A stiffness derivative finite element technique for determination of crack tip stress intensity factors

A finite element technique for determination of elastic crack tip stress intensity factors is presented. The method, based on the energy release rate, requires no special crack tip elements. Further, the solution for only a single crack length is required, and the crack is advanced by moving nodal points rather than by removing nodal tractions at the crack tip and performing a second analysis. The promising straightforward extension of the method to general three-dimensional crack configurations is presented and contrasted with the practical impossibility of conventional energy methods.

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Zusammenfassung Das Verfahren der endlichen Elementen wird angewandt zur Bestimmung der elastischen Spannungsintensitäts-faktoren an einer Rißspitze. Begründet auf die Geschwindigkeit der Energiefreilassung braucht dieses Verfahren keine spezielle Rißspitzenangaben. Weiterhin braucht man nur die Lösung für eine einzige Rißlänge, und der Rill wird fortbewegt eher durch Versetzung von Knotenpunkten als durch Entziehung von Knotenzugspannung an der Rißspitze und durch Ausführung einer zweiten Analyse. Die vielversprechende direkte Ausdehnung der Methode auf allgemeine dreidimensionale Rißgestaltungen wird vorgestellt and der praktischen Unmöglichkeit der klassischen Energie-methoden entgegengestellt.

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Résumé Une technique d'analyse par éléments finis est présentée pour la détermination des facteurs d'intensité des contraintes élastiques à la pointe d'une fissure. Basée sur le taux de relaxation d'énergie la méthode ne nécessite pas d'éléments de forme particulière à la pointe de la fissure. En outre, seule est requise la solution pour une longueur déterminée de fissure simple: le processus d'extension de la fissure est obtenu en déplaçant les points nodaux du réseau plutôt qu'en ôtant les composantes de traction nodale à la pointe de la fissure et en procédant à une seconde analyse. On présente les possibilités prometteuses d'extension de la méthode à des configurations tridimensionnelles plus générales de fissures, en contraste avec les impossibilités auxquelles se heurtent les méthodes conventionnelles basées sur des considérations énergétiques.

     

Plastic intensity factors for cracked plates subjected to biaxial loading

An elastic-plastic analysis is performed for an infinite plate under plane stress conditions which contains a finite line crack and is subjected to biaxial loading. In the large scale yielding range, the amplitude of the dominant singularity at the crack tip, the plastic stress (or strain) intensity factor, is found to depend on the magnitude of loading parallel to the crack direction. The predicted value for the fracture initiation stress which is based on a plastic intensity factor fracture criterion, increases under lateral, tensile loading. Compressive loading parallel to the crack has the opposite effect on the fracture initiation stress.

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Zusammenfassung Man untersucht im elastoplastischen Gebiet den Fall eines unendlichen Bleches, im ebenen Spannungszustand, mit einem endlichen linearen Riß, der biaxial belastet wird.Im Gebiet der großen plastischen Verformungen hat man gefunden daß die Amplitude der überwiegenden Sonderbarkeit an der Spitze des Risses und zwar der plastische Spannungsintensitätsfaktor (oder Dehnung) von der Größe der Belastung parallel zur Richtung des Risses abhängt.Der vorausgesetzte Wert der bruchauslösenden Spannung die sich auf einem plastischen Bruchintensitätsfaktor Kriterium gründet, nimmt zu mit der seitlichen Zugbelastung.Druckbelastung parallel zum Riß hat einen entgegengesetzten Einfluß auf die bruchauslösende Spannung.

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Résumé On procède à une analyse élastoplastique du cas d'une tôle infinie en conditions d'état plan de tension, qui comporte une fissure linéaire finie et qui est sujette à une mise en charge biaxiale.Dans le domaine des grandes déformations plastiques, on a trouvé que l'amplitude de la singularité dominante à la pointe de la fissure—à savoir le facteur d'intensité des contraintes (ou des déformations) plastiques—dépen de l'importance de la charge parallèle à la direction de la fissure.Le niveau de contrainte que l'on prédit conduire à l'amorçage de la rupture, et qui est basé sur un critère de rupture relevant du facteur d'intensité plastique, s'accroît en présence de charges de traction latérales.Une mise en charge par compression, parallèlement à la fissure, a un effet inverse sur la contrainte d'amorçage de la rupture.

     

Brittle fracture in compression

The apparent paradox of two theories of fracture depending on whether the applied load is tensile or compressive is resolved. Although in compression, fracture seems to occur when the maximum tensile stress around a hole reaches a critical value it is suggested that fracture occurs when the crack extension force at the tip of a microcrack in the neighbourhood of the crack tip reaches a critical value. An essential difference in behaviour under tension and compression is that whereas in tension the crack extension force increases with crack growth, in compression a maximum value of the crack extension force is reached with further crack growth causing a decrease in its value. If the defects, which must exist at the edge of a machined hole, are small, then the crack extension force is controlled by the maximum tensile stress at the surface of the hole. The degree of smallness is different for tension and compression. In tension, the defects must be less than one fifth of the root radius of the tip of the hole and if the hole is sharp enough, the defects will be larger than this value and the crack extension force will be given by the usual fracture mechanics expression G = ² c/E. In compression the defects must, in the limiting case, be greater than the root radius of the tip of the hole (in a more typical case, greater than twice the root radius) if the crack extension force is not to be controlled by the maximum tensile force. Such large defects are impossible since the sharpness of the root radius is limited by the defect size and thus in compression, fracture from machined notches will always be controlled by the maximum tensile stress.

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Zusammenfassung Das scheinbare Paradox der beiden Theorien über das Bruchverhalten bei Zug- oder bei Druckbeanspruchung wurde gelöst. Trotzdem bei einer Druckbelastung der Bruch scheinbar darn eintritt wenn die maximale Zugspannung in der Umgebung des Loches einen kritischen Wert erreicht, wird unterstellt, daß der Bruch darn eintritt, wenn die Bruchausweitungskraft an der Spitze eines Haarrisses in seiner Umgebung einen kritischen Wert erreicht. Der grundlegende Unterschied des Bruchverhaltens unter Druck- und Zugbelastung besteht darin, daß bei Zugbelastung die Rißausweitungskraft mit der Rißausbreitung ansteigt, während bei einer Druckbelastung ein Maximum für die Rißausweitungskraft erreicht wird, welche dann bei weiterem Fortschreiten des Risses wieder zu geringeren Werten abfällt. Wenn die Fehlstellen, welche unweigerlich am Rande eines Bohrloches auftreten klein sind, wird die Rißausweitungskraft durch die maximale Zugspannung an der Lochoberfläche kontrolliert. Die kritische Größe der Fehlsteßen ist unterschiedlich für Druck- und Zugbelastung. Bei Zugbelastung muß die Fehlstelle kleiner sein als ein Fünftel des Lochdurchrnessers; falls die Krümmung klein genug ist, so sind die Abmessungen der Fehlstellen größer als dieser Wert und die Rißausweitungskraft wird durch den in der Bruchmechanik üblichen Ausdruck G = ²C/E gegeben. Bei Druckbelastung müssen die Fehlstellen im Grenzfall größer als die Krümmung der Lochspitze sein (in einen typischeren Fall mehr als zweimal so groß) wenn die Rißausweitungskraft nicht durch die maximale Zugspannung bestimmt sein soll. Solche groben Fehlstellen sind unmöglich da die Schärfe der Wurzelkrümmung durch die Abmessungen des Defektes begrenzt ist. Folglich wird im Fall von Druckbelastung der Bruch an bearbeiteten Kerben immer durch die maximale Zugspannung bestimmt.

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Résumé On a solutionné le paradoxe apparent de deux théories de la rupture correspondant respectivement à des sollicitations de traction et de compression.En compression, la rupture semble survenir lorsque la tension maximum au voisinage d'une cavité atteint une valeur critique. On suggère néanmoins que la rupture se produit au moment où la force d'extension de la fissure à l'extrémité d'une microfissure atteint, au voisinage de celle-ci, une certaine valeur critique. A ce stade, la différence essentielle de comportement sous traction et sous compression réside dans le fait que, sous traction, la force d'extension de la fissure augmente avee la propagation de la fissure, tandis que, sous compression, on atteint une valeur maximum de la force d'extension qui tend ensuite à décroître lorsque se propage la fissure.Si les défauts, toujours présents en bordure d'un trou foré, sont de petite dimension, la force d'extension de la fissure est limitée par la tension maximum à la surface du trou. La dimension critique de ces défauts est différente, selon qu'on est en traction ou en compression. En traction, les défauts doivent être inférieurs au cinquième du rayon de courbure du trou. Si ce rayon est assez petit, la dimension des défauts excèdera cette valeur et la force d'extension de la fissure sera déduite de l'expression classique de mécanique de rupture G=²C/E.En compression, les défauts doivent être, aux limites, plus grands que le rayon de courbure du trou (voir le double de ce rayon) pour autant que la force d'extension de la fissure ne soit pas contrôlée par la tension maximum. De telles dimensions de défauts ne sort pas possible à envisager, car l'acuité du rayon de courbure est de toute manière limitée à la dimension des défauts usuels. De la sorte, une rupture fragile par compression au départ d'entailles usinées sera toujours dépendante de la tension maximum.

     

On the energy balance approach to fracture in creeping materials

A continuum energy balance approach to the fracture of creeping materials is investigated in detail. Linear viscoelastic materials are considered and a non-linear stress dependence is introduced in order to describe the creep behaviour of metals at elevated temperatures. for linear materials energy balance considerations lead to a fracture criterion of the classical Griffith form. If such materials are incapable of storing strain energy (e.g. Young's modulus E ) then fracture is impossible.Non-linear materials are considered where the non-linear term contributes to the rate of energy dissipation and not the Helmholtz free energy. Tentative arguments are presented suggesting the nature of the stress singularity at the tips of both stationary and moving cracks. The consequences of the occurrence of such singularities are discussed in connection with the energy balance approach to fracture.For linear viscoelastic materials two time-dependent integrals are shown to be path-independent. For a linear elastic material one of these integrals is the well known J-integral.

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Résumé On étudie en détail l'application d'un équilibre énergétique dans un continuum au comportement à la rupture du matériaux soumis au fluage. On considère des matériaux visco-élastiques linéaires, et, en vue de décrire le comportement au fluage à haute température, on introduit un paramètre de dépendance non linéaire de la contrainte.Dans le cas des matériaux linéaires, les considérations d'équilibre énergétique conduisent à un critére de rupture de la forme classique de Griffith. Si de tels matériaux ne peuvent emmagasiner l'énergie de déformation, c.à.d. si le module de Young tend vers l'infini, la rupture devient impossible.On se trouve en présence de matériaux non linéaires lorsque le terme non linéaire contribue significativement à la dissipation d'énergie, par rapport à l'énergie libre de Helenholtz. On propose des arguments suggérant la nature de la singularité de contrainte aux extrémités de fissures stationnaires ou de fissures en mouvement. On discute les conséquences de l'apparition de telles singularités, en se référant à un critère d'équilibre énergétique au moment de la rupture.On montre que, dans le cas de matériaux visco-élastiques linéaires, on débouche sur deux intégrales dépendant du temps mais indépendantes du parcours.Pour un matériau linéaire élastique, l'une de ces intégrales est l'intégrale J bien connue.

     

The calculation of stress intensity factors for combined tensile and shear loading

Stress intensity calculations are presented for cases of combined tensile and shear loading for a linear elastic material. Using functions of a complex variable, a theory is developed to determine the direction of maximum energy release rate. A finite element method using virtual crack extensions is also used to determine the energy release rate for crack extensions in various directions and in particular that which gives the maximum energy release rate.Except when shear is more significant than tension, these results give good agreement with available experimental evidence. When shear is most significant, plasticity effects are probably becoming important, thereby invalidating the results of any linear theory. However, the results may still be used to determine K _I and K _II numerically from virtual crack extension calculations of J ₁ and J ₂ for general two-dimensional geometries.

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Résumé On présente des calculs de l'intensité des contraintes dans les cas de mises en charge combinée par traction et cisaillement d'un matériau redevable de la mécanique linéaire et élastique. En utilisant des fonctions d'une variable complexe, on développe une théorie pour la détermination de la direction du taux maximum de relaxation de l'énergie. Une méthode par éléments finis utilisant des extensions d'une fissure virtuelle est également employée pour déterminer le taux de relaxation de l'énergie correspondant à des extensions de la fissure dans des directions diverses et, en particulier, dans celle qui donne un taux de relaxation maximum de l'énergie.A l'exception du cas où le cisaillement est significativement plus important que la traction, les résultats sont en bon accord avec les observations expérimentales. Lorsque le cisaillement est proportionnellement le plus significatif, les effets de la plasticité deviennent probablement importants, et rendent invalides les résultats de toute théorie élastique linéaire. Toutefois, la méthode peut être encore utilisée pour la détermination numérique de K _I et K _II au départ de calculs de J ₁ et J ₂ correspondant à une extension d'une fissure virtuelle dans des géométries bidimensionnelles.

     

Correspondence principles and a generalizedJ integral for large deformation and fracture analysis of viscoelastic media

Methods of quasi-static deformation and fracture analysis are developed for a class of nonlinear viscoelastic media and sample applications are given. Selection of the class of media is guided by actual rheological behavior of monolithic and composite materials as well as the need for simplicity to be able to understand the effect of primary material and continuum parameters on crack growth behavior. First, pertinent aspects of J integral and energy release rate theory for nonlinear elastic media are discussed. Nonlinear viscoelastic constitutive equations are then given, and correspondence principles which establish a simple relationship between mechanical states of elastic and viscoelastic media are developed. These principles provide the basis for the subsequent extension of J integral theory to crack growth in viscoelastic materials. Emphasis is on predicting mechanical work available at the crack tip for initiation and continuation of growth; some examples show how viscoelastic properties and the J integral affect growth behavior. Included is the problem of a crack in a thin layer having different viscoelastic properties than the surrounding continuum. The Appendix gives an apparently new constitutive theory for elastic and viscoelastic materials with changing microstructure (e.g. distributed damage) and indicates the conditions under which the fracture theory in the body of the paper is applicable.

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Résumé On développe des méthodes d'analyse des déformations et de rupture quasi statiques pour une classe de mileux visco-élastiques non linéaires et on illustre des applications types de ces méthodes. Le choix de la classe est dicté par le comportement rhéologique réel de matériaux monolitiques ou composites, ainsi que par la nécessité de simplifier l'approche pour comprendre l'effet des paramètres de base du matériau et du continuum sur leur comportement vis-à-vis de la croissance de la fissure. On discute en premier lieu la pertinence des théories de l'intégraleJ et du taux de relaxation d'énergie, dans le cas de milieux élastiques non linéaires. On établit ensuite des équations visco-élastiques non linéaires et on développe les principes de correspondance qui permettent de mettre en place une relation simple entre les état mécaniques correspondant à des milieux élastiques et à des milieux visco-élastiques. On tire des principes une base pour étendre la théorie de l'intégraleJ à la croissance de fissures dans les matériaux visco-élastiques. L'accent est placé sur la prédiction du travail mécanique susceptible d'amorcer et d'entretenir la croissance d'une fissure à l'extrémité de celle-ci. Quelques exemples montrent comment le comportement à la croissance est influencé par les propriét visco-élastiques et par l'intégraleJ. L'étude couvre le cas d'une fissure dans une couche mince présentant des propriétés visco-élastiques distinctes de celles du substrat. En annexe, on présente une théorie apparemment originale sur les matériaux élastiques et visco-élastiques comportant des microstructures évolutives et on indique les conditions selon lesquelles la théorie de la rupture discutée dans le mémoire est applicable.

     

An engineering analysis of ductile fractures

A critical strain at a small distance from a crack tip is proposed as a ductile fracture criterion. Surface strain in double edge cracked specimen made of 2024-0 aluminum alloy was measured using the moiré method. The strain along the crack line and near a crack tip is proportional to the cracked-section-elongation, the latter is used as a measurable quantity to characterize ductile fractures. The effect of specimen size on fracture strength and energy absorption by the specimen were analyzed. The proposed ductile fracture analysis agrees qualitatively with fracture tests on fully annealed 4340 steel and 2024-T351 aluminum.

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Zusammenfassung Als Kriterium für das Verformungsverhalten wird die kritische Debuting in der Nähe einer Rissspitze vorgeschlagen. An einer mit zwei seitlichen Kerben gerissenen Probe aus einer Aluminium 2024-0 Legierung wurde die Oberflächen-dehnung nach dem moire Interferenzverfahren gemessen.Die Verformung entlang des Risslinie and in der näheren Umgebung der Rissspitze ist der Verlängerung des gerissenen Querschnitts proportional. Letztere wird als messbare Grösse zur Beschreibung des Verformungsbruchverhaltens herangezogen. Es wurde der Einfluss der Probenabmessungen auf die Zugfestigkeit and die absorbierte Energie ermittelt.

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Résumé Comme critère pour la rupture ductile, on suggère d'adopter une déformation critique à une courte distance de la pointe d'une fissure. Les déformations en surface ont été mesurées, à l'aide de la méthode du moiré, sur des éprouvettes fissurées d'alliage d'Aluminium 2024-0 comportant deux entailles latérales.La déformation le long de la ligne de fissuration, et au voisinage de la pointe de la fissure, est proportionnelle á l'allongement de la section droite fissurée, quantité mesurable pour caractériser les ruptures ductiles.On a analysé l'influence des dimensions de l'éprouvette sur la résistance à la rupture et sur l'énergie qu'elle absorbe. L'analyse proposée dans cc mémoire est qualitativement en accord avec résultats d'essais de rupture sur tin acier 4340 normalisé et sur l'alliage d'Aluminium 2024-T351.

     

Theory of stable crack growth in an elastic-perfectly plastic material

A theory of stable crack growth, for generalized plane stress conditions, is presented which is based upon a Dugdale model of plasticity and an energy balance approach to fracture. Several forms for the rate of energy dissipation in the plastic zone are considered. It is shown that the J-integral, when used in conjunction with the Dugdale model, may not be of direct relevance to the rate of stable crack growth. By introducing the well known concept of a fracture process zone, and incorporating it into an expression for the rate of energy dissipation in the plastic zone, a simple stable crack growth law is derived which is very similar to an existing relation based upon a final stretch fracture criterion.The energy balance approach is extended to derive the growth law for cracks propagating in test specimens subjected to point loads. The material may be non-linear elastic-plastic provided that the Dugdale model of yield is appropriate. It is shown how load-displacement records might be used to predict the amount of stable crack growth in linear elastic-perfectly plastic sheets having reasonably general geometries which are subjected to point loads.

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Résumé On présente une théorie pour la croissance stable d'une fissure dans le cas de conditions d'état plan de déformation généralisé, qui est basée sur le modèle de Dugdale de plasticité et sur une approche d'équilibre d'énergie jusqu'á la rupture. Diverses formes sont envisagées pour le taux de dissipation d'énergie dans la zône plastique. On montre que l'intégrale J, lorsqu' elle est utilisée en conjonction avec le modèle de Dugdale, peut n'être pas directement pertinente pour déterminer la vitesse de croissance stable d'une fissure. En introduisant le concept bien connu de la zône du processus de fracture et en l'incorporant dans l'expression donnant la vitesse de dispersion d'énergie dans la zône plastique, on dérive une loi de croissance stable et simple de la fissure qui est très similaire à la relation existante basée sur un critère de rupture par étirement final.L'approche de l'équilibre d'énergie est étendue afin de dériver la loi de croissance de fissure se propageant dans des éprouvettes d'essai soumises à des charges ponctuelles. Le matériau peut être non linéaire élastique-plastique pourvu que le modèle de Dugdale de l'écoulement plastique soit approprié. On montre comment les enregistrements charge-déplacement peuvent être utilisés pour prédire le taux de croissance stable d'une fissure dans des tôles minces à caractéristiques linéaires élastiques et parfaitement plastiques, et possédant une géométrie raisonnablement générale, et soumises à des charges ponctuelles.

     

A simple method for evaluating slow crack growth in brittle materials

A simple method for evaluating stress intensity factor, crack velocity (K, V) diagrams is described. The method enables K and V to be obtained from the load relaxation at constant displacement. There are no additional requirements for monitoring crack growth. The method is evaluated for the glass/water system and is shown to generate data that is entirely consistent with data obtained on the same system using other techniques. The method is applied to the alumina/water system and the K, V diagrams are used to predict times to failure (). The calculated are in excellent agreement with available data.

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Zusammenfassung Eine einfache Methode zur Aufstellung der Diagramme Intensitätsfaktore Rißgeschwindigkeit (K.V.) wird beschrieben. Diese Methode ermöglicht die Ableitung von K und V von der Lastrelaxation bei konstanter Fortbewegung. Keine andere Mittel sind nötig zum Überwachen der Rissausbereitung. Die vorgeschlagene Methode wird für das Glasswassersystem erprobt und es ergibt sich dass die Resultate mit denen von anderen Methoden für das selbe System übereinstimmen.Die Methode wird auf das Aluminal Wasser System angewendet und die erhaltene K.V. Diagramme wurde ausgenützt um die Zeit bis zum Bruch () vorauszusagen. Die errechnete Werte von stimmen ganz gut mit denen zur Zeit zu Verfügung stehenden Resultate überein.

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Résumé On décrit une méthode simple pour déterminer les diagrammes facteurs d'intensité des contraintes/vitesse de fissuration (K. V.).Par cette méthode, on obtient K et V en mesurant la relaxation de la charge sous déplacement constant. Il n'est pas nécessaire de recourir à un moniteur de propagation de fissure.La méthode proposée est sujette à vérifications sur un système verre/eau et conduit à des données absolument identiques à celles obtenues sur le même système à l'aide d'autres techniques.On applique ensuite la méthode à un système alumine/eau, et on utilise les diagrammes K.V. obtenus à la prédiction des durées à la rupture ().Ces durées calculées sont en excellent accord avec les données actuellement disponibles.

     

Determination of fracture energy,process zone longth and brittleness number from size effect,with application to rock and conerete

The dependence of the fracture energy and the effective process zone length on the specimen size as well as the craek extension from the notch is analyzed on the basis of BaN at failure is reformulated in a manner in which the parameters are the fracture energy and the effective (elastically equivalent) process zone length. A method to determine these material properties from _N-data by linear and nonlinear regressions is shown. This method permits these properties to be evaluated solely on the basis of the measured maximum loads of specimens of various sizes and possibly also of different shapes. Variation of both the fracture energy and the effective process zone length as a function of the specimen size is determined. The theoretical results agree with previous fracture tests of rock as well as concrete and describe them adequately in relation to the inevitable random scatter of the tests.

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Résumé En se reposant sur la loi des effets dimensionnels approximatifs développée par Ba     

Local and gross deformations in cracked metallic plates

The local deformation near a crack tip were investigated when a cracked specimen was stressed beyond general yielding. Crack opening displacements, and near tip strains were measured by the moire technique. The gross elongation in the cracked-section was also measured. These three quantities were found to be linearly related to each other. Surface strain distributions near a crack are influenced by the local necking at the crack tip, which is controlled by the plate thickness.

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Zusammenfassung Die lokalen Verformungen in der Umgebung der Spitze eines Kerbes wurden für den Fall einer gerissenen, und Beanspruchungen oberhalb der Elastizitätsgrenze ausgesetzten Probe, untersucht.Die COD und die Dehnungen in der Umgebung des Kerbes wurden nach dem Moiré-Verfahren bestimmt. Außerdem wurden die Gesamtdehnungen in der gerissenen Ebene gemessen. Es ergab sich ein linearer Zusammenhang zwischen diesen drei Größen.Die Verteilung der Verformungen an der Oberfläche in der Nähe eines Risses werden durch die lokale Einschnürung and der Rißspitze beinflußt. Letztere hängt ihrerseits von der Dicke des Bleches ab.

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Résumé Les déformations locales au voisinage de l'extrémité d'une entaille ont été étudiées dans le cas d'éprouvettes fissurées sollicitées au delà de la limite élastique. Les COD et les dilatations près de l'entaille on été mesurées par la technique du Moiré. On a également mesuré les dilatations d'ensemble dans la section fissurée, et l'on a trouvé que ces trois quantités sont liées l'une à l'autre par des relations linéaires.Les distributions des déformations en surface près d'une fissure sont influencées par la striction locale à l'extrémité de la fissure, qui est sous la dépendence de l'épaisseur de la tôle.

     

Three-dimensional elastic stress analysis of a fracture specimen with an edge crack

A numerical stress analysis of an elastic three-dimensional specimen similar to the compact tension specimen used in fracture investigations is presented. The numerical results are achieved using singular integral equations which are analogous to Green's boundary formula in potential theory. The analysis yields details of the stresses near the crack tip and clearly shows their three-dimensional character. Some results are also given to indicate the influence of thickness and Poisson's ratio on the stresses.

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Zusammenfassung Es wird für eine dreidimensionale elastische Probe, ähnlich der kompakten Zugprobe für Bruchuntersuchungen, eine zahlenmässige Analyse der Spannungen dargelegt. Die numerischen Ergebnisse wurden über singulare Integralgleichungen analog den Greenschen Formeln in der Potentialtheorie ermittelt. Die Untersuchung ergibt Einzelheiten über die Spannungen in der Umgebung der Rißspitze und zeigt klar deren dreidimensionalen Charakter. Es werden auch einige Resultate mitgeteilt die den Einfluß der Dicke und des Poissonschen Moduls auf die Spannungen herausstellen.

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Résumé On présente une analyse numérique des contraintes dans une éprouvette à trois dimensions en sollicitation dans le domaine élastique, éprouvette similaire à l'éprouvette de traction utilisée dans les études de mécanique de rupture.Les résultats numériques sont obtenus en recourant à des équations à intégrales singulières, qui sont analogues à l'équation aux limites de Green dans la théorie du potentiel.L'analyse conduit à fournir la distribution complète des contraintes au voisinage de l'éxtremité de la fissure et démontre clairement le caractère tridimensionnel de celle-ci.L'influence de l'épaisseur et du module de Poisson sur les contraintes est également dégagée de certains résultats qui ont été obtenus.

     

Visco-elastic and thermal effects on crack growth in PMMA

An approximate visco-elastic analysis is described for crack growth in PMMA. It is shown that there is a change in the fracture criterion from a constant energy to a constant crack opening displacement when cracks are run below and above their initiation speeds respectively. This analysis is coupled with a prediction of temperature rises at the crack tip and it is shown that this results in a marked maximum in the stress intensity factor crack versus speed curve which corresponds closely to the instability value.

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Zusammenfassung Es wird eine angenäherte viskoelastische Analyse der Rißfortpflanzung in Polymethylmethacrylat beschrieben. Man zeigt, daß je nachdem sich die Risse mit Geschwindigkeiten unterhalb oder oberhalb ihrer Bildungsgeschwindigkeit fortpflanzen, die Bruchkennzahl von einer konstanten Energie in einen konstanten COD übergeht.Diese Analyse ist gekoppelt mit einer Vorausschätzung der Temperaturerhöhung an der Rißspitze und man konnte zeigen, daß diese Erhitzung mit den Veränderungen des Spannungsintensitätsfaktors in Abhängigkeit der Rißfort-pflanzungsgeschwindigkeit in Zusammenhang steht. Das Maximum des Spannungsintensitätsfaktors liegt nahe an der Instabilität.Für hohe Rißfortpflanzungsgeschwindigkeiten wird eine Temperaturerhöhung von runt 100°C vorausbestimmt.

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Résumé On décrit une analyse viscoélastique approchée de la propagation des fissures dans le polyméthylméthacrylate. On montre que, selon que les fissures se développent à des vitesses inférieures ou supérieures à leurs vitesses d'amorçage, la base du critère de rupture passe respectivement d'une énergie constante à un COD constant.Cette analyse est associée à une prévision des élévations de température à la pointe de la fissure, et l'on démontre que de tels échauffements sont en relation avec les variations du facteur d'intensité des contraintes en fonction de la vitesse de propagation des fissures. Le maximum du facteur d'intensité de contraintes est proche de l'instabilité.Pour des vitesses de propagation de fissures élevées, on prévoit des élévations de température de l'ordre de 100 °C.

     

Small scale yielding near a crack in plane strain: A finite element analysis

This paper presents an incremental elastic-plastic finite element solution to the problem of small scale yielding near a crack in plane strain for a non-hardening material. Emphasis is placed on the design of finite elements which allow accurate reproduction, in a numerical solution, of the detailed structure of the near crack tip stress and strain fields, as understood from previous analytical studies of crack tip singularities. Numerical results are presented for: location of the elastic-plastic boundary, angular distribution of the strength of the strain singularity, crack tip opening displacement, stress distribution ahead of the crack, and angular variation of stresses at the tip. The latter results verify Rice's prediction of the Prandtl field in providing the limiting stress distribution as r 0.

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Zusammenfassung Der Bericht gibt eine Lösung durch endliche Elemente unter elastoplastischen Bedingungen, für das Problem des plastischen Fliessens über kurze Strecken, welches in der Umgebung eines einem planen Spannungszustand unterworfenen Risses in nichtalterndem Material auftritt.Die Auslegung der endlichen Elemente, welche es am besten ermöglicht eine genaue Reproduzierbarkeit (bei numerischer Lösung) der detaillierten Struktur der Spannungs- und Verformungsfelder in der Umgebung der Rißspitze zu erreichen, unter Bezug auf frühere analytische Untersuchungen über die Singularität einer Rißspitze, wird besonders herausgestrichen.Numerische Ergebnisse werden gegeben für: die Lage der elastoplastischen Grenze, die angulare Verteilung der Intensität der Verformungssingularität, die Verschiebung der Rißspitzenöffnung, die Spannungsverteilung vor dem Risse, Bowie für die angulare Veränderung der Spannungen an der Spitze.Letztere Ergebnisse liefern die Grenzverteilung der Spannungen wenn r 0 and bestätigen die Voraussagen von Rice über die Existenz eines Prandtl-Feldes.

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Résumé L'article présente une solution par éléments finis en conditions élastoplastiques, au problème de l'écoulement plastique de faible étendue qui se produit au voisinage d'une fissure dans can matériau non vieillissant en conditions d'état plan de deformation.On met l'accent sur le mode de traçage des éléments finis le mieux susceptible de reproduire avec exactitude, en solution numérique, la configuration détaillée des champs de contrainte et de déformation à l'éxtrémité de la fissure; référence est faite, à cet égard, à des études analytiques précédentes sur les singularités de l'éxtrémité d'une fissure.Des résultats numériques ont été obtenus pour: le lieu de la frontière élastoplastique, la distribution angulaire de l'intensité de la singularité des déformations, le déplacement d'ouverture de l'éxtrémité de la fissure, la distribution des contraintes en avant de la fissure, et la variation angulaire des contraintes à l'éxtrémité de la fissure.Ces derniers résultats, qui fournissent la distribution limite des contraintes lorsque r tend vers zéro, confirment l'existence d'un champ de Prandtl, ainsi que Rice l'avait prédit.

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Presently with Generator Department, General Electric Company, Schenectady, New York.     

Theory of fatigue crack growth based on a BCS crack theory with work hardening

Our theory of fatigue crack growth, which is based on the Bilby, Cottrell, and Swinden crack theory, is modified to take into account work hardening at fatigue crack tips. In this analysis stress rather than cumulative displacement or cumulative damage is the quantity whose critical value controls the crack growth. The material at the tip of a fatigue crack progressively work hardens until the stress there reaches a critical value. The material then tears apart and the crack advances until it reaches a region in which the stress is smaller than the critical value. An equation which describes the growth of fatigue cracks is derived; it is essentially the same as the crack growth equation found in the earlier analysis. The major change is the replacement of the yield stress term in the older equation with an ultimate stress term in the newer equation. The chief change is the substitution for the average yield stress in the older equation with the ultimate stress in the present equation.

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Zusammenfassung Unsere Theorie über die Ausbreitung der Müdigkeitsriße, die sich auf die Rißbildungstheorie von Bilby, Cottrell und Swinden begründet, wurde umgeändert um das Härten durch Kaltverformung an der Spitze des Müdigkeitsrisses zu berücksichtigen.In dieser Analyse ist eher die Spannung, als die summierte Fortbewegung oder der summierte Schaden, die Quantität deren kritischen Wert die Ausbreitung des Risses kontrolliert. Die Materie an der Spitze des Müdigkeitsrisses härtet sich nach und nach durch Kaltverformung bis die Spannung dort einen kritischen Wert erreicht. Das Material zerreißt sich dann und der Riß schreitet voran bis er eine Stelle erreicht wo die Spannung niedriger ist als der kritische Wert. Line Gleichung, die die Ausbreitung des Müdigkeitsrisses beschreibt wird abgeleitet und sie hat größtenteils die selbe Form wie die die früher aufgestellt wurde. Der Hauptunterschied liegt darin daß die Elastizitätsgrenze in der älteren Gleichung durch die Bruchspannung in der neuen Gleichung ersetzt wird.

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Résumé La théorie sur la croissance des fissures de fatigue, développée par l'auteur sur la base de la théorie de la fissuration de Billy, Cottrel et Swinden, a été modifiée pour tenir compte de l'écrouissage à la pointe de la fissure de fatigue. Selon cette analyse, c'est davantage la tension que le déplacement cumulé ou le dommage cumulé qui est la grandeur dont une valeur critique régit la croissance de la fissure.Le matériau à la pointe d'une fissure s'écrouit petit à petit jusqu'à ce que la tension atteigne en cet endroit une valeur critique. Le matériau est alors le siège d'une rupture par séparation et la fissuration progresse jusqu'à atteindre une région où la tension est plus faible que la valeur critique. La croissance des fissures de fatigue a été ainsi décrite par une équation, qui a essentiellement la même forme que celle qui a été établie précédemment. La principale différence réside dans le remplacement du terme limite élastique par un terme charge de rupture dans la nouvelle équation.

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Support by the U.S. Office of Naval Research Contract N00014-67-A-0356-0016.     

Distribution of crack extension force,the Ĵ-integral,along a through-crack-front of a plate

The -integral is an extension of the J-integral proposed by Rice. It represents the crack-extension force; i.e., the energy release rate per unit of a crack-tip translation in three-dimensional elastic-plastic materials. The distribution of the -integral along the crack-front in a plate subjected to a monotonic loading is determined by a three-dimensional elastic-plastic finite element method.The three-dimensional calculation elucidates that the -integral takes its maximum value at the mid-thickness of the plate and takes a smaller value near the plate surfaces. It is shown that the -integral at the mid-thickness takes an intermediate value between those obtained by two-dimensional plane-strain and plane-stress computations; and that for a compact specimen it agrees with the J-integral value determined from the computed load versus the load-line-displacement curve using the Merkle-Corten formula.

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Résumé L'intégrale J est une extension de l'intégrale J proposée par Rice. Elle représente une force d'extension d'une fissure, à savoir le taux de relaxation de l'énergie par unité de translation de l'extrémité de la fissure dans des matériaux tridimensionnels élasto-plastiques. On détermine la distribution de l'intégrale J le long du front de fissuration dans une tôle soumise à charge croissante, à l'aide d'une méthode élastoplastique par éléments finis sur trois dimensions.Le calcul tridimensionnel permet d'établir que l'intégrale J revêt sa valeur maximale à mi-épaisseur de la tôle, et une valeur plus faible au voisinage des surfaces de la tôle.On montre que l'intégrale J à mi-épaisseur prend une valeur intermédiaire entre les valeurs ci-dessus, lorsqu'elle est déterminée par calculs à deux dimensions en état plan de déformation on en état plan de tension. On montre aussi que, dans le cas d'une éprouvette compacte, cette valeur est en accord avec la valeur de l'intégrale J établie à partir de la courbe calculée en fonction du déplacement sur la ligne de charge, à l'aide de la formule de Merkle-Corten.

     

Creep in low endurance fatigue of mild steel

An analytical solution, based on non-linear beam theory, has been derived to compute the cyclic values of the J contour integral in beam specimens subjected to load cycling and fatigue crack growth above the yield point where large deflections due to cyclic creep occur. The solution has been applied to the particular case of the contoured DCB specimen. When the shear force and rotation at the crack tip were considered the agreement between the computed and the experimental cyclic creep deflection, due to fatigue crack growth on the contoured DCB specimen, were good. The cyclic value of J, J, was found to be dependent, among other factors, on the cyclic creep properties of the material obtained in load-cycling tests on plain cylindrical specimens. The agreement between the computed J values and the experimental ones were also good.

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Résumé Une solution analytique basée sur la théorie des poutres non linéaires a été établie pour calculer la valeur cyclique de l'intégrale de contour J dans les poutres sujettes à charge cyclique et à propagation de fissure de fatigue au delà de la limite élastique lorsque des déflections importantes, dues à un fluage cyclique, se présentent. La solution a été appliquée au cas particulier d'éprouvette double Cantilever. Lorsque la force de cisaillement et la rotation à l'extrémité de la fissure sont prises en considération, on a trouvé un bon accord entre la déflection de fluage cyclique calculée et la déflection de fluage cyclique expérimentale due à la croissance de la fissure de fatigue dans l'éprouvette DCB. La valeur cyclique de J, J a été trouvée dépendante parmi d'autres facteurs des propriétés de fluage cyclique du matériau obtenues lors d'essais de charge cyclique sur des éprouvettes cylindriques pleines. L'accord entre les valeurs de J calculées et les valeurs expérimentales a également été trouvé satisfaisant.

     

Crack opening displacement and the rate of fatigue crack growth

Using a direct proportionality between the rate of fatigue crack growth and crack opening displacement above a threshold, it is shown that fatigue crack growth data for a wide variety of different materials can be accurately described in terms of the mechanical properties and two material constants; the constant of proportionality A and the threshold stress intensity factor K _th. Some 65 sets of data for tests at R 0 were analysed by computer and it is shown that the approach is valid to growth rates up to about 10^–4 in./cycle, i.e. until the onset of crack propagation by dimple formation. It is found that A can be related to the yield strain for crack growth in non-aggressive environments, and is increased by increasingly severe environments, while K _th is decreased. These changes provide a measure of the severity of the environment. Crack growth rate in non-aggressive environments is shown to be independent of the yield stress and proportional to the strain intensity factor above the threshold. The tabulation of A and K _th values as a function of material, environment and loading conditions provides a systematic engineering approach to estimating rates of fatigue crack growth and in determining the residual lifetimes of flawed structures.

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Zusammenfassung Unter Zuhilfenahme einer direkten Proportionalität zwischen der Rißfortpflanzungsgeschwindigkeit von Ermudungsrissen und dem COD oberhalb eines gewissen Grenzwertes, konnte gezeigt werden, daß die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Ermüdungsrissen in verschiedenen Werkstoffen befriedigenderweise in Abhängigkeit von den mechanischen Eigenschaften der gegebenen Werkstoffe und von zwei Konstanten ausgedrückt werden kann. Diese beiden Konstanten sind ein Proportionalitätsfaktor A und ein Spannungsintensitatsfaktor K _th welcher einem kritischen Grenzwert entspricht.Die numerische Auswertung der Ergebnisse von rund 65 Versuchsreihen bei R0 ermöglichte es zu zeigen daß these Annäherung für Fortpflanzungsgeschwindigkeiten bis zu rund 10^–4 Zoll pro Lastspiel anwendbar ist, d.h. für einen Geschwindigkeitsbereich in dem die Rißfortpflanzung mit der Bildung von Schuppen gekoppelt ist.Außerdem fand man, daß im Falle wo die Fortpflanzungsgeschwindkeit in einer nich agressiven Umwelt stattfindet, die Konstante A mit der Elastizitätsgrenze in Zusammenhang gebracht werden kann und, daß diese Konstante mit der Aggresivität der Umgebung ansteigt, während der Wert der Konstanten K _th abfällt. Diese Veränderungen ermöglichen es die Aggressivität der Umwelt abzuschätzen.Es wird weiter gezeigt, daß in einer nicht aggressiven Umwelt die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von der Elastizitätsgrenze unabhängig und dem Intensitätsfaktor der über der kritischen Grenze liegenden Spannungen proportional ist.Durch das Aufstellen von Tabellen der Werte von A und K_th in Abhängigkeit vom Werkstoff, der Umwelt und der Beanspruchungsbedingungen, verfügt man über ein praktisches und systematisches Hilfsmittel zur Abschätzung der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten von Ermüdungsrissen und der noch verbleibende Lebensdauer von gerissenen Bauelementen.

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Résumé En recourant à une proportionlialité directe entre la vitesse de propagation des fissures de fatigue et le COD d'une valeur supérieure à un certain seuil, on démontre que les données de vitesse de propagation des fissures de fatigue relatives à des matériaux différents peuvent être exprimées de manière satisfaisante en fonction des propriétés mécaniques de ces matériaux et de deux constantes: une constante de proportionnalité A et can facteur d'intensité de contraintes K _th correspondant à un seuil critique.L'analyse numérique de quelques 65 séries de données d'essais de fatigue à R0 a permis de montrer que cette approche est applicable à des vitesses de propagation allant jusqu'à 10^–4 pouces/cycle environ, c'est-à-dire une gamme de vitesses où la propagation de fissures est associée à la formation de cupules.On trouve que la constante A pent être mise en relation avec la limite élastique dans le cas où la propagation s'effectue en milieu non agressif, et que cette constante s'accroit avec l'agressivité du milieu tandis que décroît la constante K _th. Ces modifications permettent d'apprécier la sévérité dun milieu ambiant.Dans un milieu non agressif, on montre que la vitesse de propagation est indépendante de la limite élastique, et qu'elle est proportionnelle au facteur d'intensité des contraintes excédant le seuil critique.En présentant les valeurs de A et de K _th sous la forme de tables en fonction du matériau du milieu ambiant et des conditions de sollicitation, on dispose d'une approche pratique et systématique permettant d'estimer les vitesses de propagation des fissures de fatigue et de déterminer l'endurance résiduelle d'éléments de construction fissurés.

     

Fatigue in rate sensitive solids

The fatigue process, viewed as a sequence of slow growth periods, is described by a non-linear differential equation of the first order which includes the creep component of crack growth in a visco-elastic solid. It is shown that fracture in a rate sensitive medium may extend even under sustained or decreasing loads. The total rate of growth consists therefore of two terms where the first term is a familiar power law, valid for a high-cycle range and limited plasticity effects, while the second one accounts for the time-dependent contribution. Here f denotes frequency, Y is the yield stress, K_cdenotes fracture toughness, K stands for the stress intensity range while the crack closure correction , the rate sensitivity C and the constant R _* are defined in the text.

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Zusammenfassung Der Müdigkeitsvorgang, bestehend aus einer Reihenfolge von langsamen Wachstumsperioden, wird durch eine nicht lineare Gleichung vom ersten Grad, die die Kriechkomponente der Rißausbreitung in einem zähflüssig elastischen Körper enthält, dargestellt. Man zeigt daß der Bruch sich, in einem Geschwindigkeits empfindlichen Medium, auch unter Dauerlast oder abnehmender Last ausbreiten kann. Daher besteht die Wachstumsgeschwindigkeit aus zwei Begriffen wovon der erste ein bekanntes Leistungsgesetz ist gültig im Dauerfestigkeitsbereich und für beschränkte plastische Effekte, weil der zweite den zeitabhängigen Anteil berücksichtigt. Mit f=Frequenz, Y=Elastizitätsgrenze, K_c=Bruchzähigkeit, K=Bereich der Spannungsintensität während die Rißschliessungskorrektur , die Geschwindigkeitsempfindlichkeit C und die Unveränderliche R im Text bestimmt werden.

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Résumé Le processus de fatigue, lorsqu'on le considère comme une séquence de périodes de croissance lente de microfissures, peut être décrit par une équation différentielle non linéaire du premier ordre, qui comporte la composante fluage de la croissance de la fissure dans un solide viscoélastique. On montre que la rupture dans un corps sensible à la vitesse de sollicitation peut s'étendre même sous des charges à amplitude constante, voire décroissante.La vitesse totale de croissance la fissure comporte donc deux termesLe premier est la relation parabolique familière, valable pour le domaine d'endurance où la plasticité n'a que des effets limités. Le second exprime la contribution du facteur temps. La fréquence est représentée par f, la limite élastique par Y, et la ténacité par K_c; K désigne la variation du facteur d'intensité des contraintes la correction de fermeture de la fissure, C la sensibilité à la vitesse de déformation et R une constante. Ces trois derniers paramètres sont définis dans le texte.

     

A tentative explanation for two parameters,C and m,in Paris equation of fatigue crack growth

The two parameters, C and m, which characterize the Paris equation for fatigue crack growth are explained in relation to the crack closure concept suggested by Elber. It is proposed that the range of effective incremental change in stress intensity factor (K) needed for crack growth should have a second power correlation with the growth rate. The crack growth is essentially determined by cumulative damage to the material in cycled plastic zone near the crack tip, and is relatively insensitive to the applied K-values and the mechanical properties of material. However, the crack closure behavior is expected to depend on both the stress range and the material properties. Thus it is concluded that the exponent parameter m reflects mainly the dependency of crack closure behavior on K. For example, in the case of m=4 the crack opening level increases linearly with increase in K, while in the case of m=2 it remains constant. It is suggested that the cyclic straining at the crack tip possibly varies with K, thus changing primarily the crack closure behavior rather than the damage accumulation process in the plastic zone.

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Résumé Les deux paramètres, C et m, qui caractérisent l'équation de Paris pour la propagation des fissures de fatigue sont expliqués en relation avec le concept de fermeture d'une fissure suggéré par Elber. On propose que la grandeur du changement effectif du facteur d'intensité de contrainte K nécessaire à l'accroissement d'une fissure figure à une puissance deuxième dans une corrélation avec le taux de croissance. La croissance d'une fissure est essentiellement déterminée par le dommage cumulatif infligé au matériau dans la zône de déformation plastique cyclique au voisinage de l'extrémité de la fissure; il est relativement insensible aux valeurs appliquées de K et aux propriétés mécaniques du matériau. Toutefois, le comportement à la fermeture d'une fissure devrait dépendre à la fois du taux de contrainte et des propriétés du matériau. Il est donc conclu que le paramètre exponentiel m représente principalement la dépendance du comportement à la fermeture d'une fissure par rapport à K. A titre d'exemple, dans le cas de m=4, le niveau de fermeture de la fissure augmente linéairement avec un accroissement de K, tandis que, dans le cas de m=2, il demeure constant. On suggère que les déformations cycliques à l'extrémité de la fissure peuvent varier avec K et modifient ainsi en premier lieu le comportement à la fermeture de la fissure plutôt que le processus d'accumulation de dommages dans la zône plastique.