Un metodo iterativo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche

Sommario In questa nota, mediante una successione di metodi che generalizzano quello di Laguerre ([4]), costruiamo un metodo non stazionario per la risoluzione di equazioni algebriche. Applichiamo poi il metodo al calcolo degli autovalori di matrici in forma di Hessemberg. Si ottengono risultati rilevanti, in particolare per zeri complessi e per autovalori mal condizionati.

---

In this paper, by means of a class of methods that generalise the Laguerre’s method, we describe a nonstationary iterative method to solve polynomial equations. We then apply this method to the matrix eigen-value problem. We have numerical appreciable results expecially for complex roots and ill-conditioned eigenvalues.

---

---

Lavoro svolto nell’ambito delle attività del G.N.I.M.     

Un metodo per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Riassunto Si espone un metodo non iterativo per la risoluzione numerica del primo problema al contorno per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico e si riportano i risultati di alcune elaborazioni numeriche.

---

A non-iterative method is given to solve numerically the first value boundary problem for the elliptic equations. Some numerical examples are referred.

     

Equivalenza tra grammatiche,sistemi di equazioni in variabili di linguaggio e serie formali

Sommario Scopo di questo lavoro è ricercare condizioni di equivalenza di tre diversi modi per definire un lingnaggio: una grammatica non contestuale, un sistema di equazioni in variabili di linguaggio, un sistema di equazioni in variabili serie formali. Per raggiungere questo obbiettivo si introduce il ben noto concetto di serie formale; inoltre si dimostra l'esistenza e l'unicità della soluzione di un sistema di equazioni mediante il classico teorema del punto unito di Banach.

---

The purpose of this paper is to investigate conditions for the equivalence of three different manners of defining a language: a context-free grammar, a system of equations whose variables are languages, a system of equations whose variables are formal sums. In order to achieve this goal, the well-known concept of formal sum is introduced; moreover the existence and uniqueness of the solution of a system of equations is proved by means of Banach's classical fixed-point theorem.

     

Un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie

Sommario Utilizzando formule di quadratura di Newton-Cotes di tipo estrapolatorio, si propone un metodo numerico per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie. Il metodo è antopartente e se ne dimostra la stabilità in un caso particolare. Si riportano esempi paragonando il metodo proposto con i metodi di Milne e di Runge-Kutta.

---

By making use of extrapolation Newton-Cotes formulas a numerical method for integrating ordinary differential equation is presented. The method is self-starting and stability is demonstrated in a particular case. In order to compare this method and those of Milne and Runge-Kutta some example are presented.

---

---

Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Una variazione del metodo di Halley

Sommario In questa nota si studia una classe di metodi iterativi, per la ricerca delle radici di una equazione, che include il metodo di Halley. Si prova che ogni metodo della classe è del terzo ordine e si calcola la costante di errore per ognuno di essi. Si individuano poi quei metodi della classe che sono globalmente convergenti per funzioni genus zero o uno. Infine is trova un metodo che ha una costante in valore assoluto più piccola di quella di Halley. Tale metodo è di tipo razionale e involge le stesse derivate di quello di Halley.

---

We study a class of iterative methods devoted to the search of the roots of an equation. The class includes Halley's method. We prove each method belonging to the class to be of third order and for it evaluate the error constant. Among such methods we identify the ones which are globally convergent for zero or one genus functions. In particulary we find a method which has an error constant whose absolute value is less than the Halley's one. This is a rational one-point method which involves the same derivatives as Halley's method.

---

---

Lavoro svolto nell'ambito del gruppo G.N.I.M.     

Un procedimento di interpolazione per una funzione realef(P) di cui è assegnata la restrizione ad un generico insieme finito di punti

Riassunto Viene dato dapprima un procedimento di interpolazione (basato sulle formule di Taylor) per funzioni di cui sono noti i valori in un generico insieme finito di punti; viene poi indicato un affinamento del metodo stesso. Nell'ipotesi che le coordinate dei punti siano date in on sistema di riferimento generale curvilineo, si indica come possano valutarsi sia le vere grandezze delle componenti controvarianti del vettore gradiente sia il laplaciano della funzione.

---

Summary A procedure of interpolation is given for a function of two variables know on a finite set of points. The procedure is used in particular in the case where the coordinates of the points are given in a curvilineas system of reference.

     

Metodo di euler e ricerca delle radici di una equazione

Sommario In questa nota il problema della ricerca di radici di una equazione viene risolto mediante l'integrazione con il metodo di Eulero di una equazione differenziale. Lo scopo è quello di aumentare il dominio di convergenza dei procedimenti iterativi fino a farlo coincidere col dominio di asintotica stabilità della radice per l'equazione diflerenziale usata. Si ottengono diversi algoritmi, alcuni dei quali non noti in letteratura. Si dà anche una classe di funzioni, le funzioni intere di genus 0,1, per la quele è garantita la convergenza ad una radice prefissata.

---

In this paper the problem of the research of the roots of an equation is resolved by means of the integration of a differential equation with Euler's method. The aim is to increase the convergence region of the iterative process until it coincides with the region of the asymptotical stability of the roots for the differential equations used. Different algrothms are obtained, some of which are unknown in the literature. Also a class of functions, the entire functions of 0,1 genus is found for which is guaranteed the convergence on a pre-established root.

     

Generalizzazione del metodo di Laguerre

Sommario Nella seguente nota costruiamo una classe di metodi di ordine dispari comunque elevato per il calcolo delle radici di un polinomioP(x) generalizzando il metodo di Laguerre e, come per questo, dimostriamo la globale convergenza per radici reali. Il metodo è stato provato per polinomi con radici complesse e, al pari di Laguerre, risulta usualmente convergente.

---

The following paper concerns the construction of a class of methods of every high odd order for the evaluation of the roots of a polynomial. Such methods are a generalization of the Laguerre“s method and for them, as for the Laguerre“s method, we proof the convergence for real roots. The method has been proved for polynomials with complex roots and, as the Laguerre“s method, it results usually convergent.

---

---

Lavoro svolto nell“ambito della attività del G. N. I. M. e dell“Istituto per le applicazioni del Calcolo.     

Sulla convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari inerenti al primo problema al contorno per equazioni di tipo ellittico

Sommario Si studiano le condizioni di convergenza di procedimenti iterativi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari che hanno origine dalla discretizzazione di problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali lineari di tipo ellittico.

---

In this paper there are examined some convergence criteria of iterative processes arising from the discretization of the boundary value problems for linear elliptic equations. A numerical example is also given.

     

Criteri di convergenza per il metodo iterativo di Jacobi nella risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

Sommario Introducendo un opportuno spazio metrico ed utilizzando il metodo delle contrazioni, si stabilisce nu criterio di convergenza per il procedimento iterativo di Jacobi, nella risoluzione di sistemi liueari ottenuti discretizzando problemi di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. Si prendono, poi, in esame domini reticolari di particolare tipo e per ciascun caso si migliora il criterio di convergenza Si riportano, infine, tabelle utili per una pratica applicazione dei criteri.

---

By making reconrse to the central fixed point theorem of the functional analysis a criterion is found for the convergence of the Jacobi iterative method to solve linear sistems. A series of cases is given, where the criterion is improved. Tables for a practical application of the criteria are given.

     

Minimizzazione di funzioni convesse con vincoli lineari di uguaglianza

Sommario Dato il problema è presentato un metodo di ricerca della soluzione (che è una generalizzazione del metodo di Rosen) a convergenza quadratica. Sef(x) è una forma quadratica, tale metodo consente di determinare il minimo dif (x) in una sola iterazione attraverso la soluzione di un sistema lineare di (n−p) equazioni.

---

This paper deals with the problem This method covers constrained minimization problems and is a generalization of the Newton’s method, preserving its quadratic convergence property in a (n−p) dimensional manifold. The algorithm given hereinafter is applicable to problems with inequality linear constraints.

     

Un metodo alle direzioni alternate esplicito per la risoluzione numerica delle equazioni della diffusione

Sommario Si presenta un metodo esplicito alle direzioni alternate per la risoluzione numerica delle equazioni a multigruppi della diffusione neutronica, dipendenti dal tempo, in domini bidimensionali. Questo metodo ha le proprietà di avere un errore locale dell'ordineO (h ³) (doveh è il passo temporale) edi essere incondizionatamente stabile. L'efficacia di questo metodo è stata messa in evidenza attraverso alcune esperienze pratiche.

---

An explicit alternating direction method is presented for the numerical solution of the time dependent multigroup neutron diffusion equations in bidimensional domains. This method has the properties to have a truncation error that behaves likeO (h ³) (whereh is the time step size) and to be unconditionally stable. The effectiveness of this method has been verified in many pratical problems.

     

Una famiglia di metodi iterativi per ogni ordine superiore al secondo

Sommario Per la risoluzione numerica di equazioni sono noti molti metodi iterativi: in questo lavoro, per ogni intero positivok si costruisce un metodo di ordinek+2 per radici semplici. Nel caso di polinomi a radici tutte reali, i metodi relativi ak dispari sono convergenti qualunque sia il punto iniziale.

---

Many iterative methods are known for the numerical solution of equations: in this work, for each positive integralk we construct a method of orderk+2 for simple roots. In the case of polynomials with all real roots, the relative methods with oddk are convergent whatever the initial point is.

---

---

Lavoro svolto nell'ambito delle attività del G.N.A.F.A. e dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo.     

Su una classe di formule espliciteA-stabili per l'integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie

Sommario Si dimostra che ogni formula lineare ak passiA-stabile definisce un metodo esplicito, in una particolare classe di metodi lineari ak passiA-stabili e a coefficienti variabili. A questa classe di metodi viene estesa la teoria della stabilità e convergenza dei metodi tradizionali a coefficienti costanti. Si applicano i risultati per ricavare alcune formule espliciteA-stabili che, impiegate insieme a opportuni correttori, danno luogo a metodi di predizione e correzioneA-stabili.

---

EachA-stable lineark-step method is shown to define an explicit one in a class ofA-stable lineark-step, with variable coefficients, methods. For this class of methods an outline of stability and convergence theory is given. Application is made in derivingA-stable explicit formulae, which are useful to performA-stable predictor-corrector methods.

---

---

Lavoro esegnito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Sull’applicazione della programmazione dinamica del Bellman ad un problema di prenotazione di posti

Sunto Considerato che su un mezzo di trasporto (aereo, treno, ecc.) si possa accedere da due o più stazioni solamente previa prenotazione e che le stazioni non siano in comunicazione fra loro,D. Fürst ha studiato e determinato, da diversi punti di vista, la ripartizione preventiva ottima del numero totale dei posti fra le varie stazioni. In questa Nota si affronta il problema, risolvendolo con il metodo della programmazione dinamica diR. Bellman, che ne fornisce una soluzione del tutto generale, permettendo tra l’altro di superare all’occorrenza anche alcune ipotesi restrittive, come quella che le stazioni non siano in comunicazione fra loro. Il metodo, risolvendo il problema in forma parametrica, ne fornisce una soluzione dinamica, perchè dà la ripartizione ottima non solo del numero totale dei posti disponibili, ma anche di un numero di posti qualsiasi, ovviamente inferiore a quello massimo. Questa fondamentale proprietà del metodo permette di ridistribuire, senza ulteriori calcoli, in ogni momento ed in maniera sempre ottima, il numero dei posti eventualmente non utilizzati; numero che può essere rilevato periodicamente, stabilendo la comunicazione fra le stazioni allo scadere di convenienti intervalli di tempo, oppure appena una, almeno, delle stazioni ha esanrito l’aliquota dei posti assegnatile. Un breve richiamo del metodo della programmazione dinamica, nell’impostazione indicata daM. Volpato, precede lo studio del problema.

---

Considering that it is possible to get on a means of transportation (aircraft, train, etc.) from two or more stations only upon booking and that there is no communication from one station to another,D. Fürst studied and resolved, from various points of view, the optimum preventive allotment of the total number of seats among the stations. In this paper the A. deals with the problem solving it byR. Bellman’s method of dynamic programming, that supplies a general solution, permitting among other things to get over, if necessary, even restrictive hypotheses, such as when stations have no communication with one another. The method, solving the problem in parametric form, supplies a dynamic solution, because it gives the optimum allotment not only of the total number of available seats, but also of any number of seats, obvionsly lower than the maximum. This fundamental property of the method permits to allot again, without further calculi, at any moment and always in the optimum way, the number of non utilized seats; this number can be learned periodically, by fixing the communication among stations at convenient intervals of time, or as soon as one, at least, of the stations has exhausted its aliquot of seats. A concise recall of the dynamic programming method, in the formulation done byM. Volpato, precedes the study of the problem.

---

---

Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo di Ricerca n. 38 del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l’anno accademico 1963-64.     

Su alcuni sistemi di complementarità connessi a disequazioni variazionali di tipo ellittico

Riassunto In [7] sono stati costruiti alcuni sistemi di disequazioni lineari che approssimano disequazioni variazionali di tipo ellittico originate dal problema della proiezione delle funzioni degli spazi di SobolevW ₀ ^{1, 1} , (Ω) sul cono delle funzioni non negative. Sistemi di questo tipo ottenuti: dal problema della minimizzazione di forme quadratiche in preseuza di vincoli lineari, in spazi di dimensione finita; da problemi della teoria dei giochi; da questioni di meccanica, sono stati di recente studiati diffusamente ([5], [10], [15]) ed hanno assunto la denominazione disistemi di complementarità. Nel presente lavoro si espone un algoritmo, idoneo al calcolo della soluzione dei predetti sistemi, basato sul metodo del cardine di Jordan. Questo algoritmo sfrutta le peculiari proprietà della matrice dei coefficieuti del sistema e consente di pervenire al calcolo della soluzione cou un numero finito di iterazioni del metodo del cardine. Nel lavoro sono esposti alcuni dei risultati numerici ottenuti in applicazioni concrete da un gruppo di ricercatori, condensati in tabelle numeriche, in grafici e tavole che consentono di apprezzare quantitativamente e qualitivamente la soluzione approssimata dell'originario problema di proiezione. In tal modo si complete con lo sviluppo della parte numerica, la trattazione teorica dei problemi variazionali, già esposti in [7].

---

We refer to some variational inequalities which have been studied in [7] and to the complementarity systems obtained by a suitable discretiziation. Such systems, derived from minimization problems in finite-dimensional spaces, from the theory of games and from mechanics, have been already studied in [5], [10], [15]. We explain an algorithm which is based on the Jordan pivot method for linear programming and on some peculiar properties of the coefficients matrix. Such an algorithm gives the solution by performing a finite number of iterations. A working equipe has obtained some numerical results in concrete applications. We report such results in order to estimate the behaviour of the approximate solution.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito del G. N. A. F. A. del C. N. R. nell'anno 1971.     

Analisi numerica di una disequazione variazionale legata al moto di un fluido attorno ad un ostacolo

Riassunto In un loro lavoro Brezis e Stampacchia ([1]) hanno dimostrato che il moto stazionario e irrotazionale di un fluido incomprimibile attorno ad un profilo alare si può ricondurre allo studio nel piano odografo della soluzione di una disequazione variazionale. Questo lavoro è dedicato allo studio numerico di tale disequazione variazionale col metodo degli elementi finiti. Particolare attenzione è rivolta alla valutazione dell'errore che si commette nell'approssimare la disequazione variazionale con un'altra la cui soluzione è definita su un dominio limitato; alla maggiorazione dell'errore di discretizzazione, e al delicato problema di riportare la soluzione dal piano odografo al piano fisico.

---

In this paper we study the variational inequality which describes the steady flow of an incompressible fluid past a given profile from the numerical point of view. Use is made of the finite element technique and some error estimates are given.

---

---

Questo lavoro, estratto dalla tesi di laurea (Rel. Prof A. Laratta), è stato eseguito nell'ambito del G. N. I. M. del C. N. R.     

Sulla soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno

Sommrio Vengono presentati due metodi di calcolo per la soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno. Tali metodi, adottando opportuni sviluppi in serie di potenze consentono la determinazione delle componenti incognite del vettore-C delle condizioni iniziali con una maggiore precisione, ed una notevole riduzione del tempo di calcolo rispetto al procedimento classico che fa uso di metodi di integrazione numerica passo-passo. Tali vantaggi vengono messi in evidenza in un esempio di calcolo in cui si confrontano i risultati ottenuti con i diversi metodi di soluzione.

---

Two numerical methods for the solution of a linear differential system with boundary conditions are presented. These methods, through suitable developments in power series, make it possible to determine the unknown components of the vector of the initial conditions with greater accuracy and considerable reduction in calculation time compared with the classical methods using step by step numerical integration. Such calculation techniques are, furthemore, particulary useful where an analysis is required of the behaviour of the solution where the coefficient matrix or the vector of forcing function are varied. These advantages are brought out in an example in which the results obtained by the various methods are compared.

     

Algoritmo risolutivo per una classe particolare di problemi di minimo vincolato

Sommario Nel presente lavoro viene descritto un algoritmo risolutivo per una classe particolare di problemi di minimo vincolato, in cui la funzione-obiettivo è di grado qualsiasi ed a variabili separabili, mentre i vincoli sono lineari. Viene poi dimostrato, facendo ricorso alle condizioni di Kuhn-Tucker, che il metodo descritto consente effettivamente di risolvere il problema proposto. Infine si constata, per mezzo di un'esemplificazione, la convenienza di utilizzo dell'algoritmo, in termini di tempo di calcolo per un computer IBM 370/70.

---

In this paper an algorithm is described that can be used to solve a special class of problems of constrained minimum, in which the objective-function is of any degree and with separable variables, while the constraints are linear. Then, resorting to the Kuhn-Tucker conditions, it is shown that the method really enables us to solve the given class of problems. Finally, by means of an example, it is possible to remark the convenience of making use of the algorithm, considering the processing time spent by an IBM 370/70 computer.

     

Sulla computazione di funzioni ricorsive

Sommario In questo articolo introduciamo un Calcolo Funzionale per discutere il problema della computazione delle funzioui definite ricorsivamente. Come è ben noto dalla letteratura, la computazione di una funzione ricorsiva può dare differenti valori, a seconda che sia eseguita con la leftmost-outermost rule, o con la leftmost-innermost rule. Nel calcolo precedentemente menzionato diamo una condizione sufficiente perché la computazione di una funzione dipenda dalla regola di computazione utilizzata.

---

In this paper a Function Calculus is introduced in order to discuss the problem of computing recursively defined functions. As it is well known from literature, the computation of a recursive function may give differents values whether executed with the lefmost-outermost rule or with the leftmost-innermost rule. In the above mentioned calculus we give a sufficient condition in order that the computation of a function depends on the computational rule.

---

---

La ricerca è stata effettuata nell'ambito del Contratto N. 71.02104/75 del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Progetto Speciale per l'Informatica).