高阶数值流形方法在结构静力分析中的应用研究

高阶流形法的主要难点在于,由于覆盖函数项数的显著增加,单元矩阵公式繁琐,其程序代码也大幅增加,而且单纯形积分要求被积函数能够表示成多项式,用手工推导和编程很难实现.针对此问题,提出应用Mathematica软件自动推导公式和生成程序代码的简便方法,并应用此项技术开发了高阶流形法的二维和三维静力分析程序,同时给出多个典型算例.研究结果表明:高阶流形法的确能提高位移和应力的计算精度,也具备反映应力集中和应力奇异性的能力,其计算精度受到覆盖函数的阶次和数学网格划分的双重影响.     

基于矩阵特殊运算的高阶流形单元分析

 在数值流形法的单元分析中广泛采用单纯形积分进行精确积分,然而在高阶数值流形法中采用单纯形积分并不容易,因为要求被积函数为显式多项式函数。采用Kronecker积、Hadamard积和拉直等矩阵特殊运算进行高阶流形单元分析,使得单元矩阵的推导过程简单且被积函数易表示为多项式形式。在此基础上,开发了三维弹性连续体静力分析的高阶数值流形法程序。通过实例验证了公式和程序的正确性。     

高阶数值流形方法的速度公式

高阶数值流形方法可以显著提高结构计算精度,但目前在涉及大位移的动力分析中往往得到精度很差、甚至不正确的速度结果。基于平面三角形数学网格和一阶多项式覆盖函数,通过一个刚体杆件旋转算例探讨其中的原因,得出必须考虑构形坐标变化对速度的影响,并提出高阶流形法的3种速度处理方法及相应的高阶速度公式。该方法对一些在结点处增加广义自由度的类似方法(如广义有限元)的几何非线性问题分析也具有一定的参考价值。     

欧拉-伯努利梁单元刚度矩阵推导

为明确欧拉－伯努利梁单元刚度矩阵推导过程，用统一的坐标系统和参数正方向规定，包括荷载、位移、内力和应力等，对等截面梁详细介绍了不同受力模式包括伸缩、扭转和弯曲问题的拉格朗日形函数和厄米特形函数，系统给出了刚度矩阵推导所需的基本方程包括几何方程、本构方程和平衡方程，并最终根据虚功原理得到单元刚度矩阵。这不仅有助于对单元刚度矩阵以及推导过程的理解，还可为参阅有限元专业书籍提供帮助。     

采用独立覆盖流形法分析精确几何描述的曲壳

在前期研究的直梁和曲梁分析新方法的基础上,提出了基于独立覆盖流形法的曲壳分析方法。采用实体分析模式,只需使多项式覆盖函数中的某些项不参与计算,就能准确模拟三维平板和曲壳的Reissner-Mindlin假设,从而避免了推导曲壳控制方程及相应数值计算公式的复杂性。借助随中面参数方程变化的局部坐标系,并计算该坐标系的局部坐标和方向余弦关于整体坐标的导数,就能实现精确几何描述下的曲壳分析。给出了具体计算过程,包括刚度矩阵积分方式,以及相关的曲壳几何计算公式。通过球面壳和平板算例,验证了方法的收敛性。最后,结合前期的二维直梁和曲梁研究,以及本文的三维曲壳和平板研究,总结了基于独立覆盖流形法的梁板壳分析新方法的特点和优势,特别是彻底解决了自锁问题。     

数值流形法独立覆盖区域的一种自动选取方法

部分重叠覆盖的数值流形法是一种以独立覆盖为主的分析方式。为了在常规尺寸单元的数学网格中自动选取独立覆盖区域,应用图的着色方法将数学网格的单元分为若干个独立集。在此基础上,以独立覆盖区域最多为原则,选择用于定义独立覆盖的单元(其所有结点覆盖合并为一个覆盖),其余单元作为重叠区域以保持连续性,不属于独立覆盖单元的结点作为常规的结点覆盖。通过算例,揭示了重叠覆盖间的线性相关仅存在于数学网格边界上的结点覆盖,覆盖合并可以减少整体刚度矩阵零特征值的数目,甚至完全避免线性相关。     

独立覆盖流形法的本质边界条件施加方法

目前,数值流形方法、无网格法等新的数值计算方法存在本质边界条件不易严格施加的问题。针对笔者前期提出的独立覆盖流形法,通过一个悬臂梁的例子,系统地分析了本质边界条件施加问题。采用多项式覆盖函数,提出了改进边界覆盖函数和直接设定独立覆盖函数2种方法,不仅严格满足边界条件,而且能保证边界附近的近似函数逼近真实解。这2种方法避免了常用罚函数法中的罚数取值对计算结果和方程性态的影响问题,而且只需令部分自由度不参与计算就能实现,操作简单。通过设置覆盖函数来施加边界条件的方式可供其他新方法借鉴。     

广义有限元的裂缝应力强度因子直接求解法

受常规有限元采用多项式位移逼近空间和网格依赖性的制约,传统有限元法用于结构裂缝分析难以获得较高的计算精度,且无法直接获得裂缝应力强度因子SFI.广义有限元逼近空间由单位分解和局部覆盖函数构成,局部覆盖函数不依赖于网格,可以根据待求问题的具体需要来定义.利用广义有限元逼近空间的这一特性,将结构裂缝尖端位移场函数的解析表达式和高阶多项式作为裂尖局部覆盖函数,推导和建立了一种广义平面裂缝单元,该单元的结点广义自由度中直接包含了裂缝应力强度因子.算例分析表明,与常规有限元相比,该单元用于SIF求解时不仅具有更高的精度,而且可以直接获得SFI,不需要再做J积分后处理工作.     

梁动力分析的集中质量矩阵严格生成方法

在对梁振动进行有限元分析时,现有的质量矩阵对角化技术忽略了转角自由度所对应的质量,导致生成的集中质量矩阵失去了其正定性,这对时域分析以及频域分析等都造成了相当大的不便。采用数值流形方法,首先在单位分解法框架下,从Hermite插值中取回单位分解和局部近似;其次通过流形上的积分来求得集中质量矩阵;最后再回到单元的集中质量矩阵。相对于一致质量矩阵的计算,集中质量矩阵的计算精度有了一定的提高,特别是对于求解高阶模态时的速度提升尤为显著。该方法有着严格的数学基础和力学基础,为二维乃至三维结构的动力计算提供了新思路。     

用数值流形法分析温度场及温度应力

 应用有限元法进行大体积混凝土结构的温度应力仿真分析时,为获得满意的计算精度,往往需要剖分比较密集的网格,计算工作量大。鉴于数值流形法具有自适应分析和网格剖分方便等优点,推导了基于高阶流形法的温度场及温度应力计算公式,公式中的被积函数均是多项式基底的乘积,可以直接采用单纯形积分法进行精确积分。在此基础上,开发了相应计算程序,为大体积混凝土结构的温度应力仿真计算开辟了新的途径。算例表明,在粗网格情况下,通过提高覆盖函数的阶数,数值流形法可迅速提高计算精度。     

基于泰勒展式的混合阶次流形方法

对于流形方法,其高阶位移场函数的构造大多是采用完全多项式函数,但这种处理使得升阶后的各个广义自由度完全丧失物理意义。为避免出现上述问题,采用泰勒展开法,将覆盖位移函数看作是某点的泰勒展开。基于此泰勒展式,建立了位移函数与节点位移、应变和转角之间的函数关系,使得升阶后的各个广义自由度都具有明确的物理意义。选取矩形格子作为数学网格,减少了物理片的生成,使前后处理变得更简单;在结构求解区域使用混合阶次的覆盖位移场函数来提高解题效率,能实现解析解与数值解的完美结合;采用改进的罚函数与广义节点法相结合的方式来处理边界条件,严格符合边界条件的物理意义;最后结合数值算例验证了该方法的高效性,与此同时数值解精度也得到了极大提高。     

坝–基动力相互作用的高阶时域模型

采用有限元法模拟近场有限域、采用基于比例边界有限元法的高阶透射边界模拟远场无限域，建立了一种新颖的坝–基动力相互作用的时域模型。高阶透射边界是采用改进的连分式法求解无限域动力刚度矩阵而建立的，在时域里表示为一阶常微分方程组。它能精确满足无限远处的辐射阻尼，具有全局精确、时间局部和收敛速度快等优点。将近场有限域和远场无限域通过交界面上的相互作用力向量进行耦合，通过联立有限域和无限域的运动方程，建立了坝–基耦合系统的标准动力学方程，采用直接积分法进行求解。该耦合系统的稳定性取决于其系数矩阵的广义特征值问题；如果出现不稳定情况，采用移谱法以消除虚假模态。两个算例结果表明该算法在时域里具有良好的计算精度和效率。     

动水压力波高阶双渐近时域平面透射边界Ⅱ:计算性能

为了准确模拟动水压力波在半无限水库中传播引起的辐射阻尼，本文基于比例边界有限单元法构造了高阶双渐近时域平面透射边界。首先将描述半无限水库的连续波动方程转化为半离散的比例边界有限单元方程描述，然后通过特征模态变换将以动力刚度矩阵形式表达的控制方程解耦，获得了模态动力刚度的连分式解答，再通过引入辅助变量将透射边界在频域的动力刚度表达等效为一个高阶矩阵方程，对其施加傅立叶逆变换后即得到时域透射边界条件。频域模态动力刚度的计算结果表明：该双渐近透射边界可以在全频范围内迅速的逼近准确解，表现出优良的收敛性能。     

基于矩形独立覆盖初步实现结构静力分析的自动计算

采用前期研究的基于矩形独立覆盖的新型数值流形法,提出结构线弹性静力分析的自动计算方法,包括自动的前处理、自适应分析等。根据独立覆盖的特点提出几个后验误差指标:独立覆盖之间条形连接区域的应变连续性指标;边界应力指标和独立覆盖的高阶误差指标。利用新方法的h型网格加密及p型升阶的方便性,选择一种路径尝试h-p型的混合自适应,其中,对于矩形独立覆盖采用简单的二分法实现覆盖加密。通过几个二维算例验证了新方法实现自动计算的可行性,只需人工输入结构外形、材料参数和边界条件,其它工作完全交由计算机完成,最终得到满足一定精度的计算结果。     

MODELING UNCONFINED SEEPAGE FLOW USING THREE- DIMENSIONAL NUMERICAL MANIFOLD METHOD

Three-dimensional numerical manifold method for unconfined seepage analysis is proposed in this article. By constructing hydraulic potential functions of the manifold element, the element conductivity matrix and the global simultaneous equations for unconfined seepage analysis are derived in detail. The algorithm of locating the free surface and the formula for seepage forces are also given. Three-dimensional manifold method employs the tetrahedral mathematical meshes to cover the whole material volume. In the iterative process for locating the free surface, the manifold method can achieve an accurate seepage analysis of the saturated domain below the free surface with mathematical meshes unchanged. Since the shape of manifold elements can be arbitrary, the disadvantage of changing the permeability of transitional elements cut by the free surface in the conventional Finite Element Method (FEM) is removed, and the accuracy of locating the free surface can be ensured. Furthermore, the seepage force acting on the transitional elements can be accurately calculated by the simplex integration. Numerical results for a typical example demonstrate the validity of the proposed method.     

动水压力波高阶双渐近时域平面透射边界I:理论推导

为了准确模拟地震引起的动水压力波在半无限水库中传播引起的辐射阻尼,基于比例边界有限单元法构造了高阶双渐近时域平面透射边界。首先将描述半无限水库的连续波动方程转化为半离散的比例边界有限单元方程,然后通过特征模态变换将以动力刚度矩阵形式表达的控制方程解耦,获得模态动力刚度的连分式解答,再引入辅助变量将透射边界在频域的动力刚度表达等效为一个高阶矩阵方程,对其施加傅立叶逆变换后即得到时域透射边界条件。频域模态动力刚度的计算结果表明：该双渐近透射边界可以在全频范围内迅速逼近准确解,具有良好的收敛性能。