构。新曲线在继承B 样条曲线基本性质的同时,又具备了一些新的优点。例如,在等距节点下,新曲线在节点处均可以达到C5 连续,而且在不改变控制顶点的情况下,新曲线的形状均可以通过改变形状参数的值进行调整。另外,给出了使新曲线插值于控制多边形首末端点的方法,以及构造闭曲线的方法等,文中的图例说明了新方法的正确性和可行性。     

两种带形状参数的曲线

本文构造了两种带参数的三角样条基,基于这两组基定义了两种三角样条曲线。与二次B样条曲线类似,这两种曲线的每一段都由相继的三个控制顶点生成。这两种曲线具有许多与二次B样条曲线类似的性质,但它们的连续性都比二次B样条曲线更好。对于等距节点,在一般情况下,这两种曲线都整体C3连续,在特殊条件下,它们都可达C5连续。两种曲线中的形状参数均有明确的几何意义,参数越大,曲线越靠近控制多边形。另外,当形状参数满足一定条件时,这两种曲线都具有比二次B样条曲线更好的对控制多边形的逼近性。运用张量积方法,将这两种曲线推广后所得到的曲面也具有较好的连续性。     

一种类四次三角样条曲线

针对B样条曲线相对于其控制多边形形状固定,以及不能描述除抛物线以外的圆锥曲线的不足进行改进。将形状参数与三角函数进行有机结合,构造了一组含参数的三角基,由这组基定义了带形状参数的三角样条曲线,其每一段由相继的5个控制顶点生成。新曲线在继承B样条曲线主要优点的同时,既具有形状可调性,又能精确表示椭圆,对于等距节点,在一般情况下曲线C³连续,当形状参数取特殊值时曲线可达C⁵连续。采用张量积方法,将曲线推广后所得到的曲面具有与曲线类似的性质,给出了用曲面表示椭球面的方法。