Analysis of currents and an electromagnetic torque in steady states of induction squirrel-cage motors with asymmetric stator windings

Contents The paper presents a mathematical model of an asynchronous squirrel-cage motor with arbitrarily asymmetrical stator windings. The structure of the mathematical model equations is analysed in detail using the assumption about the symmetry of the rotor cage. A particular arrangement of the mutual inductance matrix of stator windings and rotor cage meshes is shown. As a result of applying of a special analysis method, the frequency spectrum of currents and electromagnetic torque in steady state of a squirrel-cage motor with asymmetrical stator windings is determined. Relationships are given which allow to calculate the currents and the electromagnetic torque quantitatively.—An analysis of a short-circuit of an elementary coil in one of the phases of an otherwise fully symmetrical motor is given as an application example.

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Analyse der Ströme und des Moments einer stationär betriebenen Käfigläfer-Asynchronmaschine mit unsymmetrischen Ständerspulen

Übersicht In dem Aufsatz wird das mathematische Modell einer Käfigläufer-Asynchronmaschine mit beliebig unsymmetrischen Ständerspulen vorgestellt. Die Struktur der Gleichungen des mathematischen Modells wird unter Ausnutzung der Symmetrie des Rotorkäfigs eingehend untersucht. Der besondere Aufbau der Matrix der Gegeninduktivitäten zwischen den Ständerspulen und den Maschen des Rotorkäfigs wird dargestellt. Als Ergebnis der Anwendung einer speziellen Methode der Analyse wurden die spektralen Zusammensetzungen der Ströme und des Moments einer stationär betriebenen Maschine mit den unsymmetrischen Ständerspulen bestimmt. Die Zusammenhänge, die eine quantitative Berechnung der Ströme und des Moments ermöglichen, wurden angegeben.—Eine Analyse der Maschine, die eine kurzgeschlossene Spule in einem Ständerstrang besitzt und die sonst symmetrisch ist, wurde als Anwendungsbeispiel dargestellt.

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List of symbols A transformation matrix - C matrix of constraints - I unit matrix - i _r vector of the meshes currents in the rotor cage - i _s vector of currents of the elementary stator coils - i _sc vector of currents of the stator after used the matrix of constraints - L _s ,L _r matrices of leakage inductances of the elementary stator coils and of the rotor cage meshes - L _s ^m ,L _r ^m matrices of self and mutual inductances of elementary stator coils and of rotor cage meshes following from main flux - L _ss ,L _se matrices of slot and of end-connections leakage inductances of the elementary stator coils - M _sr () matrix of mutual inductances of elementary stator coils and rotor cage meshes - R _r matrix of resistances of rotor cage meshes - R _s matrix of elementary stator coils resistances - S, T transformation matrices - U _s vector of voltages of the elementary stator coils - b _r ,b _s effective width of rotor and of stator slot mouth - c _rv coefficient of rotor slot pitch - c _sv coefficient of stator slot pitch accounting for the trapezoidal form of a m.m.f. - g _v coefficient of rotor slot skew - J moment of inertia - k _rv span factor of cage mesh - k _svi span factor of elementary stator coil - k _cs ,k _cr Carter coefficients of stator and rotor - l equivalent length of the motor iron - M number of elementary stator coils - N number of rotor slots - r mean radius of the air-gap - R _b resistance of a cage bar - R _e resistance of end-ring segment of the cage - T _e electromagnetic torque - T _m mechanical load torque - x _s rotor slot skewness angle - y _i pitch of a coil - z _i ,z _j numbers of turns in a coil - _i position angle of the center of a coil - , value and equivalent value of the air-gap - magnetic conductance - ₀ initial rotor position angle - angular velocity - ₀ pulsation of the voltage - () ^T transposition of vector or matrix - (*) conjugate value     

On a mathematical model of squirrel-cage induction motors

Contents This paper presents a mathematical model of 3-phase squirrel-cage induction motor accounting for a very high number of space harmonics in which, due to application of a special transformation of voltages and currents, a differential equation system with constant coefficients is obtained. The number of space harmonics is so high that it is possible to perform a direct computation of the alternating component of the electromagnetic torque which decides on the parasitic synchronous torque.An application example of this model for the analysis of steady and dynamic states of a concrete squirrel-cage motor is given.

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Über ein mathematisches Modell des Käfigläufermotors

Übersicht Im Artikel wird ein mathematisches Modell dreiphasiger Käfigläufermotoren mit Berücksichtigung einer großen Zahl räumlicher Harmonischer vorgestellt. Unter Anwendung einer speziellen Transformation der elektrischen Spannungen und Ströme erhält man ein Gleichungssystem mit konstanten Koeffizienten Die Zahl der räumlichen Harmonischen ist so groß, daß die Berechnung der Wechselkomponenten des elektromagnetischen Moments und damit des parasitären synchronen Moments möglich ist. Die Anwendung des mathematischen Modells wird anhand eines Beispiels für dynamischen und statischen Betrieb vorgestellt.

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List of symbols and abbreviations N number of bars of the rotor cage - L ₈ total self inductance of stator phase winding - M ₈ mutual inductance of stator windings - R _rg,L _rg resistance and leakage inductance of a rotor end ring segment-respectively - R _b,L _b resistance and leakage inductance of a rotor cage bar-respectively - k=0,1, ... N—1 number of the rotor currents symmetric component and theM _sr matrix column corresponding to it - l equivalent axial length of stator core - equivalent width of air-gap - p pole pair numer - z number of turns per phase - v order of harmonic - k _sv stator winding coefficient for thev-th harmonic - k _rv rotor winding coefficient for thev-th harmonic - k _skv skewness coefficient for thev-th harmonic - U _s stator voltage vector in symmetrical components - U _r rotor voltage vector in symmetrical components - i _s stator current vector in symmetrical components - O zero matrix - R _s stator resistance matrix - R _r rotor resistance matrix - LL _s stator inductance matrix - L _rr rotor inductance matrix - M _sr matrix of stator-rotor mutual inductances - T _e electromagnetic torque - T _m motor load torque - rotor position angle - ₀ initial rotor position angle - rotor angular velocity - (*) conjugation index of a complex number - Re {y} real part of a complex number - Im {y} imaginary part of a complex number - T transposition index - [X] ^x highest integer not greater thanX and of the same sign asX - U r.m.s. value of the phase voltage - _u pulsation of supply voltage     

On the analysis of induction motor with square wave currents in the rotor via state transition signal flow graph technique

The performance equations of an induction motor are given in the rotor reference frame of two of the three phases. These equations are used to analyse the steady state performance of an induction motor with square wave currents in the rotor and sinusoidal voltages on the stator. A closed form solution for stator flux linkages in the time domain is obtained using state transition signal flow graph technique. It is found that the stator current is essentially sinusoidal superimposed by slip dependent harmonics. The torque developed by the motor has pulsations both at six times and twelve times slip frequency.

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Stationäres Verhalten eines Asynchronmotors bei rechteckförmigen Läuferströmen auf Signalflußdiagrammbasis

Übersicht Für einen Asynchronmotor werden die Spannungsgleichungen in einem auf zwei Strangachsen bezogenen läuferfesten Koordinatensystem aufgestellt. Diese Gleichungen werden zur Analyse des stationären Verhaltens bei rechteckförmigen Strömen im Läufer und sinusförmigen Spannungen am Ständer angewendet, und führen über Signalflußdiagrammdarstellung zu einer geschlossenen Lösung. Der Ständerstrom hat schlupfabhängigen Schwingungen. Das Drehmoment enthält Schwankungen, die Komponente sechster und zwölfter harmonischen Ordnung des Schlupfes entsprechen.

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List of symbols i _a,i _b,i _c stator phase currents - i _A,i _B,i _C rotor phase currents - L _m mutual inductance between stator and rotor - L _s self inductance of stator - L _r self inductance of rotor - P pairs of poles - R _s resistance per phase of stator - R _r resistance per phase of rotor - s Laplace operator - T torque developed - _a , _b , _c stator phase flux linkages - _A , _B , _C rotor flux linkages - _a (0), _b(0) stator flux linkages at the beginning of 1/6th cycle - _s , _r synchronous and rotor angular frequencies - Phase difference between stator and rotor phases     

Additional no-load losses in inverter-fed high-speed cage induction motors

An analysis of additional high-frequency losses in high-speed cage induction motors with closed rotor slots under sinusoidal and inverter supply at no load is presented. Calculated losses are compared with experimental results obtained by measurement on a 270 kW, 16,200/min, prototype motor, at both the delta and star connections of the stator winding. The main additional losses of the prototype motor investigated due to inverter supply are eddy current losses in the stator winding. Both measurement and calculation show that, at the delta connection, the additional losses are higher due to the lower modulation degree of the inverter, causing higher harmonic voltage amplitudes.List of symbols B magnetic flux density, T - b _sheet width of iron sheet, m - b _bar mean width of rotor bar, m - b _sd mean stator tooth width, m - b _Qm mean slot width, m - b _LT square wire side, m - f frequency, Hz - h _bar rotor bar height, m - h _br rotor slot bridge height, m - h _sy stator yoke height, m - I current (rms value), A - k ordinal number of voltage harmonic - k _C Carters factor - k _dHy hysteresis deterioration factor for teeth - k _dFt eddy-current deterioration factor for teeth - k _Fe iron stack fill factor - K _l1k first-order skin effect coefficient of stator inductance for kth voltage harmonic - K _l2k second-order skin effect coefficient of stator inductance for kth voltage harmonic - K _1k first-order skin effect coefficient of stator resistance for kth voltage harmonic - _2k second-order skin effect coefficient of stator resistance for kth voltage harmonic - k _yHy hysteresis deterioration factor for yoke - k _yFt eddy-current deterioration factor for yoke - k _w1 winding factor for fundamental space harmonic - l _b length of winding overhang, m - l _Fe core length, m - L _dc inductance at d.c. current, H - L _r rotor inductance, H - L _s stator inductance, H - M torque, Nm - m _T number of vertically arranged coils in slot - m _TZ number of vertically arranged conductors in slot - n _N rated speed, 1/min - p number of pole pairs - p _Ft eddy current losses per iron mass at 50 Hz, 1 T, W/kg - p _Hy hysteresis losses per iron mass at 50 Hz, 1 T, W/kg - P _Cu copper losses, W - P _Fe iron losses, W - P _Fe,Hy hysteresis losses, W - P _Fe,Ft eddy-current iron losses, W - P _fr friction and windage losses, W - Q _r number of rotor slots - Q _s number of stator slots - R _s stator phase resistance, - R _r rotor phase resistance, - R _dc resistance at d.c. current, - s slip - s _k slip for kth harmonic - U voltage (rms value), V - V volume, m³ - N number of turns per phase - z ₁ average number of conductors in one turn, lying side by side - z ₂ average number of vertically arranged conductors per turn - air-gap length, m - magnetic flux, Wb - electric conductivity, S/m - permeability ( ₀=4×10^–7 H/m: permeability of vacuum), H/m - _r relative permeability - _Fe mass density, kg/m³ - _s leakage coefficient for stator winding - _p pole pitch, m - _sd stator tooth pitch, m G. Joksimovi is on research leave from University of Montenegro, Montenegro, Yugoslavia     

On the steady state analysis of a current fed induction motor

Contents The performance equations of an induction motor operating on a current source inverter are derived using a stationary reference frame of two of the three phases. The equations are well suited for simulation of a current controlled inverter fed induction motor on a digital computer using well known numerical methods of integration. A method is presented for the steady state analysis via state transition signal flow graph. This method is found to offer several advantages over the methods available in the literature using state space techniques. The steady state solution of the equations can be used to show that the rotor flux varies sinusoidally and it induces a sinusoidal voltage in the stator phases accompanied with voltage spikes during commutation.

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Über das stationäre Verhalten eines Asynchronmotors mit eingeprägtem Strom

Übersicht Für einen Asynchronmotor, der über einen Umrichter mit eingeprägtem Strom arbeitet, werden die Gleichungen in einem auf zwei Strangachsen bezogenen Koordinatensystem aufgestellt. Diese sind für die Simulation des Motors unter Benutzung bekannter Integrationsmethoden auf einen Digitalrechner gut geeignet. Es wird eine Methode zur Untersuchung des stationären Zustands mit Hilfe von Signalflußdiagrammen vorgelegt. Diese Methode weist gegenüber der Darstellung im Zustandsraum einige Vorteile auf. Anhand der Lösungen wird gezeigt, daß der Fluß sich sinusförmig ändert und in den Ständersträngen sinusförmige Spannungen mit überlagerten Spitzen induziert.

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Nomenclature i _A,i _B,i _C Stator phase currents - i _a,i _b,i _c rotor phase currents - l _d D. C. link current - L _g mutual inductance between stator and rotor phases (L _m=3/2L _g) - L _s,L _r leakage inductance of stator and rotor windings per phase - L _s,L _r self inductances of stator and rotor windings - P pairs of poles - R _s,R _r stator and rotor resistances per phase - T _cl electromagnetic torque developed - u _A,u _B,u _C stator phase voltages - u _a,u _b,u _c rotor phase voltages - _A , _B , _C stator flux linkages - _a , _b , _c rotor flux linkages - 1–L _m ² /(L _s L _r)=leakage coefficient - electrical angle between the axes of the stator and rotor phases - d/dt=angular speed of the rotor     

An algorithm for direct torque control of field oriented asynchronous motor drives

Contents The dynamic behaviour of fully digital control systems is strictly related to the duration of the sampling interval. The minimum length of this period depends exclusively on the time needed for the execution of all the required operations. Therefore, the minimization of computing time is one of the most important goals to be achieved in order to improve the accuracy of electrical drives with fully digitalized control systems. The best results can be obtained using fast programming languages and short sets of computing instructions. This goal is achieved using a proper feeding algorithm for asynchronous motor drives called direct, because it links directly the requested torque and magnetic flux to the input voltages.

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Ein Algorithmus zur direkten drehmomentregelung bei feldorientierten antrieben mit asynchronmotor

Übersicht Die Dynamik einer vollständig digitalen Regelung ist eng verbunden mit der Dauer des Abtast-Intervalles. Die Mindestdeuer der Periode hängt ausschließlich von der erforderlichen Rechenzeit ab. Deswegen ist die Minimierung der Rechenzeit eines der wichtigsten Ziele für die Genauigkeit elektrischer Antriebe mit vollständig digitaler Regelung. Die besten Ergebnisse können mit schnellen Programmiersprachen und kurzen Befehlssätzen erlangt werden. Das Ziel wird erreicht durch einen geeigneten Algorithmus für Asynchronmotoren. Dieser Algorithmus wird direkt genannt, weil er das elektromagnetische Moment und den magnetischen Fluss direkt mit den Eingangsspannungen verbindet.

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List of symbols i_r instantaneous value of the rotor currents symmetrical component referred to the stator - i _s instantaneous value of the stator currents symmetrical component - l _r rotor leakage inductance referred to the stator phase - l _s stator phase leakage inductance - m number of stator phases - p pole-pairs number - r _r rotor phase resistance referred to stator phase - r _s stator phase resistance - v instantaneous value of the stator voltages symmetrical component - J, J _m total and motor inertia - L _m air-gap motor inductance - P rated power - T _el motor electromagnetic torque - T _L load torque - V _R rated voltage - instantaneous rotor position - _R rated angular speed     

On the steady-state analysis of the inverter-fed induction motor

Contents The analysis of the induction motor based on the signal flow graphs is carried out. It is shown that the state transition matrix can be determined in a systematic and straightforward way using Mason's gain formula. This method is found computationally very much superior to other methods available in the literature. There is a considerable reduction in the CPU time. The presence of an input signal also does not pose any problems, as inherently the transition signal flow graph includes its effect also.

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Das stationäre Verhalten der stromrichter-gespeisten Asynchronmaschine

Übersicht Es wird in der vorliegenden Arbeit das stationäre Verhalten der stromrichter-gespeisten Asynchronmaschine auf Grund des Signalflußdiagramms untersucht. Die Anwendung der Masonschen Regel liefert unmittelbar die, State Transition Matrix' mit einem CPU-Zeitaufwand, der geringer ist, als der der in der Literatur bekannten Methoden. Beliebige Eingangssignale lassen sich in einfacher Weise behandeln, da diese im Signalflußdiagramm repräsentiert werden können.

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List of Symbols i _ds,i _qs direct and quadrature axis currents of stator - i _dr,i _qr direct and quadrature axis currents of rotor - i _dr(0),i _qs(0) initial values of d-q currents of stator - i _dr(0),i _qr(0) initial values of d-q currents of rotor - I _ds(s),I _qs(s) Laplace transforms of d-q currents of stator - I _dr(s),I _qr(s) Laplace transforms of d-q currents of rotor - L _s,L _r Self inductances of stator and rotor - M Mutual inductance between stator and rotor - R _s,R _r Resistance per phase of stator and rotor windings - R ₁,R ₂,R ₃,R ₄ Roots of characteristic equation - V _ds V _qs Direct and quadrature components of stator voltage - _ds, _qs Direct and quadrature components of stator flux linkages - _dr, _qr Direct and quadrature components of rotor flux linkages - _s Synchronous angular velocity - _r Rotor angular velocity - T _d Torque developed     

Some characteristics of magnetic field patterns in air-gaps with double-sided slotting

Contents The conductance of air-gaps with double-sided slotting is generally considered with the assumption that the flux lines are radially directed only. Calculations allowing for the two-dimensional nature of air-gap fields, however, show a different situation with regard to the effect of slotting, especially at the higher harmonic orders. Calculated curves and tables are presented to illustrate the correlation between these two ways of approach for two slot combinations under excitation by a single coil, and also to establish the way in which the harmonics vary with changing rotor position.

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Einige Eigenschaften der magnetischen Feldverteilung in Luftspalten mit beiderseitiger Nutung

Übersicht Der Leitwert von Luftspalten mit beiderseitiger Nutung wird gewöhnlich unter der Voraussetzung betrachtet, daß die Feldlinien ausschließlich radial verlaufen. Berechnungen unter Berücksichtigung des zweidimensionalen Charakters des Luftspaltfeldes zeigen jedoch, insbesondere bei den höheren Harmonischen, bezüglich der Auswirkung der Nutung ein anderes Bild. Es werden berechnete Kurven und Tabellen vorgelegt, mit denen der Zusammenhang zwischen den beiden Methoden für zwei Nut-Kombinationen mit Erregung durch eine Spule untersucht wird. Außerdem werden die Änderungen der Harmonischen mit der veränderlichen Rotorposition betrachtet.

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List of principle symbols B _n ^s /B _n ^r stator/rotorn-th order flux densities - B _n ^rs n-th order flux density on rotor generated by stator coil - B _n ^sr n-th order flux density on stator generated by rotor coil - d distance large enough to extend into homogeneous flux region - g air-gap length - N ^s/N ^r number of teeth on stator/rotor - S ^s/N ^r stator/rotor slot opening - rotor position relative to stator - B _n ^s /B _n ^r stator/rotor tooth pitch - tangential position in air-gap     

Stability analysis of a variable frequency induction motor usingD-decomposition method

Contents D-decomposition technique is used to determine the stability/instability regions of a variable frequency induction motor. The technique is more simple, straightforward and elegant when compared to the conventional classical methods like root locus technique, Nyquist criterion and Routh-Hurwitz criterion. The machine equations are used in Park's vector notation which reduces the order of the system equation to three. The equation, however contains complex coefficients. The linearised model based on small displacements is used in the stability analysis to investigate the effects of variation of machine parameters such as stator and rotor resistances, leakage reactances etc. on the stability regions of the motor.

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Stabilitätsuntersuchung eines mit variabler Frequenz gespeisten Asynchronmotors unter Verwendung der Methode derD-Zerlegung

Übersicht Zur Bestimmung der Stabilitätsgrenzen eines mit variabler Frequenz gespeisten Asynchronmotors wird die Methode derD-Zerlegung verwendet. Diese zeichnet sich gegenüber dem klassischen Verfahren wie dem Wurzelortsverfahren, dem Nyquist-Kriterium und dem Routh-Hurwitz-Kriterium durch Einfachheit und Direktheit aus. Infolge der Verwendung der Parkschen Transformierten stellen sich die Spannungsgleichungen der Maschine lediglich als System dritter Ordnung, jedoch mit komplexen Koeffizienten dar. Das Modell wird für kleine Abweichungen linearisiert; danach erfolgt die Untersuchung der Auswirkungen von Parameteränderungen, u. a. der Widerstände von Stator und Rotor sowie der Streureaktanz, auf den Stabilitätsbereich des Motors.

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Nomenclature f operating frequency - fb rated frequency - fr ratio of operating frequency to rated frequency - H inertia constant - i _ds i _qs two axis components of stator currents - i _s Park's vector of stator currents - i _dr ,i _qr two axis currents of rotor currents - i _r Park's vector of rotor currents - J moment of inertia - K gain constantP/J - l a parameter - L _s ,L _r self inductances of stator and rotor respectively - L _m mutaual inductance - P pairs of poles - p differential operator d/dt - R _s ,R _r stator and rotor resistances per phase respectively - T _d ,T _L electromagnetic torque developed and load torque respectively - u _ds ,u _qs two axis components of stator voltages - u _s Park's vector of stator voltages - u _dr ,u _qr two axis components of rotor voltages - u _r Park's vector of rotor voltages - ds, qs two axis components of stator flux linkages - s Park's vector of stator flux linkages - dr, qr two axis components of rotor flux linkages - r Park's vector of rotor flux linkages - _s synchronous angular velocity - _r rotor angular velocity - _r0 rotor angular velocity at an operating point - angular frequency used in the frequency domain plotting - leakage coefficient 1–L _m ² /(L _s L _r )     

Effect of the air-gap fluctuations on the performance of the squirrel-cage induction motor

Contents The air-gap fluctuations due to the slot-opening influence the performance characteristics of the squirrel-cage induction motor to a great extent. These fluctuations amplify the harmonic currents and the corresponding parasitic torques. The consideration of the air-gap fluctuations takes a comperatively short time to calculate and the results are in better agreement with the measured values.

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Einfluß der Luftspaltschwankungen auf das Betriebsverhalten des Käfigläufermotors

Übersicht Die durch die Nutöffnungen hervorgerufenen Luftspaltschwankungen beeinflussen das Betriebsverhalten des Kätigläufermotors in starkem Maße. Durch diese Schwankungen werden die Stromoberschwingungen und die entsprechenden parasitären Drehmomente vergrößert. Die Berücksichtigung der Luftspaltschwankungen beansprucht relativ kurze Rechenzeit und führt zu besserer Übereinstimmung zwischen Meß- und Rechenergebnissen.

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List of symbols A electric loading - B air-gap flux density - b ₀ slot-opening width - C _s coll-span - E induced voltage - f frequency - g parameter for the rotor harmonic-currents - h skewing of the rotor slots relative to the stator slots - I current, r.m.s. value - I current, complex amplitude - current, time dependent in complex form - K winding factor - l machine length - l _g geometrical air-gap length - m _s number of stator phases - M _s number of stator slots per pole pair - M _r number of rotor phases=number of slots per pole pair - N _s number of stator slots - N _r number of rotor slots - n _s synchronous speed - p number of pole pairs - R resistance - s slip - T forque - X ₁ leakage reactance - x, y, z coordinates - _S slot angle - , order of air-gap permeance waves - pole pitch - slot pitch - order of space harmonics - order of the stator harmonic-currents - order of the rotor harmonic-currents - specific air-gap permeance     

Die Theorie des Käfigläufermotors unter Berücksichtigung der Ständer- und Läufernutung

Übersicht Das allgemeine Gleichungssystem des Käfigläufermotors wird auf den Fall erweitert, daß Ständer und Läufer Nuten besitzen. Insbesondere wird dieser Einfluß auf die Gegeninduktivität zwischen Ständer und Läufer sowie auf die Selbstinduktivität des Läufers berücksichtigt. Anhand eines Beispiels wird der Einfluß der Ständernutöffnungen auf die Oberfeldmomente erläutert.

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Contents The general system of equations of the squirrel-cage induction motor is extended to the case that both stator and rotor have slots. The influence of the stator slots upon the mutual inductance between stator and rotor and upon the selfinductance of the rotor circuits is considered in particular. A numerical example shows the effect of stator slot openings on the torque components due to magnetic field harmonics.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a Dreher nach Gl. (34) - A ₀ Querschnitt für den Unipolarfluß - A _z Querschnitt eines Läuferzahnes - b Dreher nach Gl. (34) - B Induktion - d Dreher nach Gl. (6) - g Ordnungszahl der Leitwertswelle - i Strom - I Strommatrix - k _c Carterscher Faktor - k _Fc Faktor der Eisensättigung - l ideelle Eisenlänge - L Induktivität - L Induktivitätsmatrix - L Induktivitätsschwankung - L Matrix der Induktivitätsschwankung infolge der Nutung - Drehfeldinduktivität einer Läufermasche - N Läufernutenzahl - N _s Ständernutenzahl - p Polpaarzahl - P Matrix nach Gl. (5) - P Matrix nach Tafel 1 - R Bohrungsradius - R Widerstand - R Widerstandsmatrix - s Schlupf - u Spannung - U Matrix der Spannung - V magnetische Spannung - w _s Anzahl der in Reihe geschalteten Windungen eines Ständerwicklungsstranges - Umfangskoordinate - Verhältnis magnetischer Leitwerte nach Gl. (46) - Konstante nach Gl. (51) - einseitiger effektiver Luftspalt - _g einseitiger geometrischer Lufftspalt - Ersatzluftspalt - Sehnung der Ständerwicklung in Nutteilungen - Nutungsfaktor - räumlicher Drehwinkel - A magnetischer Luftspaltleitwert - ₀ Induktionskonstante - Ordnungszahl der Luftspaltfelder (Grundwelle =1) - Wicklungsfaktor - _schr Schrägungsfaktor - Spulenfluß - Netzkreisfrequenz Indizes s Ständer - r Läufer - h Haupt- - Streu- - o Nullkomponente des Läufers (unipolare Komponente) - St Stab Hochgestellte Zeichen T transponierte Matrix - * konjugiert komplex - einmal transformierte Größe - zweimal transformierte Größe - 0 Nullkomponente des Ständers - + Pluskomponente - – Minuskomponente - Drehfeld- - ^ Scheitelwert     

On reducing the vibration and noise level of induction motors with integral and fractional slot windings

Contents The paper presents a method of calculating the radial magnetic forces and pulsating torques in induction motors with integral and fractional stator slot winding and squirrel-cage rotors, which aims on reducing the forces of vibration and the noise level of electromagnetic origin. The method leads to a proper choice of stator and rotor slot numbers and other design data, which allow to avoid cases where force components of considerable value and frequencies in the resonant band of the motor are generated. Special attention is paid to the generation of time dependent (synchronous) parasitic torques and their frequencies. Finally the paper includes the experimental verification and presents a case of successful application in a high power motor.

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Die Reduktion des Schwingungs- und Geräuschniveaus von Induktionsmotoren mit Ganzloch- und Bruchloch-Wicklung des Ständers

Übersicht Im Beitrag werden Methoden zur Berechnung von magnetischen Radialkräften und Oberschwingungsanteilen des elektromagnetischen Moments von Induktionsmotoren mit Ganzloch- und Bruchloch-Wicklungen des Ständers und Käfigläufern vorgestellt. Ziel der Berechnung ist die Reduzierung von Schwingungen und Geräuschen elektromagnetischer Herkunft.Diese Methoden helfen bei der Auswahl der Nutzahl von Ständer und Läufer sowie anderer Konstruktionsdaten. Damit können Oberschwingungsanteile von auftretenden inneren Kräften derart beeinflußt werden, daß Komponenten, die im Bereich der mechanischen Eigenfrequenz des Motors liegen, nicht auftreten. Besondere Aufmerksamkeit wird den frequenzabhängigen Oberschwingungsanteilen des Momentes gewidmet. Es werden experimentelle und theoretische Ergebnisse, die anhand eines Motors großer Leistung gewonnen wurden, gegenübergestellt.

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List of main symbols k _s ,k _r stator and rotor winding factors - k _sk skewing factor for -harmonic - N _s ,N _r number of stator and rotor slots - p number of pair-poles - q number of stator slots per pole and phase - s slip of rotor in respect to fundamental harmonic - angle around the rotor surface - airgap width - magnetomotive force (MMF) - magnetic conductance - integers denoting transformed rotor currents - integers assigned to harmonics (fundamental =p) - integers assigned to harmonics (fundamental =1) - _r rotor position angle - ₁,f ₁ pulsation and frequency of supply voltage - angular speed of the rotor     

Nutrastung von permanenterregten AC-Servomotoren mit gestaffelter Rotoranordnung

Übersicht Es wird gezeigt, daß durch eine gestaffelte Magnetanordnung im Rotor die Nutrastung von permanenterregten AC-Servomotoren wirksam unterdrückt werden kann. Das Luftspaltfeld der gestaffelten Magnetanordnung wird analytisch beschrieben und der die verminderte Kopplung zwischen Rotor und Stator beschreibende Staffelfaktor definiert. Das Nutrastmoment wird unter Berücksichtigung der Magnetstaffelung hergeleitet und die Wirkung der Magnetstaffelung auf die Spektrallinien der Nutrastung an einem Beispiel diskutiert. Die Berechnung der Nutrastung führt ferner auf die Klassifizierung von Wicklungssystemen, mit denen indirekt über die Ständernutzahl bestimmte Spektrallinien der Nutrastung unterdrückt werden können.

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Slot cogging torque of permanent magnet ac-servomotors with a staggered rotor arrangement

Contents It is shown that the slot cogging torque of permanent magnet ac-servomotors can be efficiently reduced by a staggered rotor arrangement. The air-gap field of the staggered magnet arrangement is analytically described It is also defined a stagger factor which describes the reduced coppling between stator and rotor. First the slot cogging torque is calculated considering the magnet stagger. Then it is discussed the effect of magnet stagger of the slot cogging torque frequency spectrum. By calculating the slot cogging torque it is possible to classify winding systems in order to reduce spectral lines of the slot cogging torque.

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List of symbols R Bohrungsradius - L Blechpaketlänge - Luftspalt - _N Nutteilung - d _s Schlitzbreite der Ständernut - h _s Schlitzhöhe der Ständernut - N ₁ Ständernutzahl - x _s Spaltwinkel zwischen den Teilmagneten - h _m Magnethöhe - _p Polteilung - B _r Remanenzinduktion - P Motorpolpaarzahl - n Drehzahl - , Polpaarzahl von Luftspaltfeld bzw. Strombelag - Polpaarzahl des Luftspaltleitwertes     

Experimental verification of stray losses in cage induction motors under no-load,full-load and reverse rotation test conditions

Contents The stray load losses of polyphase squirrel-cage induction motors have hitherto rarely been measured at rated voltage and full-load, owing to the great difficulties in achieving the required measuring accuracy; instead, mostly the reverse rotation test is used. This paper primarily deals with the question whether the reverse rotation test yields representative results. It is also examined to what extent it is possible to predetermine the stray losses by means of a series of new investigations on space harmonics of flux density and harmonics of rotor current. For this purpose the stray losses of a four-pole 11 kW polyphase induction machine with semi-closed and open stator slots as well as rotors with a varying number of unskewed and skewed slots are measured under no-load and full-load conditions and in the reverse rotation test and computed for machines with unskewed slots.

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Experimentelle Überprüfung der Zusatzverluste von Käfigläufermotoren im Leerlauf, unter Last und im Reverse Rotation Test

Übersicht Wegen der beträchtlichen meßtechnischen Schwierigkeiten sind die Zusatzverluste von Drehstromasynchronmotoren mit Käfigläufern bisher nur selten bei Nennspannung und Nennlast gemessen worden; statt dessen verwendet man weithin den Reverse Rotation Test. Die vorliegende Arbeit befaßt sich in erster Linie mit der Frage, inwieweit es möglich ist, die Zusatzverluste mit Hilfe einer Reihe neuer Untersuchungen der Oberfelder und Läuferoberströme vorauszuberechnen. Außerdem wird die Gültigkeit des Reverse Rotation Test untersucht. Zu diesem Zweck werden die Zusatzverluste einer vierpoligen 11 kW-Drehstromasynchronmaschine mit halbgeschlossenen und offenen Ständernuten sowie Läufern mit ungeschrägten und geschrägten Nuten unterschiedlicher Nutenzahl im Leerlauf, unter Nennlast und im Reverse Rotation Test gemessen und für Maschinen mit ungeschrägten Nuten berechnet.

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List of symbols B magnetic flux density - f frequency - g order of rotor slot harmonics - I, I ₀,I _n stator current, at no load, at rated load - I _vr harmonics of rotor current - N number of slots - P power - P _Cu fundamentalI ² R losses - P _Fe iron losses at no-load test - P _Fe50 iron losses due to 50 Hz flux density - P _f friction and windage losses - P _gap airgap power - P _m mechanical power output - P _rrt stray load losses at reverse rotation test - P _s electrical power input at stator - P _stray stray losses - P _strayn stray load losses at rated load - P _{stray 0} stray losses at no-load - p number of pairs of poles - q slots per pole and phase - s slip - T torque - U voltage - order of rotor harmonic pairs of poles - order of stator harmonic pairs of poles - supply angular frequency Principal subcripts n at rated load - r rotor - s stator     

Theoretische und experimentelle Untersuchung der Läuferoberfelder von Käfigläufermotoren

Übersicht Zur Überprüfung einer Vorausberechnung der Läuferoberfelder werden die von ihnen hervorgerufenen Induktionen sowohl in schmalen Meßschleifen auf der Ständeroberfläche als auch in den Ständerzähnen gemessen. Eine vergleichende Untersuchung anhand von Läufern mit und ohne Käfig macht den schon im Leerlauf wichtigen Beitrag der Oberfelder der Läuferoberströme deutlich. Der Einfluß der Eisensättigung auf die Zahnpulsationen wird theoretisch und experimentell untersucht. Die Bedeutung der Läufernutenzahlen, der Ständernutöffnung und der Schaltung der Ständerwicklung wird aufgezeigt.

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Theoretical and experimental investigation of the rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors

Contents For the purpose of verifying predetermined rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors, induction caused by the rotor is measured on the stator surface by means of narrow search loops, as well as in the stator tooth bodies. Comparative investigations made on rotors with and without cages clearly evidence the influence of the harmonic fields produced by the higher harmonic currents of the rotor — even in no-load operation. The influence of magnetic saturation on the tooth flux pulsations is subjected to theoretical and experimental investigation. In addition, the importance of the number of rotor slots, the extent of stator slot openings as well as the connection of stator windings are dealt with.

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Verwendete Symbole b _zs Ständerzahnbreite - B Induktion - B _zG Zahninduktion des abgeplatteten Grundfeldes - D Bohrungsdurchmesser - g Ordnungszahl - h _zs Ständerzahnhöhe - I _N Nennstrom - I _R Ringstrom des Läufers - k _c Carterscher Faktor - k _Fü Eisenfüllfaktor - l axiale Blechpaketlänge - m Strangzahl des Ständers - N Nutenzahl - p Polpaarzahl - q Nutenzahl je Pol und Wicklungsstrang - s Schlupf - S Spulenweite der Meßschleife auf der Ständeroberfläche - t Zeit - U _N Nennspannung - V magnetische Spannung - t _ns Ständernutteilung im Längenmaß - y Längenkoordinate in axialer Richtung - Umfangskoordinate im Bogenmaß - Abplattungsfaktor - _g geometrischer Luftspalt - , ' Ersatzluftspalte - Sehnung der Ständerwicklung um Nuten - Ordnungszahl der Läuferoberfelder - _r G relative Permeabilität der Grundfeldzahninduktion - _r P relative Permeabilität der Zahnpulsation - Ordnungszahl der Ständeroberfelder - Wicklungsfaktor - _S Sehnungsfaktor der Meßschleife - _z Sehnungsfaktor des Ständerzahnes - _ns Ständernutteilung im Bogenmaß - Korrekturfaktor aus der digitalen Feldberechnung - Netzkreisfrequenz Indizes gr der Ordnungszahlg _r - i desi-ten Ständerzahnes - r Läufer - s Ständer - ung ungesättigt - z im Ständerzahn Hochgestellte Indizes und Sonderzeichen N Nutungsoberfeld - Scheitelwert - Re Realteil einer komplexen Größe Unterstreichung: komplexe Größe     

Electrodynamic forces within metal cylinder ǵenerated by short-circuit current

Contents A numerical method for calculation of the electrodynamic forces within a conducting bar of infinite length due to a short-circuit current flowing through conductors parallel to this bar is presented. The integral methods are applied. As an example the electrodynamic forces as a function of position and time are given. The excitation current as the transient short-circuit current of the transformer is applied.

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Durch Kurzschlußströme bewirkte elektrodynamische Kräfte auf einen metallischen Zylinder

Übersicht Die numerische Methode für die Berechnung der elektrodynamischen Kräfte auf einen unendlich langen elektrischleitenden Zylinder, der sich in der Nähe einer Kurzschlußstrom führenden und dem Zylinder parallelen Leiterschleife befindet, wird dargestellt. In einem numerischen Beispiel werden die elektrodynamischen Kräfte als Funktionen des Ortes und der Zeit des Transformatorkurzschlußstromes berechnet.

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List of principal symbols A vector potential (y-component) - B vector of magnetic flux density - F vector of unit-length force - i(t) current - I(s) Laplace transform ofi(t) - J matrix of current density - s complex frequency - R matrix response of linear system - T(j) matrix frequency response - t time - U() real part of matrix frequency response - u(t) unit step function - X() imaginary part of matrix frequency response - x,y,z rectangular coordinates - ₀ permeability of vacuum - conductivity of tape - _ij Kronecker delta - angular frequency     

Optimierung des Wicklungssystems bei permanentmagneterregten AC — Servomotoren

Übersicht Es wird gezeigt, daß die Drehmomentwelligkeit durch geeignete Wahl des Wicklungssystems wirksam reduziert und auf eine gegenseitige Schrägung oder Staffelung zwischen Ständer und Läufer verzichtet werden kann. Für die Unterdrückung von Nutrastspektrallinien wird eine Gesetzmäßigkeit vorgestellt, die eine optimale Wahl von Ständernutzahl und Wicklungssystem ermöglicht. Im direkten Vergleich zwischen Rechnung und Messung wird die Optimierungsmethode bestätigt. Die lastabhängigen Pendelmomente werden berechnet und Parameter zur Reduzierung der lastabhängigen Pendelmomente diskutiert. Am Beispiel 6-poliger Servomotoren wird gezeigt, daß eine Wicklungsunsymmetrie ein weiterer Optimierungsparameter sein kann. Unter Berücksichtigung der Wicklungsunsymmetrie wird die Drehmomentwelligkeit berechnet und im Vergleich zur Messung bestätigt.Contents It is shown that the torque ripple can be effectively reduced by a suitable winding system, and it is possible to avoid skewing or staggering between stator and rotor. In order to reduce slot ripple spectral lines a method is presented which makes possible to optimize the number of stator slots and the winding system. A direct comparission between calculation and measurement verifies the optimizing method. The load-dependent torque ripples are calculated and parameters are discussed to reduce the load-dependent torque ripples. By example of servomotors with the number of pole pairs 2p=6 it is shown that an asymmetrical winding can be another optimizing-parameter. Under consideration of the asymmetrical winding the torque ripple is calculated and verified in comparision with measurements.

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Formelzeichen p Polpaarzahl - mechanische Kreisfrequenz - GGT(X,Y) größter gemeinsamer Teiler vonX undY - q=(Z/N) Lochzahl-Zähler/Nenner (Z undN sind teilerfremd) - R Bohrungsradius - Ständerpaketlänge - Luftspalt - h _m Magnethöhe - h _s Nutschlitzhöhe - b _s Nutschlitzbreite - _s Schrägungswinkel - _p Polteilung - _T Teilmagnetbedeckungsgrad - _p Polbedeckungsgrad - t ₀ Anzahl der Teilmagnete pro Pol - R ₁ Ständerstrangwiderstand - L ₁ Strang-Selbstinduktivität - M ₁ Strang-Gegeninduktivität - w ₁ Strangwindungszahl - W Spulenweite - _S Sehnungswicklungsfaktor - _SCH Schrägungsfaktor     

Study of the magnetic field in superconducting alternators

Contents In this paper, the radial and tangential components of the magnetic field inside a three-phase turbogenerator with superconducting field winding and with a rotating screen of any number of elements are calculated with reference to a twodimensional study and to steady state and transient running.The expressions obtained are valid for any order of the field harmonic and any number of pole-pairs of the generator, and refer to a finite thickness of the rotor and stator windings and take account of the real distribution of the eddy currents in the screen elements.As an example of the applications, with reference to a preliminary design for a two-pole turboalternator of around 1300 MVA with double rotor screen, the distribution of the flux density with no load and its content of harmonics are found and the steady state and transient behaviour of the rotor screen is analyzed.

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Das magnetische Feld eines supraleitenden Synchrongenerators

Übersicht Im Rahmen der vorliegenden Abhandlung werden die radialen und tangentialen Komponenten des magnetischen Feldes innerhalb eines dreiphasigen, mit supraleitender Feldwicklung ausgeführten Turbogenerators mit rotierender Abschirmung an Hand einer ebenen Betrachtung stationär und transient berechnet.Die darin angegebenen Beziehungen gelten für beliebige Ordnung der Feldharmonischen und für beliebige Polpaarzahlen des Generators, wobei die Dicke der Rotor- und Statorwicklung endlich ist und die Wirbelstromverteilung den tatsächlichen Verhältnissen entspricht.Am Beispiel eines zweipoligen leerlaufenden Turbogenerators von ca. 1300 MVA mit zweifacher Rotorabschirmung wurde die Verteilung der magnetischen Flußdichte, deren Oberwellengehalt sowie das stationäre und transiente Verhalten der rotierenden Abschirmung untersucht.

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List of Symbols A potential vector - B magnetic flux density vector - C magnetic field attenuation factor - G winding current density vector - G ^* eddy current density vector - H magnetic field vector - J _np ,Y _np Bessel functions of the first and second kind andnp order - n stator or rotor harmonic number - p number of pole-pairs - P power losses in the screen per unit length along the axis - r radial coordinate - s complex variable - t time variable - z axial coordinate - angular coordinate - 0 _a , 0 _f respectively, armature and field winding angle (mechanical) - absolute magnetic permeability - ₀ magnetic permeability of free space - _r relative magnetic permeability - electrical conductivity - angular frequency of armature current - _m rotational speed of the rotor - ² Laplacian operator     

Generalized zero-sequence and anti-zero-sequence performance of induction machines

Contents The present paper derives a new general zero-sequence steady state ladder equivalent circuit of threephase induction machines where zero-sequence currents can simultaneously flow in both the stator and rotor windings. A general expression for the zero-sequence torque is also derived. In machines with even number of phases, anti-zero sequence currents can also flow. It is shown that they can produce a finite torque and a new anti-zero-sequence steady state equivalent circuit of induction machines is presented. This is shown to be similar to the space-harmonic equivalent circuit of a single-phase induction machine, where the number of polepairs is equal to one half of the stator phase number.

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Ein Beitrag zur Theorie des verallgemeinerten Verhaltens von Induktionsmaschinen mit Nullströmen

Übersicht In dem vorliegenden Beitrag wird eine allgemeine stationäre Ersatzschaltung für die dreiphasige Asynchronmaschine mit Nullströmen entwickelt, die sowohl in Stator als auch in Rotorwindungen fließen. Eine allgemeine Gleichung für das durch die Nullströme erzeugte Drehmoment wird abgeleitet. Bei Maschinen mit einer geraden Anzahl von Phasen können entgegengesetzte Nullströme auch fließen. Es wird gezeigt, daß diese ein Drehmoment erzeugen können, wobei auch die entsprechende Ersatzschaltung der Asynchronmaschine angegeben wird. Es wird gezeigt, daß diese die Ersatzschaltung einer einphasigen Asynchronmaschine ist, deren Polzahl gleich der halben Statorphasenzahl ist.

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List of Principal Symbols f _s Fundamental stator frequency,c/sec - h Integer, one half of the stator phase number - N _s Synchronous speed with positive-sequence operation, r.p.m. - N _z0 Synchronous speed with zero-sequence operation, r.p.m. - N _z0 Synchronous speed with anti-zero-sequence operation, r.p.m. - R _s Resistance of stator winding, ohms - R _rfi, R_rbi i-th harmonic forward, backward rotor resistances, ohms - X _m0, X_m0 Zero and anti-zero-sequence magnetizing reactance, ohms - X _s0, X_s0 Zero and anti-zero-sequence leakage reactance of stator winding, ohms - X _rfi, X_rbi i-th harmonic forward and backward rotor reactances, ohms - s Fractional slip, referred toN _s - s ₀ Fractional slip, referred toN _z0 - s ₀ Fractional slip, referred toN _z0 - T ₀ Zero-sequence torque (per phase, referred toN _z0), synchronous watts - T ₀ Anti-zero-sequence torque (per phase, referred toN _z0), synchronous watts - Z ₀ Total zero-sequence equivalent impedance, ohms - Z ₀ Total anti-zero-sequence equivalent impedance, ohms     

Three dimensional-space analysis of the electromagnetic field in induction pump with nonuniform distribution of molten metal velocity and nonsinusoidal current

Contents In this paper an analysis of electromagnetic field, power-losses and force in the MHD generator with flat structure of inductor is presented. The computational model, based on Fourier series technique, takes into account higher-time harmonics in supply current, the finite length and width of inductor winding and nonuniform velocity distribution along the liquid metal depth. The calculations of magnetic flux density, electromagnetic force and power losses distribution in liquid zinc have been carried out for induction pump fed by nonsinusoidal and sinusoidal current.

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Die dreidimensionale Analyse des elektromagnetischen Feldes in einer Induktionspumpe bei inhomogener Verteilung der Geschwindigkeit des flüssigen Metalls und bei nichtsinusförmigem Speisestrom

Übersicht In diesem Beitrag wurde die Analyse des elektromagnetischen Feldes, der Verlustleistung und der Kraft in einem MHD-Generator mit flachem Induktor dargestellt. Das Berechnungsmodell, gestützt auf die Methode harmonischer Fourierreihen, berücksichtigt die höheren Zeitharmonischen im Speisestrom, endliche Länge und Breite der Induktorwicklung und die inhomogene Verteilung der Geschwindigkeit in der Tiefe des flüssigen Metalls. Die Berechnungen der Verteilung der elektromagnetischen Kraftdichte und der Verlustleistung im flüssigen Zink wurden für eine mit nichtsinusförmigem und sinusförmigem Strom gespeiste Induktionspumpe ausgeführt.

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List of symbols A magnetic vector potential - B magnetic flux density - b slot opening - d _i thickness ofi-th layer - E electric field intensity - f fundamental frequency - f _x(y,z) x(y, z) component of electromagnetic force density - h tooth harmonic - I ₀ ^s inductor phase current - imaginary unit - L inductor length - m number of inductor phase - p power losses density - p number of magnetic pole pairs - r time harmonic - S _i slip ofi-th layer - v _i velocity ofi-th layer - W inductor width - _i conductivity ofi-th layer - _i permeability ofi-th layer - v phase space harmonic - _i tooth pitch - _z pole pitch - =2f angular frequency - Q Q _m exp (jt),Q _m =Q _m exp (j) - Q ^* conjugate value ofQ