Ein algorithmisches Planaritätskriterium

Zusammenfassung Es wird ein lokales und ein globales Planaritätskriterium für Graphen angegeben. Auf der lokalen Ebenheitsbedingung läßt sich ein Algorithmus aufbauen, mit welchem ein Graph gegebenenfalls Schritt für Schritt in die Ebene abgebildet werden kann.Der Algorithmus beruht auf der Rechnung mit Symbolen aus einer freien, kommutativen, nicht-assozitativen Algebra und auf der algebraischen Auswertung derartiger Formeln. Ein Beispiel zeigt die Anwendung des Algorithmus.

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Summary A local and a global criterion for a graph to be planar is given. On these criteria, a step-by-step procedure is based for mapping the graph in the plane.This algorithm works by manipulating formulas in a free commutative non associative algebra. An example at the end of the paper illustrates the functioning of the algorithm.

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Mit 6 Textabbildungen.

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Die Arbeit stellt einen Teil der Habilitationsschrift dar, die der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Freien Universität Berlin von Verfasser vorgelegt wurde.     

Die Bedeutung der Normalität bei rationaler Tschebyscheff-Approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Bedeutung der Normalität einer Funktionf (x) bezüglich der rationalenT-Approximation für die numerische Behandlung des Problems herausgearbeitet.Unter Voraussetzung der Normalität vonf (x) läßt sich zeigen, daß dieTschebyscheff-ApproximierendeT [f] Lipschitz-stetig vonf (x) abhängt. Weiter wird ein vollständiger Beweis für die Konvergenz desRemes-Algorithmus beim Start mit einer hinreichend guten Näherungslösung gegeben. Die Konvergenz ist bei stetigenf (x) zumindest linear. Schließlich wird untersucht, wie stark sich die diskreteT-Approximation vonf (x) (d. h. Approximation auf einer im Intervall gegebenen endlichen Punktmenge) von der ApproximationT [f] unterscheidet. Es werden qualitative Aussagen gewonnen.

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Summary In this paper the significance of normality of a functionf (x) with regard toT-Approximation for the numerical treatment of the problem is set forth.Assumingf (x) to be normal theLipschitz-continous dependence of theTschebyscheff-approximationT [f] onf (x) is shown. Under the same assumption a detailed proof of the convergence of theRemes Algorithmus for a sufficiently good initial approximation is provided. The convergence is at least linear. Finally the discreteT-Approximation off (x) (approximation on a finite point set of the interval) is compared withT [f]. There are qualitative results.

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Mit 1 Textabbildung     

Anwendung einer Art verallgemeinerter Zahlendarstellung bei der schnellen Fouriertransformation

Zusammenfassung Es wird eine Art verallgemeinerte Zahlendarstellung eingeführt, die es gestattet, das bei der Programmierung derSchnellen Fourier-Transformation auftretende Umspeicherproblem geeignet darzustellen. Außerdem werden der Algorithmus derschnellen Fourier-Transformation beschrieben und im Anhang je zwei FORTRAN-Programme der (eindimensionalen)schnellen Fourier-Transformation für den allgemeinen FallN=L ₁ L ₂ ...L _m und den SpezialfallN=L ^m vorgelegt. Je eines der Programme erledigt Transformation und Umspeicherung in place (auf den Plätzen des zu transformierenden Bereichs).

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Summary A kind of generalized number representation is proposed to meet the unscrambling problem offast Fourier transforms. Thefast Fourier transform algorithm is described, and four general FORTRAN programs for the one-dimensional case withN=L ₁ L ₂ ...L _m andN=L ^m are presented in an appendix, two of which do transformation and unscrambling in place.

     

Direkte Verfahren zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen

Zusammenfassung Wenn hinreichend genaue Näherungen für die Nullstellen eines Polynoms vorliegen, liefern numerische Iterationsverfahren Folgen von Näherungswerten, für welche die zugehörigen Folgen der Beträge der Funktionswerte monoton fallen. Es wird ein mit Spiralisierung bezeichneter zweidimensionaler Suchprozeß angegeben, mit dem man derartige Folgen für beliebige Ausgangsnäherungen erhält. Auf diese Weise gewinnt man direkte, d. h. für beliebige Näherungen konvergente Verfahren. Die Folgen der Näherungswerte werden durch Extrapolation verbessert. ALGOL-Prozeduren und numerische Ergebnisse für ein direktesNewton-Verfahren sowie für ein direktes Verfahren 3. Ordnung, das derMullerschen Methode verwandt ist, werden angegeben. Die Methoden lassen sich auch zur Berechnung der Nullstellen analytischer Funktionen verwenden.

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Direct methods for evaluation of zeroes of polynomials

Summary If sufficiently exact approximations for the zeroes of polynomials are present then numerical iterative methods yield sets of approximations for which the corresponding sets of absolute values of the functional values are monotonous decreasing. It is described by a twodimensional searching process, named method of spiral course, how to get such sets for arbitrary starting approaches. In this way we get direct methods, that is to say convergent methods for arbitrary approaches. The sets of approaching values are improved by extrapolation. ALGOL procedures and numerical results are given for a directNewton method and a direct third order method, which has a relationship to theMuller method. The treated methods also can be used for the evaluation of the zeroes of analytical functions.

     

Über die Approximation asymptotischer Entwicklungen I

Zusammenfassung Für einige Typen linearer homogener Differentialgleichungen werden an Stelle der asymptotischen Entwicklungen für große Werte der unabhängigen Variablenx Approximationen im gleichmäßigen Sinne aus der Differentialgleichung heraus entwickelt. Im vorliegenden ersten Teil werden Lösungen mit exponentiellem Abklingen untersucht. Man erhält exakte Aussagen über die Abweichung von der besten Approximation durch Polynome inx ^–1 und numerisch günstige Näherungen, die zur Aufstellung von Unterprogrammen benutzt werden können. Am Beispiel der Gaußschen Normalverteilung wird das Verfahren explizit durchgeführt.

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Summary For some types of linear homogeneous differential equations approximations in the uniform sense (instead of asymptotic expansions) for large values of the independent variable are derived. In this first part only solutions with a decreasing exponential factor are considered. Exact statements concerning the deviation from the best approximation by polynomials inx ^–1 and good numerical approximations as to be used in setting up subroutines for digital computers are obtained. As an example serves the normal distribution of Gauss.

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Mit 1 Textabbildung     

Über die Charakterisierung von Minimallösungen bei nichtlinearen Approximationsproblemen

Zusammenfassung Approximiert man bezüglich eines gewissen Abstandsbegriffes in einem linearen RaumX ein Elementf ausX durch Elemente eines linearen UnterraumesV, so lassen sich für die Elemente ausV, die vonf den kleinsten Abstand haben, Charakterisierungssätze beweisen, die für normierte Räume bekannt sind und sich dort als bedeutsam für Anwendungen erwiesen haben. Es wird nun die Frage untersucht, für welche TeilmengenV vonX die für lineare Unterräume geltenden Charakterisierungssätze auch noch gelten.

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On the characterization of minimal solutions to nonlinear approximation problems

Summary If, referring to a certain definition of distance in a linear space X, you approximate an elementf ofX by elements of a linear subspaceV, characterization theorems can be found for elements ofV, which have the shortest distance fromf. These theorems of characterization are known for linear normed spaces and have turned out to be of a certain importance for applications. This paper intends to clear the question, to which subsetsV ofX the theorems of characterization for linear subspaces apply as well.

     

Computational aspects of deciding if all roots of a polynomial lie within the unit circle

In this paper we discuss the computational aspects of two algorithms due to E. I. Jury for determining if all the zeros of a polynomial with integer coefficients lie within the unit circle. We show that Jury's original algorithm asymptotically requires an exponential amount of computing time when variable-precision arithmetic is employed. We show that his modified algorithm requires only a polynomially bounded amount of computing time when variable-precision arithmetic is employed. Finally we produce a congruence arithmetic algorithm analogous to Jury's modified algorithm which requires less computing time than Jury's modified algorithm.

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Rechnerische Gesichtspunkte zur Beantwortung der Frage, ob alle Wurzeln eines Polynoms im Einheitskreis liegen

Zusammenfassung In dieser Arbeit diskutieren wir die rechnerischen Gesichtspunkte zweier Algorithmen von E. I. Jury zur Entscheidung ob alle Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten im Einheitskreis liegen. Wir zeigen, daß beim ursprünglichen Algorithmus von Jury die Rechenzeit asymptotisch exponentiell mit dem Grad des Polynoms anwächst, wenn mit variable Genauigkeit gerechnet wird. Wir zeigen auch, daß unter denselben Voraussetzungen beim modifizierten Algorithmus von Jury die Rechenzeit durch eine Potenz vom Grad des Polynoms abgeschätzt werden kann. Schließlich geben wir einen auf Kongruenzen beruhenden, zum modifizierten Algorithmus von Jury analogen Algorithmus an, der aber weniger Rechenzeit als dieser benötigt.

     

Fehlerabschätzung reeller Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Zusammenfassung Reelle, einfache Eigenwerte und die dazugehörigen reellen Eigenvektoren einer quadratischen Matrix werden mit Hilfe einer Intervallarithmetik unter Berücksichtigung aller Rundungsfehler abgeschätzt. Für diese Fehlerabschätzung benötigt man als Daten die Näherungswerte eines Eigenwertes und des entsprechenden Eigenvektors, welche man sich nach irgendeinem numerischen Verfahren verschafft hat. Als Ergebnis erhält man ein Intervall und einen Intervallvektor, welche den zugehörigen exakten Eigenwert bzw. den exakten Eigenvektor enthalten. Gleichzeitig ergibt sich daraus auch die Existenz eines reellen Eigenwertes.

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Error estimates for real eigenvalues and eigenvectors of matrices

Summary Bounds including round off errors are given for real simple eigenvalues and corresponding eigenvectors of a square matrix by using interval-arithmetics. For this error estimate approximate values are needed for an eigenvalue and the corresponding eigenvector which can be gained by an arbitrary numerical method. The result is an interval and an intervalvector containing the exact eigenvalue and eigenvector respectively. Also the existence of a real eigenvalue is verified.

     

An augmenting path method for solving Linear Bottleneck Assignment problems

An efficient method for solving Linear Bottleneck Assignment problems is described. The method starts with a heuristically determined partial assignment. Then shortest augmenting paths are constructed with the aid of a modification of the algorithm of Dijkstra. Comprehensive numerical investigations are reported and discussed. A FORTRAN IV subroutine can be found in the appendix.

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Ein Lösungsverfahren für lineare Engpaßzuordnungsprobleme mittels erweiternder Wege

Zusammenfassung Ein effizientes Verfahren zur Lösung linearer Engpaßzuordnungsprobleme wird beschrieben. Dabei wird von einer heuristisch bestimmten Teilzuordnung ausgegangen. Anschließend werden kürzeste erweiternde Wege mit Hilfe einer Modifikation des Algorithmus von Dijkstra bestimmt. Ausführliche numerische Untersuchungen sind dargestellt und diskutiert. Eine FORTRAN IV Subroutine findet sich im Anhang.

     

Best mean rational approximation

Summary The properties of best rational approximations with respect to a generalized integral norm on [a, b], which includes allL _p norms, 1p<, are considered. A necessary condition for an approximation to be (locally) best is obtained. A lower bound is given on the number of sign changes of the error curve or the number of points of interpolation. The problem of when a best approximation by polynomial rational functions can be degenerate is studied: it is shown that iff is analytic, degenerater is best tof only iff=r. Some non-uniqueness results for approximation of odd and even functions by polynomial rational functions are given. An example is given in which a local minimum of the error is not a global minimum.

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Beste mittlere Rationalapproximation

Zusammenfassung Betrachtet werden die Eigenschaften der besten rationalen Approximation mit Rücksicht auf ein verallgemeinertes Integralnorm auf [a, b], das einL _p -Norm einschließt 1p<, erhalten wird eine notwendige Bedingung, wenn eine Approximation (lokal) am besten ist. Gegeben wird eine untere Grenze für die Anzahl der Zeichenwechsel der Fehlerkurve oder für die Anzahl der Interpolationspunkte. Untersucht wird das Problem, wann eine beste Approximation bei rationalen Polynomfunktionen entartet sein kann: es wird gezeigt, daß, wennf analytisch ist, ein entartetesr am besten zuf nur dann ist, wennf=r. Einige nicht eindeutige Resultate für Approximationen von geraden und ungeraden Funktionen bei rationalen Polynomfunktionen werden gegeben. Ein Beispiel ist angeführt, in dem ein lokales Fehlerminimum nicht ein globales Minimum ist.

     

Über die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des allgemeinen Relaxationsverfahrens bei nichtnegativen Matrizen

Zusammenfassung In der folgenden Arbeit wird zunächst (Satz 3) ein Konvergenzintervall für das Relaxationsverfahren bei einer nichtnegativen Gesamtschrittmatrix mitpositiven Diagonalelementen angegeben. Außerdem wird die asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens mit der des Einzelschrittverfahrens verglichen, und der optimale Relaxationsfaktor in diesem Intervall angegeben. Es wird ein weiteres Iterationsverfahren betrachtet, welches eine Verbesserung der asymptotischen Konvergenzgeschwindigkeit des Relaxationsverfahrens liefern kann. Der Beweis dieser Aussagen, beruht u. a. im wesentlichen auf Lemma 1, welches besagt, daß bei einer nichtnegativen konvergenten Matrix die Diagonalglieder notwendig kleiner als Eins sind. — Die weiteren Sätze enthalten ähnliche Aussagen bei allgemeineren Matrizen.

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Summary At first, an interval of convergence is obtained for the relaxation method with a non-negativeJacobi-matrix withpositive diagonal elements (Theorem 3). The asymptotic speed of convergence of the relaxation method is compared to that of the Einzelschrittverfahren and the optimal relaxation factor in the interval is given. A further iterative method is considered which may lead to an improved asymptotic convergence speed of the relaxation method. The proof of the assertions rests mainly on Lemma 1 which states that a non-negative convergent matrix has diagonal elements smaller than 1. Further theorems contain similar assertions for more general matrices.

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Erweiterte Fassung eines auf der GAMM-Jahrestagung 1968 in Prag gehaltenen Kurzvortrages.     

Beweisalgorithmen für die Prädikatenlogik

Zusammenfassung Ausgehend von einer speziellen Formulierung des Prädikatenkalküls 1. Stufe werden zwei Verfahren entwickelt, welche Widerlegungen inkonsistenter FormelnF liefern. Grundlegend für beide Verfahren ist der Begriff der Verkettung von Literals. Das erste beruht auf demHerbrad-Theorem. SeiF ⁿ die Konjunktion vonn Exemplaren der FormelF. Es wird ein Algorithmus angegeben, der entscheidet, ob es bei gegebenemn eine Belegung der Variablen vonF ⁿ gibt, bei welcher die Formel F ⁿ vollständig verkettet ist. Die Anwendung dieses Algorithmus fürn=1,2, ... führt zur Konstruktion einer aussagenlogisch inkonsistenten Formel minimaler Länge. Das zweite Verfahren beruht darauf, daß neue Clausen erzeugt werden, die aus nur einem Literal bestehen (und die mitF konsistent sind). Dieses Verfahren ist nicht vollständig, liefert aber in vielen Fällen schnellere Widerlegungen als andere Methoden; einige Maschinen-Protokolle solcher Widerlegungen sind im Anhang zusammengestellt. Das Verfahren läßt sich verallgemeinern; insbesondere bietet es eine Möglichkeit des Zusammenwirkens von Mensch und Maschine beim Beweisen mathematischer Sätze.

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Summary Starting from a special formulation of first order functional calculus two procedures are presented producing refutations of inconsistent formulas. Both procedures are based on the notion of interconnecting literals. The first one goes back toHerbrand's Theorem. LetF ⁿ be the conjunction ofn copies of the formulaF. An algorithm is introduced to decide whether, for a fixedn, there is an assignment for the variables ofF ⁿ making the formula F ⁿ completely interconnected. By applying this algorithm forn=1,2,... a truth-functionally inconsistent formula of minimal length is constructed. The basic idea of the second procedure is to produce fromF new oneliteral clauses (which are consisten withF). In many cases this proofprocedure, while not complete, is very effective in comparison with other programs; some examples of machine-refutations are given in the appendix. The method may be generalized; in particular it suggests a possibility of man-machine interaction in theorem-proving.

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Mit 1 Textabbildung

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Dieser Beitrag ist ein Auszug aus der Dissertation [19] des Verfassers.     

Reconstructing pictures from projections: On the convergence of the ART algorithm with relaxation

The convergence of the additive and linear ART algorithm with relaxation is proved in a new way and under weaker assumptions on the sequence of the relaation parameters than in earlier works. These algorithms are iterative methods for the reconstruction of digitized pictures from one-dimesional views. A second proof using elementary matrix algebra shows the geometric convergence of the linear ART algorithm with relaxation.

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Über die Konvergenz des ART-Algorithmus für die Rekonstruktion von Bildern

Zusammenfassung ART-Algorithmen sind iterative Methoden zur Rekonstruktion von digitalen Bildern aus ihren Projektionen. Die Konvergenz des additiven und linearen (nicht restringierten) ART-Algorithmus mit Relaxation wird unter weit schwächeren Voraussetzungen über die Relaxationsparameter als bei bisher bekannten Resultaten bewiesen. Ein anderer Beweis zeigt die geometrisch schnelle Konvergenz des linearen relaxierten ART-Algorithmus.

     

Ein Einschließungsverfahren für Nullstellen

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren angegeben zur Bestimmung der Nullstellen einer Funktion bzw. eines Funktionensystems in einem beliebigen, vorgegebenen BereichB. Dabei sind keine Näherungswerte für die Nullstellen erforderlich. Es sind auch keine Vorkenntnisse über die Art und die Anzahl der inB gelegenen Nullstellen nötig. Das Verfahren beruht vielmehr auf einer geeigneten Abschätzung der Funktion bzw. des Funktionensystems. Es wird gezeigt, daß die einfache Intervallarithmetik für rationale Funktionen solche Abschätzungen liefert. Die Nullstellen werden durch obere und untere Schranken eingeschlossen. Dabei hängt die Genauigkeit von der Ziffernzahl der verwendeten Rechenanlage ab. Das Verfahren wurde an zahlreichen Beispielen erprobt. Einige davon sind angegeben.

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Summary In this paper we give a method for determining the zeros of a function or a system of functions in an arbitrary given regionB. Applying this method we need no approximations of the zeros. Further we need no preliminary knowledge of the order and the number of the zeros inB. Against this our method is based on a suitable estimation of the function or the system of functions. We show that the simple interval arithmetic for rational functions gives such estimations. As result the zeros are included by upper and lower bounds. The accuracy of the results depends only on the number of digits of the computer. The method was tested on many examples, some of which are given below.

     

Verallgemeinerung funktionentherotischer Verfahren für Analogrechner auf allgemeinere Funktionentheorien

Zusammenfassung Zur Untersuchung der Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen gibt es bekannte Verfahren für einen Analogrechner. Diese Verfahren werden in der vorliegenden Arbeit auf den Fall einer allgemeineren Funktionentheorie übertragen und an Beispielen illustriert.

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Summary There are well known methods to investigate the mappings-properties of Analytic Functions on Analog Computers. In the present paper these methoextended to a more general Function Theory and illustrated by examples.

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Mit 1 Textabbildung.

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Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertatin des Dipl-Math.Nikolaos Apostolatos, Institut für Angewandte Matheamtik der TH München, Dir. o. Prof. Dr.J. Heinhold.     

Digitales Urheberrecht

Rechtliche Antworten auf technische Herausforderungen können sich in einer weltweit vernetzten Informationsgesellschaft nicht mehr auf nationale Gesetzgebungen beschränken. Prof. Dr. iur.Thomas Dreier ist Inhaber des Lehrstuhls für Bürgerliches Recht und Informationsrecht und Leiter des Instituts für Informationsrecht an der Universität Karlsruhe sowie Honorarprofessor der Universität Freiburg i. Br.Georg Nolte ist wissenschaftlicher Mitarbeiter und Doktorand am Institut für Informationsrecht an der Universität Karlsruhe und Rechtsreferendar in Hamburg.     

Ein Estimationsproblem der linearen Approximationstheorie beim Ausgleich statisticher Meßwerte

Zusammenfassung Die Aufgabe, eine Regressionsfunktion nicht vorgegebener funktionaler Gestalt zu bestimmen, die die Likelihoodfunktion der statistischen Daten zu einem Maximum und ein gegebenes Funktional zu einem Minimum macht, wird als lineares Approximationsproblem formuliert. Für gewisse Statistiken und quadratische Funktionale wird die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gezeigt und die Herleitung der Lösung beschrieben. Für eine reelle Veränderliche und gewisse Funktionale ergeben sich als Lösungen Spline-Polynome, für die ein numerisches Ausgleichsverfahren angegeben wird, das die polynomiale Regression als Spezialfall enthält.

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Summary The problem, to find a regression curve whose functional form is not a priori given, and which maximizes the likelihood function and minimizes a given functional, will be formulated as a problem of linear approximation theory. For certain statistics and quadratic functionals the existence and uniqueness of the solution is proved, and the solution derived. In case of one real variable and certain functionals spline polynomials are found as solutions. In this case a procedure is given to fit the regressions curve. This procedure is a generalisation of polynomial regression.

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Mit 2 Textabbildungen

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Diese Veröffentlichung entstand in Zusammenarbeit mit Herrn Prof. Dr.R. Albrecht, Graz, dem ich hierfür sehr zu Dank verpflichtet bin.     

Fehlerabschätzungen für ein numerisches Verfahren zur Auflösung linearer Integralgleichungen mit schwachsingulären Kernen

Zusammenfassung Es werden Fehlerabschätzungen für eine Quadraturformel-methode zur LösungFredholmscher Integralgleichungen zweiter Art mit schwachsingulären Kernen gegeben. Im ersten Teil werden Konvergenzaussagen und Abschätzungen für beliebige schwachsinguläre Kerne im Anschluß an die Methoden vonKantorowitsch undAkilow diskutiert. Im zweiten Teil werden die Abschätzungen für periodische Kerne mit logarithmischen Singularitäten verschärft. Es zeigt sich, daß das Verfahren die Ordnungh ³ besitzt, wobeih die Schrittweite in der zugrundegelegten Rechteckformel ist. Ein Zahlenbeispiel, das der Theorie der Außenraumprobleme für dieHelmholtzsche Schwingungsgleichung entnommen ist, zeigt, daß diese Fehlerordnung realistisch ist.

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Summary Error estimates for approximate solutions ofFredholm integral equations with weakly singular kernels are derived. The approximation scheme is based on the rectangular formula for numerical quadrature. The first part of the paper discusses convergence questions and error estimates for arbitrary kernels, by using the general theory ofKantorowitsch andAkilow. In the second part the estimates are improved for the special case of periodic kernels with logarithmic singularities. It is shown that the approximation is of orderh ³ whereh denotes the step-size in the quadrature formula. The paper concludes with a numerical example, pertaining to the exteriorDirichlet problem for the reduced wave equation.

     

A storage scheme for extendible arrays

Conventional methods of storing aK-dimensional array allow easy extension only along one dimension. We present a technique of allocating a linear sequence of contiguous storage locations for aK-dimensional extendible array by adjoining blocks of (K–1)-dimensional subarrays. Element access is by determination of the block header location and then the displacement within the block. For cubical and all practical cases of rectangular arrays considered, the storage requirement isO (N) whereN is the array size. The element access cost isO (K) for the 2-step computed access function used.

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Ein Speicherschema für erweiterbare Felder

Zusammenfassung Konventionelle Methoden der SpeicherungK-dimensionaler Felder lassen eine einfache Erweiterung lediglich entlang einer Dimension zu. Wir beschreiben eine Technik der Zuweisung einer linearen Folge von zusammenhängenden Speicherzellen fürK-dimensional erweiterbare Felder durch Hinzufügen von Blöcken aus (K–1)-dimensionierten Teilfeldern. Der Elementzugriff erfolgt durch Bestimmung des Headers und des Displacements innerhalb des Blockes. Für kubische und alle praktische Fälle rechteckiger Felder ist der SpeicherbedarfO (N) wobeiN die Feldgröße ist. Die Kosten eines Elementzugriffs betragenO (K) für die in zwei Schritten berechnete Zugriffsfunktion.

     

Eine Methode zur Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren für asymptotische Entwicklungen

Zusammenfassung Wir befassen uns mit der numerischen Lösung einer Differentialgleichung, bei der eine asymptotische Potenzreihe zur Verfügung steht. Besonders interessieren wir uns für Argumente aus dem kritischen Bereich. Dabei tritt das Problem der Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren auf.Es wird für den Formelfehler in Abhängigkeit von den verwendeten Konvergenzfaktoren eine recht genaue Abschätzung sowohl nach oben wie auch nach unten angegeben. Zur Herleitung der Fehlerschranken wird die Theorie der singulärenVolterraschen Integralgleichungen benützt. Die Minimierung der Fehlerschranken liefert dann sehr günstige Konvergenzfaktoren, bei denen der zugehörige Fehler nur wenig über dem Fehler der theoretisch optimalen Lösung liegt. Ferner ergeben sich Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit der Approximationsfolge. Ein Beispiel zeigt die Wirksamkeit des Verfahrens.

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Summary We are concerned with the numerical solution of a differential equation which possesses an asymptotic power series. Especially we are interested in arguments from the critical domain. This leads us to the determination of nearly-optimal converging factors.Using the theory of singularVolterra integral equations we obtain for the remainder terms as functions of the converging factors rather good lower and upper bounds.Minimizing these bounds we gain nearly-optimal converging factors, with an error only little greater than the error of the exact optimal converging factors. Moreover we give an estimate of the rapidity of convergence of the approximation sequence. An example shows the effectiveness of our method.

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Mit 3 Textabbildungen