带有给定切线多边形的C-Bézier闭曲线和B-型样条闭曲线

§1.引 言 Bézier曲线和B样条曲线已广泛应用到汽车、航空、造船等许多领域中.Hering讨论了与凸多边形每边相切的分段三(四)次 Bézier闭曲线和三(四)次B样条闭曲线.它的所有Bézier点必须通过求解大型方程组得到,计算量大,且曲线易出现拐点,而B样条闭曲线的控制点要通过反算得到[1].方逵改进了Hering的方法,构造了G2连续的分段三次曲线[2],基本上克服了Hering方法的两个缺点,但局部修改仍然是比较复杂的.方逵等再次研究了与任意多边形相切的分段四次和五次Bézier曲线[3],但五次Béier曲线不能作局部修改.本文的第二节研究了与任意多边形相切的分段C-Bézier曲线,该曲线C1连续的,且对切线多边形具有保形性,每段C-Bézier曲线上的控制点由切线多边形的顶点计算     

OR插值曲线构造及Bézier曲线逼近

根据平面多项式曲线的等距有理参数化条件,构造了具有不同连续阶的OR插值曲线.由于OR曲线可通过恰当的参数变换产生有理形式的等距线,因此根据给定B啨zier曲线离散端点条件,可构造特定连续阶的OR样条曲线来逼近该Bézier曲线,而将OR样条曲线的精确等距线作为B啨zier曲线的逼近等距线.     

基于C-Bézier曲线的汉字轮廓字库描述及生成

提出了一种基于 C- Bézier曲线的汉字轮廓字体表示新方法 .C- Bézier曲线可以在不改变 C- Bézier曲线控制点的前提下 ,调整曲线的形状 ,同时可以将该 C- Bézier曲线完全地退化到原来的 Bézier表达的曲线 .该描述方法支持汉字风格的动态调节 ,可利用它描述多种汉字字体 ,并支持动态字形的生成 .     

逼近三次B 样条导矢曲线的四次Hermite 插值样条

给出了形状可调的四次Hermite 插值样条曲线的构造方法。四次样条曲线可提供额 外的自由度用于调整曲线具有合理形状。利用导矢逼近使得四次Hermite 样条曲线具有与三次B 样条曲线相似的形状。通过最小化曲线间的导矢误差给出了确定自由度的方法,提出了四次 Hermite 插值样条曲线的构造方法。该方法增加了自由度控制曲线形状能更好满足保形要求。最 后以实例对构造的四次Hermite 样条曲线和标准三次Hermite 插值样条曲线进行了比较。     

可调配广义Bézier曲线的构造及应用

构造了一类带有形状控制参数的可调配广义Bézier曲线,它们继承了Bézier曲线的优点.曲线表示简单、直观.此外由于它们还带有形状控制参数,当曲线的控制顶点固定时,可以通过形状参数的调整实现对曲线的形状进行调节.特别地,当控制参数λ=0时,由控制顶点所定义的曲线即为Bézier曲线.同时它们既可以精确表示直线段、二次多项式曲线段又可以精确表示圆弧、椭圆弧等二次曲线.     

三次Bézier曲线间的几何延拓算法

在保持几何连续及光顺的条件下,将一条已知的三次Bézier曲线延拓到另一条与其不相邻接的三次Bézier曲线,其中间媒介同样是三次Bézier曲线,可以是一条,也可以是2条,而且其形状可以由用户加以调整.同时利用几何拼接的条件构造出形状可调的延拓曲线,进而对近似于曲线弧长、曲线能量、曲率变化率的几类目标函数分别极小化,以生成各种光顺的曲线.     

局部可调整C2参数四次插值曲线构造

讨论了局部可调整C2参数四次样条曲线的构造问题.将四次样条曲线降为C2连续可提供自由度用于控制曲线的形状.给出了一个确定自由度的局部化方法.首先用二次样条函数方法局部化地在每个数据点处确定一个切矢量,数据点和切矢量大致决定了四次样条曲线的形状.每段曲线上的自由度由极小化该段样条曲线的变化率确定.对样条曲线上不理想的部分,为其重新定义理想运动矢量,若曲线沿理想运动矢量方向变化可形成理想轨迹,用曲线导矢量和运动矢量的向量叉乘平方的积分定义目标函数,曲线的不理想的部分通过极小化目标函数进行修改.最后,用实例对新方法和其他几种方法构造的曲线形状进行了比较,并给出了对曲线采用向量叉乘技术定义目标函数作局部调整的效果.     

广义三阶Bézier曲线的几何构造

针对一类含有3个形状参数的广义三阶Bézier(GCB)曲线,推导出GCB曲线的基函数与四次Bernstein基函数的转换公式。利用升阶公式,建立了它与四次Bézier曲线的关系,给出了几何结构和矩阵表示形式。GCB曲线不仅具有三次Bézier曲线的特征,而且在控制多边形保持不变的条件下,具有形状可调性和对控制多边形更好的逼近性。实例表明:构造的GCB曲线为曲线曲面设计提供了有效的新方法。     

三次有理Bézier曲线的形状调整方法

给出了两类调整三次有理Bézier曲线形状的方法。一类方法是使曲线通过给定的插值点,从而实现曲线的形状调整。另一类方法是将曲线上的点作为控制多边形两边连线段上的分点,通过调整分线段的比例,实现对曲线的形状调整。针对不同情况,分别给出了权因子的计算公式。计算方法简单,使用方便,并使三次有理Bézier曲线的形状调整更加具体和明确。同时,由计算结果得到了任意三次有理Bézier曲线不相交的充分必要条件。     

带有给定切线多边形的C~2和C~3 Bzier闭样条曲线

讨论与给定切线多边形相切的分段四次和五次 Bézier曲线 ,所构造的曲线是 C2 和 C3连续的 ,且对切线多边形是保形的 .曲线上的所有 Bézier曲线段的控制顶点由切线多边形的顶点直接计算产生 .最后实例表明 ,本文的方法是有效的 .     

一类带形状参数的类四次三角Bézier曲线

本文给出了带形状参数的类四次三角多项式Bézier曲线。由五个控制顶点生成的曲线不仅具有类似于四次Bézier曲线的诸多性质,而且其形状可由一个参数进行调节,使得该曲线具有更强的表现能力。参数有明确的几何意义:参数越大,曲线越逼近控制多边形,具有比四次Bézier曲线更好的逼近性。曲线无需有理形式即可精确表示圆、椭圆、抛物线等二次曲线弧。为便于自由曲线的设计,还讨论了两段曲线的拼接性,并给出了曲线G2和C3连续的拼接条件。应用实例表明,该曲线在计算机辅助几何设计中具有较高的应用价值。     

基于约束优化的Bézier曲线的形状修改

在计算机辅助几何设计和计算机图形学中,Bézier曲线是一种常用的参数曲线,如何方便地设计和修改Bézier曲线是一个重要研究课题.研究了基于几何约束的Bézier曲线的优化的形状修改,提出一种基于修改曲线控制顶点的约束优化方法.该方法通过修改初始Bézier曲线的控制点来满足给定的约束,并理想地修改曲线的形状.同时给出了一些实例.     

多形状参数的三次非均匀三角多项式曲线

对于非均匀节点向量给出了一类带多个形状参数的三次三角多项式曲线,这类曲线具有三次多项式B样条的许多重要性质:对非重节点为C2-连续,对均匀节点则为C3-连续,能直接表示椭圆.根据形状参数的各种不同取值,人们既能整体、又能局部地调控这类曲线的形状.此外,还讨论了多形状参数的三角Bézier曲线的情况.     

C1三次插值样条曲线曲面

利用Bézier曲线的端点插值性质,得到了构造三次插值样条曲线曲面的一种改进的基函数——BB基函数。由BB基函数构造了C¹保形三次插值样条曲线;构造了C¹双三次插值样条曲面。     

三次PH曲线偶的C1 Hermite插值

对计算机图形中一类特殊的多项式曲线—— Pythagorean hodograph(PH )曲线的 C1 Herm ite插值问题进行研究 .PH曲线具有诸如有精确的有理 Offset、弧长函数可由多项式函数表示以及几何解释优美等一系列优良性质 .基于复分析方法 ,避免了实分析讨论中出现的复杂表示及繁琐计算 ,构造了满足给定 C1 Hermite插值条件且以C1拼接连续的三次 PH曲线偶 .该曲线偶可灵活处理拐点 ,从而克服了一般三次 PH曲线因恒凸而无法处理拐点的缺陷 .相应的两条 Bézier曲线表示及其控制顶点的计算简单方便 .所得 4条插值曲线中 ,通常有 1条曲线具有很好的几何形状特征 .结果可直接应用于各工业产品设计及加工领域中 .     

基于约束优化的Bézier曲面形状修改

Bézier曲线和曲面广泛应用于CAGD(计算机辅助几何设计)和计算机图形学,对Bézier曲线或者曲面的设计和形状修改是一个重要的问题。研究了基于几何约束的Bézier曲面优化问题,对单点和多点约束的问题,提出了一种通过修改控制点的约束优化方法。用这种方法,通过修改原Bézier曲面的控制点来修改曲面的形状并满足给定的约束条件,同时给出了数值实例,其结果表明,用拉格朗日方法能有效地解决Bézier曲面的形状修改问题。     

一类可调控的三次多项式曲线

为拓展Bézier曲线的表示方法,本文首先给出了一组带有两个形状参数的三次调配函数,是二次Bernstein基函数的一种扩展。然后,基于该调配函数生成了一类可调控的三次多项式曲线,并讨论了该曲线与二次Bézier曲线及三次Bézier曲线之间的关系。事实表明,该曲线是二次Bézier曲线的一种扩展,不仅具有二次Bézier曲线的诸多特性,而且由于带有两个形状参数,使得曲线具有更强的表现能力,在控制顶点不变时,可通过修改两个形状参数对曲线进行局部或全局调节。为方便自由曲线的设计,还讨论了两段曲线的拼接条件,给出了该曲线在曲线设计中的实例应用。     

光滑曲面上的G1插值曲线

在计算机图形学和计算机辅助几何设计中,限制在光滑曲面上保持几何连续的曲线插值技术显现出越来越重要的作用.文中用直纹面投影的思想研究了这一问题,给出了一种在光滑曲面上保持G1连续的样条曲线插值技术.首先构造一条插值曲面上已知点列的空间3次Bézier样条曲线,然后通过一张直纹面将这条空间插值曲线投影到已知曲面上,即可得到限制在已知光滑曲面上的G1插值曲线.理论推导和实例显示表明,该技术具有推广应用的广阔前景.     

广义Bézier曲线

为了有效地改进Bézier曲线的形状,给出了带局部形状参数的广义Bézier曲线,该曲线的表示式以一种函数的高阶逼近式为依据.通过对目标导矢和目标二阶导矢的系数的调整,生成满意的多项式曲线.所给曲线以Bézier曲线为特殊情形,能对较高次的B啨zier曲线进行有效地修改,也能方便地进行曲线段的拼接.     

带形状参数的Bézier曲线的能量优化

相较于经典的Bézier曲线,带形状参数的Bézier曲线提供了独立于控制顶点的形状调整自由度,但同时又增加了设计人员选择形状参数的工作量。鉴于此,主要讨论形状参数的选取方案。首先证明了已有文献中给出的Bernstein基函数的含参数扩展基为全正基,从而保证了相应的带形状参数的Bézier曲线的理论价值;然后采用能量最小化方法来确定曲线中形状参数的取值,推导了曲线的拉伸能量、弯曲能量、扭曲能量近似最小时,形状参数的计算公式,为曲线的应用提供了方便。