Die Theorie des Käfigläufermotors unter Berücksichtigung der Ständer- und Läufernutung

Übersicht Das allgemeine Gleichungssystem des Käfigläufermotors wird auf den Fall erweitert, daß Ständer und Läufer Nuten besitzen. Insbesondere wird dieser Einfluß auf die Gegeninduktivität zwischen Ständer und Läufer sowie auf die Selbstinduktivität des Läufers berücksichtigt. Anhand eines Beispiels wird der Einfluß der Ständernutöffnungen auf die Oberfeldmomente erläutert.

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Contents The general system of equations of the squirrel-cage induction motor is extended to the case that both stator and rotor have slots. The influence of the stator slots upon the mutual inductance between stator and rotor and upon the selfinductance of the rotor circuits is considered in particular. A numerical example shows the effect of stator slot openings on the torque components due to magnetic field harmonics.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a Dreher nach Gl. (34) - A ₀ Querschnitt für den Unipolarfluß - A _z Querschnitt eines Läuferzahnes - b Dreher nach Gl. (34) - B Induktion - d Dreher nach Gl. (6) - g Ordnungszahl der Leitwertswelle - i Strom - I Strommatrix - k _c Carterscher Faktor - k _Fc Faktor der Eisensättigung - l ideelle Eisenlänge - L Induktivität - L Induktivitätsmatrix - L Induktivitätsschwankung - L Matrix der Induktivitätsschwankung infolge der Nutung - Drehfeldinduktivität einer Läufermasche - N Läufernutenzahl - N _s Ständernutenzahl - p Polpaarzahl - P Matrix nach Gl. (5) - P Matrix nach Tafel 1 - R Bohrungsradius - R Widerstand - R Widerstandsmatrix - s Schlupf - u Spannung - U Matrix der Spannung - V magnetische Spannung - w _s Anzahl der in Reihe geschalteten Windungen eines Ständerwicklungsstranges - Umfangskoordinate - Verhältnis magnetischer Leitwerte nach Gl. (46) - Konstante nach Gl. (51) - einseitiger effektiver Luftspalt - _g einseitiger geometrischer Lufftspalt - Ersatzluftspalt - Sehnung der Ständerwicklung in Nutteilungen - Nutungsfaktor - räumlicher Drehwinkel - A magnetischer Luftspaltleitwert - ₀ Induktionskonstante - Ordnungszahl der Luftspaltfelder (Grundwelle =1) - Wicklungsfaktor - _schr Schrägungsfaktor - Spulenfluß - Netzkreisfrequenz Indizes s Ständer - r Läufer - h Haupt- - Streu- - o Nullkomponente des Läufers (unipolare Komponente) - St Stab Hochgestellte Zeichen T transponierte Matrix - * konjugiert komplex - einmal transformierte Größe - zweimal transformierte Größe - 0 Nullkomponente des Ständers - + Pluskomponente - – Minuskomponente - Drehfeld- - ^ Scheitelwert     

Die Gleichungen der Synchronmaschine und ihr mathematisches Modell

Übersicht Ausgehend von der Geometrie der Maschine werden die allgemeinen Gleichungen der Schenkelpol-Synchronmaschine mit Dämpferkäfig aufgestellt und ihre Induktivitäten unter Berücksichtigung der Oberfelder ermittelt. Die Transformation in (o, d, q)-Komponenten läßt erkennen, daß man den Dämpferkäfig durch eine von der Stabzahl je Pol abhängige Anzahl von äquivalenten Ersatzwicklungen in der Längs- und Querachse darstellen kann. Sofern keine Ständernullkomponente auftritt, wird der Dämpferkäfig durch je eine Ersatzwicklung in der Längs- und Querachse verhältnismäßig gut beschrieben. Abschließend wird der Einfluß der Oberfelder auf die Streuung diskutiert.

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Contents Starting from the geometry of the machine the general equations of the salient-pole synchronous machine are derived, and its inductances are determined, taking the magnetic field harmonics into account. A transformation to (o, d, q)-components shows, that it is possible to replace the damper winding by equivalent windings in the direct-and quadrature-axis, the number of these equivalent windings depending upon the number of damper bars per pole. If the stator current system does not contain a zero-sequence component, the damper winding can be described comparatively well by one equivalent winding in the direct axis and one in the quadrature axis. Finally, the influence of field harmonics on the leakage inductaces is discussed.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole A Transformationsmatrix der Ständergrößen - B Luftspaltinduktion - Amplitude des Ständerfeldes unter Vernachlässigung der Pollücken - B Transformationsmatrix der Käfiggrößen - c Feldfaktor, bezogen auf die Seite der erregenden Wicklung - c Feldfaktor, bezogen auf die der erregenden Wicklung gegenüberliegende Seite - D Bohrungsdurchmesser - i Strom - I Strommatrix - k Konstante nach Gl. (49) - l ideelle Eisenlänge - L Induktivität - L Induktivitätsschwankung - L Induktivitätsmatrix - m, M Gegeninduktivität - M Gegeninduktivitätsschwankung - M _e elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment - N Anzahl der Dämpferstäbe je Pol - p Polpaarzahl - R Widerstand - R Widerstandsmatrix - t _n Nutteilung der Dämpferwicklung im Längenmaß - u Spannung - U Spannungsmatrix - w Anzahl der in Reihe geschalteten Windungen - _i ideeller Polbedeckungsfaktor - _r Umfangskoordinate des Läufers - Faktor nach Gl. (58) - effektiver einseitiger Luftspalt - räumlicher Winkel zwischen zwei benachbarten Dämpferstäben längs des Polbogens - ; räumlicher Winkel zwischen zwei Randstäben - Verteilungsfaktor der Dämpferwicklung - räumlicher Drehwinkel - ₀ Induktionskonstante - Wicklungsfaktor - Spulenfluß - Spulenflußmatrix Indizes a, b, c Bezeichnung der Ständerwicklungsstränge - d Längskomponente des Ständers - D Längskomponente der Dämpferwicklung - f Erreger- - h Haupt- - k Komponente des transformierten Läuferstromes - K Dämpferkäfig - q Querkomponente des Ständers - Q Querkomponente des Dämpferkäfigs - r Läufer - s Ständer - St Stab - Ordnungszahl des Ständerfeldes - v Ordnungszahl des Ständerstrombelages - Streu- - o Nullkomponente - 1, 2, 3, ..., 2pN Bezeichnung der Käfigmaschen Hochgestellte Zeichen p bezogen auf eine Maschine mitp Polpaaren - T transponierte Matrix - nach der ersten Transformation - nach der zweiten Transformation - * konjugiert komplex - ^ Scheitelwert - Drehfeld     

Beitraǵ zur Berechnunǵ der notwendiǵen Trocknunǵszeit von Großtransformatoren

Ohne ZusammenfassungSymbolliste A Oberfläche - A _j Koeffizient der Differenzgleichung - a Schichtdicke in Diffusionsrichtung - a ₁...a ₄ Konstante - B _j ,C _j Koeffizienten der Differenzgleichung - c Feuchte - c _b Feuchteverteilung zu Beginn des Ausgleichsvorganges - c ₀ Feuchte an der Außenkante (x=0) - D Diffusionskoeffizent - F Fehlerterm - E _j ,F _j Koeffizienten der Differenzgleichung - G Masse - G zeitliche Änderung der Wassermasse dG/dt - H _j Koeffizient der Differenzgleichung - j Anzahl Gitterpunkte - K Pumpenkapazität - k relativer Feuchtehalt - m Nummer des mittleren Maschenpunktes - n Anzahl Zeitschritte - p Druck - p Laplaceoperator für die Zeittransformation - p ₀ Anfangsdruck (t=0) - p _e Enddruck - Q gesamte Feuchtemenge - q Lapalaceoperator für die Ortstransformation - R Gaskonstante - T absolute Temperatur - t Zeitkoordinate - t _max maximal zulässige Zeit - t Zeit, während der gesättigter Wasserdampf gepumpt wird - V Volumen - v Diffusionsgeschwindigkeit - x Ortskoordinate - x ₀ Feuchteeindringtiefe - y Ortskoordinate - z Ortskoordinate - reduzierter Schrittlängenfaktor - Schrittlängenfaktor - Hilfsgröße - x Schrittlänge inx-Richtung - t zeitliche Schrittlänge - partielles Differential - Differenz - Gaußsches Fehlerintegral - unabhängige Variable - ₁ Thetafunktion - v unabhängige Variable     

Theoretische und experimentelle Untersuchung der Läuferoberfelder von Käfigläufermotoren

Übersicht Zur Überprüfung einer Vorausberechnung der Läuferoberfelder werden die von ihnen hervorgerufenen Induktionen sowohl in schmalen Meßschleifen auf der Ständeroberfläche als auch in den Ständerzähnen gemessen. Eine vergleichende Untersuchung anhand von Läufern mit und ohne Käfig macht den schon im Leerlauf wichtigen Beitrag der Oberfelder der Läuferoberströme deutlich. Der Einfluß der Eisensättigung auf die Zahnpulsationen wird theoretisch und experimentell untersucht. Die Bedeutung der Läufernutenzahlen, der Ständernutöffnung und der Schaltung der Ständerwicklung wird aufgezeigt.

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Theoretical and experimental investigation of the rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors

Contents For the purpose of verifying predetermined rotor harmonic fields of squirrel cage induction motors, induction caused by the rotor is measured on the stator surface by means of narrow search loops, as well as in the stator tooth bodies. Comparative investigations made on rotors with and without cages clearly evidence the influence of the harmonic fields produced by the higher harmonic currents of the rotor — even in no-load operation. The influence of magnetic saturation on the tooth flux pulsations is subjected to theoretical and experimental investigation. In addition, the importance of the number of rotor slots, the extent of stator slot openings as well as the connection of stator windings are dealt with.

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Verwendete Symbole b _zs Ständerzahnbreite - B Induktion - B _zG Zahninduktion des abgeplatteten Grundfeldes - D Bohrungsdurchmesser - g Ordnungszahl - h _zs Ständerzahnhöhe - I _N Nennstrom - I _R Ringstrom des Läufers - k _c Carterscher Faktor - k _Fü Eisenfüllfaktor - l axiale Blechpaketlänge - m Strangzahl des Ständers - N Nutenzahl - p Polpaarzahl - q Nutenzahl je Pol und Wicklungsstrang - s Schlupf - S Spulenweite der Meßschleife auf der Ständeroberfläche - t Zeit - U _N Nennspannung - V magnetische Spannung - t _ns Ständernutteilung im Längenmaß - y Längenkoordinate in axialer Richtung - Umfangskoordinate im Bogenmaß - Abplattungsfaktor - _g geometrischer Luftspalt - , ' Ersatzluftspalte - Sehnung der Ständerwicklung um Nuten - Ordnungszahl der Läuferoberfelder - _r G relative Permeabilität der Grundfeldzahninduktion - _r P relative Permeabilität der Zahnpulsation - Ordnungszahl der Ständeroberfelder - Wicklungsfaktor - _S Sehnungsfaktor der Meßschleife - _z Sehnungsfaktor des Ständerzahnes - _ns Ständernutteilung im Bogenmaß - Korrekturfaktor aus der digitalen Feldberechnung - Netzkreisfrequenz Indizes gr der Ordnungszahlg _r - i desi-ten Ständerzahnes - r Läufer - s Ständer - ung ungesättigt - z im Ständerzahn Hochgestellte Indizes und Sonderzeichen N Nutungsoberfeld - Scheitelwert - Re Realteil einer komplexen Größe Unterstreichung: komplexe Größe     

Berechnung der magnetischen Felder und der Wicklungsinduktivitäten bei einem Turbogenerator mit supraleitender Erregerwicklung

Übersicht Ein charakteristisches Merkmal des Turbogenerators mit supraleitender Erregerwicklung ist die weitgehende Verwendung unmagnetischer Materialien im magnetischen Kreis. Um einen grundsätzlichen Einblick in das Betriebsverhalten eines derartigen Generators zu bekommen, werden für radial unendlich dünne Strombelagsschichten übersichtliche Feldgleichungen unter der vereinfachenden Annahme abgeleitet, daß die Maschine unendlich lang ist, einen idealen Dämpferkäfig hat und radial von einem idealen magnetischen Schirm umgeben ist. Der Feldberechnung schließt sich eine Berechnung der charakteristischen Induktivitäten und Reaktanzen an. Abschließend wird das Aufzeichnen des Zeigerdiagramms erläutert.

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Contents A characteristic feature of the turbo-generator with superconducting field winding is the predominant use of nonmagnetic materials in the magnetic circuit. To obtain a basic insight concerning the operating characteristics of such a generator, clear field equations for radially infinite thin current sheets are derived under the simplified assumption that the machine is infinitely long, has a perfect damper winding, and is radially surrounded by an ideal magnetic screen. The calculation of the field is followed by the calculation of the characteristic inductivities and reactances. In conclusion, the recording of the vector diagramm is discussed.

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Verzeichnis der verwendeten symbole A Maximalwert des Strombelags, Strangbezeichnung, Abstandsmaß - a Augenblickswert des Strombelags Abstandsmaß - b Augenblickswert der Induktion, Breite eines Leiters - I Gleichstrom, Effektivwert des Strangstroms - L axiale Länge des geraden Wicklungsteils im Stator (zwischen den beiden Statorwickelköpfen) - l axiale Länge des geraden Wicklungsteils im Rotor (zwischen den beiden Rotorwickelköpfen) - L _K axiale Länge des Wickelkopfbereiches im Stator - l _K axiale Länge des Wickelkopfbereiches im Rotor - M Kopplungsinduktivität - n Drehzahl - n _1,2 ganze Zahl - p Grundwellenpolpaarzahl - Q Nutenzahl je Pol (bei gleichmäßiger Nutung) - q Nutenzahl je Pol und Strang - R _J Innenradius des Statorjochs - R _s mittlerer Radius der Statorwicklung - r radiale Koordinate - rJ Außenradius des magnetischen Bereichs der Welle - rJ Radius des Dämpferrohrs - rS mittlerer Radius der Erregerwicklung - S Spulenweite, bezogen auf den mittleren Radius der Statorwicklung - s Schlupf - t Zeit - U Effektivwert der Strangspannung - v Augenblickswert des Vektorpotentials - X ₁ Reaktanz - X ₁ transiente Längsreaktanz - X ₁ Subtransientreaktanz - Z Leiterzahl eines Stranges (Leiter in Reihe geschaltet) - z axiale Koordinate - , räumliche Winkel - räumlicher Umfangswinkel - elektrische Leitfähigkeit - ₀ Permeabilität des Vakuums - relative Permeabilität - v Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - v vorzeichenbehaftete Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - Produkt aus Zonen- und Sehnungsfaktor im geraden Wicklungsteil - b Kupferbreitenfaktor - z Zonenfaktor im geraden Wicklungsteil - _p Polteilung, bezogen auf mittleren Radius der Statorwicklung - Maximalwert des Flusses je Pol - Augenblickswert des Flusses je Pol - Winkel zwischen dem Zeiger des Stromes und dem Zeiger der induzierten Polradspannung - Kreisfrequenz Indizes 1 Statorgrößen - 2 Rotorgrößen - a außen - i innen induziert - J Joch - K Wickelkopf Kupfer - o Oberschicht - p Polrad, Pol, Polpaarzahl - r radial - S Strombelag - s synchron - Sp Spule - u Unterschicht - v verkettet - z axial, Zone - in Umfangsrichtung - v Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern - t vorzeichenbehaftete Ordnungszahl von Wellen, die sich entlang dem Umfang sinusförmig ändern     

Bestimmung der Maschinenkonstanten einer mit Permanentmagneten erregten Synchronmaschine

Übersicht Zur Berechnung der mit Permanentmagneten erregten Synchronmaschine werden zunächst die Induktionen im Luftspalt, im Magneten und im Streuungsraum berechnet, wobei die durch die Magnetstreuung im Magneten verursachte Feld-Inhomogenität berücksichtigt wird. Für die Vorausberechnung von ähnlichen magnetischen Kreisen mit ausgeprägten Magneten werden aus der Messung allgemeingültige Verläufe der Luftspaltinduktion ermittelt. Die Berechnung der Hauptfeldspannung und der Ankerhauptreaktanzen erfolgt in gleicher Weise wie bei Gleichstromerregung. Die besonderen Merkmale der mit Permanentmagneten erregten Synchronmaschine, die Frage der magnetischen Stabilität der Magnete sowie der Einfluß von Weicheisenpolschuhen werden behandelt.

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Contents To determine the machine constants of the synchronous machine with permanent-magnet excitation, the flux density in the air gap, in the magnet, and in the pole-leakage space are calculated with consideration of the non-homogenity of the field along the magnet hight that is caused by the pole leakage. Generally valid field curves obtained from measurements are given for the calculation of the flux density in machines excited with salient permanent-magnets. The induced voltages, and the reactances of armature reaction are calculated in the same manner as for the d. c. excited synchronous machine. The special behaviour of the parmanent-magnet excited machine, the magnetic stability of the magnets, and the effect of soft magnetic pole-shoes are investigated.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole B magnetische Induktion - B _r Remanenz - B _p Permanenz - b Breite senkrecht zur Bewegungsrichtung - d Durchmesser - f Frequenz - g ₁ Fourierkoeffizient der Grundwelle - H magnetische Feldstärke - H _c Koerzitivfeldstärke - H _e eingepräfgte Feldstärke - l Länge der Streuflußlinien - Q Querschnitt, Fläche - s Polbreite - U Spannung - U _h Hauptvfeldspannung - W Windungszahl - X Reaktanz - x, y, z Koordinatenbezeichnung - , , dimensionslose Abkürzungen - Luftspaltlänge - Durchflutung - magnetischer Leitwert - Permeabilität - Polteilung - magnetischer Fluß Indizes a Anker, außen - d Längsachse - E Eisen - e eingeprägt - i ideell, innen - M Magnet - p Polrad - PK Polkante - PL Pollücke - PS Polstirn - q Querachse - S Polschuh - SK Stirnkante - Luftspalt - Streuung     

Der Jochfluß und die allgemeine Drehmomentgleichung der elektrischen Maschinen

Übersicht Der Jochfluß ist die einzige Flußgröße der elektrischen Maschinen, welche unabhängig von dem räumlichen Feldverlauf genau definiert werden kann. Mit Hilfe des Jochflusses können die Grundgleichungen der elektrischen Maschinen und vor allem die Drehmomentgleichung ganz allgemein aufgestellt werden.

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Contents The yoke flux is the only flux quantity of electrical machines which can be defined independently of the space distribution of the air-gap field. By means of the yoke flux, the fundamental equations of electrical machines, and first of all the torque equation, can be expressed quite generally.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole A Strombelagsfunktion - B radiale Luftspaltinduktion - H radiale magnetische Feldstärke im Luftspalt - l axiale Länge des aktiven Eisens - r Bohrungsradius - t Zeit - u _i induzierte Spannung - V magnetische Spannnng am Luftspalt (Felderregerkurve) - W der Wicklung zugeführte Energie - W Energie des Feldes im magnetischen Kreis - W _m in mechanische Arbeit umgewandelte Energic - , Polarkoordinaten im Ständer- und Läufersystem - Luftspaltbreite - _D Diracsche Impulsfunktion - Durchflutung - geometrischer Leitwert des Luftspaltes - ₀ Permeabilität des leeren Raumes - Winkel zwischen den Nullstrahlen der Ständer- und Läuferkoordinaten - Jochfluß Indizes S, R Ständer, Läufer - ausgedrückt in Ständerkoordinaten     

Pendelmomententwicklung bei der stromrichtergespeisten Asynchronmaschine mit Berücksichtigung des welligen Zwischenkreisstroms

Übersicht Im Betrieb der Drehstromasynchronmaschine am Stromzwischenkreisumrichter treten bei niederpulsiger Einspeiseschaltung infolge des welligen Zwischenkreisstroms zusätzliche Pendelmomente auf. — Die Amplituden und Frequenzen der zusätzlichen Pendelmomentharmonischen werden in Abhängigkeit der Größe und Frequenz des Wechselanteils im Zwischenkreisstrom angegeben. Es wird die Auswirkung auf ein schwingungsfähiges Zweimassen-Antriebssystem dargestellt.

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Oscillating torques of an inverter feeded asynchronous motor with considering a pulsating intermediate circuit current

Contents During operation of an three phase asynchronous motor feeded by a d.c. current intermediate circuit inverter additional oscillating torques are produced as a result of an alternating current superposed on the direct current in the dc-link. — Magnitudes and frequencies of the additional oscillating torques caused by an ac-current with definite magnitude and frequency in the dc-link are determined. Moreover the reaction of the torque harmonics in a two — mass oscillating drive group is discussed.

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Verwendete formelzeichen I _N Effektivwert des Nennstroms - S _N Nennscheinleistung - T _K Kommutierungszeit - T ₂₀ Läuferleerlaufzeitkonstante - U _N Effektivwert der Nennspannung - ₁ Trägheitsmoment der Antriebsmaschine - ₂ Trägheitsmoment der Lastmaschine - c Torsionsfedersteifigkeit - d Dämpfungsbeiwert für Torsionsschwingungen - f ₀ Nennfrequenz - f ₁ Frequenz des Grundschwingungsstroms - f Frequenz des -ten Zwischenkreisstrom-Wechselanteils - f _p Frequenz der elektrisch entwickelten Pendelmomente - f _r Torsionsresonanzfrequenz - p Polpaarzahl - Taktwinkel - Phasenwinkel des -ten Zwischenkreisstrom-Wechselanteils - Elektrischer Stellungswinkel des rotierenden Läuferkoordinatensystems zum Ständerkoordinatensystem - Gesamtstreuziffer - ₂ Läuferstreuziffer - ₂ Nennkreisfrequenz - ₁ Kreisfrequenz des Grundschwingungsstroms - _w Kreisfrequenz des -ten Zwischenkreisstrom-Wechselanteils Relative größen u Spannung - i Strom - Flußverkettung - r Ohmscher Widerstand - x Reaktanz Indizierung ()₁ Kennzeichnung für Ständersystem - ()₂ Kennzeichnung für Läufersystem - ()u, v, w Kennzeichnung der Phasenstränge - () Auf das Ständersystem transformierte Größe - ()^* Konjugiert komplexe Größe - () Scheitelwert - (-) Relative Größe - (-) Komplexe Größe, Raumzeiger - ()h Indizierung für Haupt ... - ()d Gleichanteil - ()p Pendelgröße     

Raumzeiger in Matrizendarstellung in der Theorie der elektrischen Maschinen

Übersicht Die komplexen Raumzeiger, welche die räumlichen Wellen im Luftspalt von elektrischen Maschinen symbolisch darstellen, bilden die physikalische Grundlage einer allgemein gültigen Lösungsmethode, die als ein rein mechanischer Rechenvorgang in der Matrizenform formuliert werden kann. Aus dem Vergleich mit der in der anglo-amerikanischen Literatur verbreiteten Methode der linearen Transformationen geht hervor, daß man mit Raumzeigern bedeutend mehr Probleme lösen kann. Im folgenden wird weiterhin gezeigt, daß die Methode der Raumzeiger, ausgehend von der Wicklungsverteilung in Nuten, direkt zu dem komplexen transformierten Gleichungssystem führt. Eine selbständige Berechnung von Haupt- und Gegeninduktivitäten ist dabei nicht notwendig.

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Contents The complex space phasors, representing symbolically the space waves in the air gap of electrical machines, constitute the physical basis of a general method of deriving machine equations. This method can be formulated in the matrix notation as a sheer mechanical calculating process. The comparison with the method of the linear transformations commonly used in the American and English literature shows that the method of space phasors has a greater application range and, starting from the winding distribution in slots, leads directly to the wanted transformed system of complex equations. No separate calculation of main and mutual inductances is necessary.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a, b, c, ..., z Nuten - A, B, C, ..., Z Stränge - a, b komplexe Einsvektoren - D Ständerbohrung - i _A, i_B, ..., i_Z Augenblickswerte der Strangströme; -Matrizen für Ständer und Läufer - i _Sv ,i _Rv Raumzeiger der Strombelagswellen der Ordnungv; -Matrizen für Ständer und Läufer - Matrizen der symmetrischen Komponenten der Augenblickswerte - l Paketlänge - L Induktivitäten; -Matrix der Einsinduktivitäten - L _S, L_R Streuinduktivitäten eines Stranges des Ständers und Läufers - m _S, m_R Strangzahlen des Ständers und Läufers - N _S Nutenzahl des Ständers - p Polpaarzahl - R _S, R_R Wirkwiderstand eines Stranges des Ständers und Läufers - S _v komplexe effektive Leiterzahlen je Strang und Raumwelle; -Matrix - t Zeit - Matrix der Koordinatentransformation - Matrizen der Augenblickswerte von Strangspannungen - u ₁,u ₂,u ₃ ... Komponenten der Matrix - z Leiterzahlen der einzelnen Stränge in einzelnen Nuten (z. B.z _aA ist die Anzahl der dem StrangA zugechörigen Leiter in der Nuta); -Matrizen für Ständer und Läufer - v, v Ordnungszahlen der Raumwellen - Ordnungszahlen der Raumwellen des Flusses - ₀ magnetische Feldkonstante - Augenblickswert des Raumwinkels zwischen den Koordinatensystemen des Ständers und Läufers - Raumzeiger der Flußwelle der Ordnung ; -Matrix - * konjugiert-komplexe Größen     

Einfluß der Sättigung in permanenterregten Synchronmaschinen

Übersicht Das Betriebsverhalten der permanenterregten Synchronmaschine wird unter Berücksichtigung der Sättigung der Weicheisenteile berechnet. Im Gegensatz zur Gleichstromerregung sind hier starke Sättigungszustände zulässig. Durch geeignete Wahl der Sättigungsverhältnisse in den verschiedenen Teilen werden sowohl eine günstige Beeinflussung der Lastkennline des im Inselbetrieb arbeitenden Generators als auch eine bessere Materialausnutzung erzielt.

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Effect of saturation in permanentic synchronous machines

Contents The performance of the permanent magnet excited synchronous machine is calculated taking the saturation of the iron parts into consideration. In contrast to the d.c. excitation, high saturation conditions are allowed here. By suitable choice of the saturation conditions it is possible to obtain better load characteristics of the synchronous generator working on a separate load as well as a better utilization of the active material.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole A Strombelag - B magnetische Induktion - B _r Remanenz - b Breite - D Ständer-Innendurchmesser - H magnetische Feldstärke - h Höhe - I Stromd - J Stromdichte - k _c Carterscher Faktor der Luftspaltlänge - K _d Längsieldfalktor - k _s Sättigungsfaktor - l Länge - N _s Nutenzahl - Q Querschnitt - U Polradspannung - V magnetische Spannung - W _s Windungszahl - z _s Zahl der Leiter pro Nut - , dimensionslose Größen - geometrische Luftspaltlänge - Durchflutung - magnetischer Leitwert - Permeabilität - Polteilung - magnetischer Fluß Indizes a Anker, außen - B Blindstromkomponente - d Längsachse - d Eisen - e eingeprägt - i ideal - j Joch - M Magnet - N Nenn, Nut - n normal bemessen - q Querachse - r Ankerrücken - W Wirkstromkomponente - z Zahn - Luftspalt - Streuung Die Arbeit entstand z. T. während eines kurzen Aufenthaltes am Institut für elektrische Maschinen der TU Braunschweig     

On the calculation of pole surface leakage flux

Contents In designing electromagnetic circuits the pole surface leakage flux introduced by an air-gap, must be known. After defining the so called utilization factor, a review of the existing formulas for calculating it, is given. The major part of the paper deals with the presentation of a new and very accurate formula, based on the method of conformal mapping. Finally this formula is compared with experimental results.

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Übersicht Beim Entwurf magnetischer Kreise muß der Streufluß im Luftspalt bekannt sein. Nach der Definition des sogenannten Ausnützungsfaktors—d. h. des Verhältnisses von Nutzfluß zur Gesamtfluß—wird ein Überblick über bekannte Methoden zu seiner Berechnung gegeben. Mit Hilfe der konformen Abbildung wird eine neue und sehr genaue Berechnungsmethode vorgestellt. Die hieraus gewonnenen Lösungen werden mit experimentellen Ergebnissen verglichen.

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List of principal symbols a cylinder radius - g air-gap width - k modulus of the Jacobian elliptic functions - k complementary modulus - l fringe-path extent - n constant - q auxiliary quantity - t auxiliary variable - u, v, x, y real variables - ,z complex variables - A, B, C, D, E, F vertexes - E(u) fundamental elliptic integral of the second kind - E complete elliptic integral of the second kind - K complete elliptic integral of the first kind - M, N constants - , constants - , °, very small real values - running variable in thez-plane - utilization factor - , polar coordinates - ₀, _A , _C ,v _A ,v _A real exponents - , real variables - complex variable - _l , _m , _t leakage, main and total magnetic flux.     

Lösung der Grundgleichung nichtlinearer Stromkreise durch Analogrechenverfahren

Inhaltsübersicht Die vorliegende Arbeit, die sich in den neuen, vom Verfasser und anderen als nichtlineare Elektrotechnik bezeichneten Abschnitt der modernen Elektrotechnik einreiht, verfolgt die ins einzelne gehende Analyse der Grundgleichung nichtlinearer Stromkreise hinsichtlich ihrer Lösung durch Analogrechenverfahren und die Aufstellung einer allgemeinen Rechenschaltung dieser Gleichung für den Analogrechner.

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Summary The present paper deals with problems in the field of modern electrical engineering, called by the author and others nonlinear electrotechnics. It presents a detailed analysis of the fundamental equation of nonlinear circuits with respect to its solution by analog computation and offers a general programming schedule for the analog computer.

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de|Übersicht der wichtigsten verwendeten Symbole i(t) Zeitverhalten des Leitungsstromes - U _ee (t) Angelegte elektromotorische Kraft - (t) Die Ableitungsfunktion 1. Ordnung vonU _ee (t) - f(i), g(i), h(i), j(i) A(i), B(i), C(i), D(i) Funktionen der Klasse C° voni(t) - r(i) Nichtlinearer Widerstand - l(i) Nichtlineare Induktivität - c(i) Nichtlineare Kapazität - T(i) Nichtlineare Zeitkonstante - Magnetischer Fluß - R Quasilinearer Widerstand - L Quasilineare Induktivität - C Quasilineare Kapazität - (t) Physikalische Größe in direkter Abhängigkeit voni(t) - F(),G(),H(),J() Funktionen der Klasse C° von (t) - t Reelle Zeitvariable - Zeitvariable auf dem elektronischen Rechner - Dehnungsfaktor des Zeitmaßstabes - Dehnungsfaktor des Amplitudenmaßstabes der, auf dem elektronischen Rechner verfolgten Größe (Spannung) - Die auf dem elektronischen Rechner verfolgte Größe (Spannung) - (s) Die Laplace-Bildfunktion der auf dem elektronischen Rechner verfolgten Größe - Das Symbol der Laplace-Transformation - (t) Dirac-Funktion Mit 8 Textabbildungen     

Beitrag zur Berechnung der Ausgleichsvorgänge beim nichtgleichzeitigen Schalten der Phasen einer symmetrischen Drehstromleitung

Übersicht Zur Berechnung der Ausgleichsvorgänge beim Schalten einer Drehstromleitung werden mit Hilfe der Fourier-Transformationen Ausdrücke ermittelt, die es ermöglichen, auch den Erdeinfluß zu berücksichtigen. Es wird ein Verfahren zum Verfolgen der Spannungen beim nichtgleichzeitigen Schalten der Phasen angegeben. Mit den erhaltenen Beziehungen sind Beispiele berechnet und mit veröffentlichten Angaben verglichen.

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Contents For the sake of direct calculation of switching-surge phenomena produced by energizing an overhead line, some formulas which permit the consideration of earth-influence were derived using a Fourier-transform. A method of computing phase voltages when energisation is not simultaneous is indicated, and the calculated values for some examples are compared with published data.

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Übersicht der verwendeten Formelzeichen U, I komplexer Wert der Spannungen bzw. der Ströme - u, i Augenblickswert der Spannungen bzw. der Ströme - Z, Y Längsimpedanz bzw. Queradmitanz der Längeneinheit - z Wellenwiderstand - =+j Ausbreitungskonstante - T Transformationsmatrix - Kennzeichena, b, c für Phasengrößen - Kennzeichen 1, 2, 3,m für Modalgrößen - Kennzeichenu den Spannungen zugehörige Größen - Kennzeicheni den Strömen zugehörige Größen - Kennzeichen o für angelegte Spannungen - sh, ch Hyperbelfunktionen - A, a, Hilfsfunktionen - l Leitungslänge - v ₀ Lichtgeschwindigkeit - Durchlaufszeit der Leitung Die fettgedruckten Buchstaben bezeichnen Matrizen.     

Determination of the carrier lifetime in power transistors from the measurement of the transient collector current

Contents A method is presented that determines the carrier lifertime in bipolar transistors from the collector current decay after optical carrier generation. The transient collector current is calculated by solving the one-dimensional diffusion equation. Parameters are the carrier lifetime , the ratiod/L of base width to diffusion length and the penetration depth 1/ of the incident light. It is shown that after a transition phase, the collector current decays exponentially with the carrier lifetime of the bulk material as time constant. The smallerd/L, the faster the collector current decays exponentially. Experimental results prove the applicability of the method to determine the low-level lifetime as well as the high-level lifetime in power transistors. Furthermore, the influence of the lateral diffusion is investigated by changing the ratior/L of the radius of the illuminated area and the diffusion length. Within the variation 1.5r/L6.5, no such influence can be observed.

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Bestimmung der Ladungsträgerlebensdauer in Leistungstransistoren aus Messungen des transienten Kollektorstromes

Übersicht Die vorliegende Arbeit stellt eine Methode vor, die Ladungsträgerlebensdauer in Transistoren aus dem transienten Kollektorstrom nach optischer Trägergeneration zu bestimmen. Der Kollektorstromverlauf wird durch Lösung der eindimensionalen Diffusionsgleichung in Abhängigkeit von der Trägerlebensdauer , dem Verhältnisd/L aus Basisweite und Diffusionslänge und der Eindringtiefe 1/ des anregenden Lichtes berechnet. Es wird gezeigt, daß der Kollektorstrom nach einer Übergangsphase exponentiell mit der Trägerlebensdauer abklingt. Je kleinerd/L ist, desto schneller ist ein rein exponentieller Stromverlauf erreicht. Meßergebnisse zeigen die gute Anwendbarkeit auf Leistungstransistoren zur Bestimmung der Hoch- und Niedriginjektionslebensdauer. Weiterhin wird das Verhältnisr/L aus dem Radius der beleuchteten Fläche und der Diffusionslänge verändert, um einen Einfluß der lateralen Diffusion auf das Meßergebnis festzustellen. Innerhalb der vorgenommenen Variation 1.5r/L6.5 kann kein Einfluß beobachtet werden.

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Dedicated to Prof.Dr.-Ing. Klemens Heumann on the occasion of his 60th birthday     

Untersuchung der Charakteristiken der linearen magnetohydrodynamischen Gleichstromkanäle

Übersicht Man erhält die Ausdrücke der wichtigeren Charakteristiken eines linearen magnetohydrodynamischen Kanals und zwar die Spannung an den Elektroden, die abgegebene Leistung und die erhaltene Leistung, indem man nur zwei Koeffizienten benutzt, durch die die Ausbreitung der Kurve der magnetischen Induktion berücksichtigt wird. Die Koeffizienten werden in einer geschlossenen Form als eine Summe mit einer endlichen Termazahl ausgedrückt, was in der Literatur nicht bekannt war.

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Contents The expressions of the most important characteristics of a linear magnetohydrodynamic channel, i. e. the voltage at the terminals, the given power, the received power are obtained using only two coefficients by which the effect of the magnetic induction curve extension is considered. The coefficients are expressed in a closed form as a sum having a small number of terms, which has not been known in the literature.

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Verzeichnis der verwendeten Symbole a Höhe des Kanals - B Magnetische Induktion - B ₀ Magnetische Induktion, im Inneren der Elektrodenzone als konstant angenommen - B(z) Magnetische Induktion außerhalb der Elektrodenzone - E Feldstärke des elektrischen Coulombschen Feldes - E Resultierende elektrische Feldstärke - F(z) B ₀/B(z) - G _n Koeffizient aus dem Ausdruck (37) der Induktion außerhalb der Elektrodenzone - h Breite des Kanals - I Stromstärke an den Klemmen - J Elektrische Stromdichte - k _f Koeffizient (aus dem Stromausdruck) vom Endeffekt der Ströme bestimmt - k _ß Koeffizient (aus dem Stromausdruck) von der Ausbreitung der Kurve der magnetischen Induktion außerhalb der Elektrodenzone bestimmt - K _s U _b/U_e Ladungsfaktor - l Länge der Elektrodenzone, d. h. Länge der aktiven Zone des Kanals - P Elektromagnetische Leistung, die an den Klemmen überführt wird - P _c abgegebene Leistung an den Klemmen, wenn die Kurve der magnetischen Induktion nicht außerhalb der Elektrodenzone verläuft - P _s Zusätzliche, an die Klemmen abgegebene Leistung, wenn die Kurve der magnetischen Inducktion außerhalb der Elektrodenzone verläuft - P ₁ Vom Fluid abgegebene Leistung - P _1c Vom Fluid abgegebene Leistung, wenn man den Endeffekt der Ströme nicht berücksichtigt - P _J Verluste durch thermischen Effekt im Fluid - P Druckvariation an den Kanalenden - R ₀ Widerstand des Fluids zwischen den Elektroden, wenn man den Endeffekt der Ströme nicht berücksichtigt - R _i Widerstand des Fluids zwischen den Elektroden, wenn man den Endeffekt der Ströme berücksichtigt - U _b Spannung an den Klemmen - U _e Induzierte elektromotorische Kraft - v _f Geschwindigkeit des Fluids - V Coulombsches elektrisches Potential, d. h. Potential der elektrischen FeldstärkeE - V ₀ Elektrisches Potential der unteren Elektrode - W Komplexes Potential - W _s Zusätzliches Glied des komplexen Potential, wenn die Kurve der magnetischen Induktion außerhalb der Elektrodenzone verläuft - x _n Koeffizient in dem Ausdruck (37) der Induktion außerhalb der Elektrodenzone - z _k Nullstellen der analytischen FunktionF(z), die in die Ausdrücke für ₁ und _s eingehen - Z x+j y - Z X+j Y - u+j v - ₁ Koeffizient in dem Ausdruck für den Strom - ₂ Koeffizient in dem Ausdruck für die LeistungP ₁ - _b, _s Koeffizienten in dem Ausdruck für ₂ - +j - _k Nullstellen der analytischen Funktion (), die in den Ausdruck für ₁ und _s eingehen - _l Koeffizient in dem Ausdruck für ₁ undk ₁ - _p Nullstellen der analytischen Funktion (), die in den Ausdruck von _s eingehen - Elektrische Leitfähigkeit     

Einsatz eines Kalman-Filters zum feldorientierten Betrieb einer Asynchronmaschine ohne mechanische Sensoren

Übersicht Die entkoppelte Regelung der fluß- und momentbildenden Stromkomponenten bei der feldorientierten Betriebsweise einer Asynchronmaschine erfordert die Bestimmung des Rotorflusses. Dies wird heute durch ein Flußmodell oder durch einen Beobachter realisiert. In dieser Arbeit wird der Einsatz eines Kalman-Filters vorgestellt, mit dessen Hilfe die elektrischen Zustandsgrößen der Maschine aus der Messung der Klemmengrößen bestimmt werden. Das Filter liefert zusätzlich die mechanische Drehzahl für die Drehzahlregelung der Maschine, so daß kein mechanischer Sensor für die Drehzahlmessung erforderlich ist.

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Field-oriented control of an induction motor without mechanical sensors using a Kalman-Filter

Contents The field-oriented control of the induction motor necessitates the identification of the rotor flux to control the flux and torque producing components of the current independently. This can be achieved either by a flux model or by an observer. This paper presents a Kalman-Filter which is used to determine the electrical state variables by measuring the terminal voltage and current. The Kalman-Filter additionally estimates the rotational speed which is fed into the speed control and makes a mechanical sensor superfluous.

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Formelzeichen A Systemmatrix im zeitdiskreten Zustandsraum - B Eingangsmatrix im zeitdiskreten Zustandsraum - C Ausgangsmatrix im zeitdiskreten Zustandsraum - F Systemmatrix im zeitkontinuierlichen Zustandsraum - G Eingangsmatrix im zeitkontinuierlichen Zustandsraum - h Ausgangsfunktion im zeitdiskreten Zustandsraum - H Ausgangsmatrix im zeitkontinuierlichen Zustandsraum - i Strom - I _N Nennstrom - I Einheitsmatrix - J Trägheitsmoment - k ₁ Konstante - K Kalman-Matrix - L Induktivität - M Moment - P Kovarianzmatrix des Zustandsvektors - Q Kovarianzmatrix des Systemrauschens - R Ohmscher Widerstand - R Kovarianzmatrix des Meßrauschens - T Abtastzeit, Zeitkonstante - u Spannung - u Eingangsvektor - v Meßrauschen - W Systemrauschen - x Zustandsvektor - y Ausgangsvektor - Transformationswinkel - Lagewinkel - Eingangsmatrix für das Systemrauschen - Streuziffer - Übertragungsfunktion - Flußverkettung - Drehzahl, Kreisfrequenz Indices I Ständergröße, ständerfest - II Rotorgröße, rotorfest - 1 Ständergröße - 2 Rotorgröße - 1 Streuziffer des Ständers - 2 Streuziffer des Rotors - A, B Bezeichnung der Achsen im Zweiachsensystem - Größen im rotierenden System - h Haupt(induktivität) - k Koordinatensystem - M Mechanische Größe - N Nennwert - T transponiert - u, v, Strangbezeichnung - Magnetisierungsstrom     

Berechnung quasistationärer Wirbelstromprobleme mit der Methode der finiten Elemente

Übersicht Es werden Randbedingungen zur Berechnung der Wirbelströmung in stromdurchflossenen Leitern nach der Methode der finiten Elemente angegeben. Sie gestatten die Nachbildung mehrerer gegeneinander isolierter Leiteranordnungen. Außerdem wird eine Kombination finiter Elemente mit einem elektrischen Netzwerk beschrieben, die elektrische Spannungsabfälle in feldfreien Stirnverbindungen berücksichtigt.

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Finite element analysis of steady-state eddy-current flow

Contents Boundary conditions are described to calculate the eddy-current flow in current carrying conductors using the finite-element method. Arrangements of several disconnected conductors are allowed. Further, a combination of finite elements with an electrical network is presented to take into account voltage drops in field-free end connections.

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Verwendete Symbole B magnetische Flußdichte - E elektrische Feldstärke - H magnetische Feldstärke - S Stromdichte - V Vektorpotential - skalares Potential - elektrische Leitfähigkeit - Permeabilität - Reluktivität - Kreisfrequenz     

Allgemeine Theorie des umrichtergespeisten Käfigläufermotors mit beliebiger Strangzahl der Ständerwicklung unter Berücksichtigung der Oberfelder

Übersicht Das allgemeine Gleichungssystem des Käfigläufermotors mitm Ständerwicklungssträngen wird der Transformation in symmetrische Komponenten unterzogen. Die derart vereinfachten Gleichungen gestatten eine übersichtliche Berechnung des Betriebsverhaltens. Eine Transformation der speisenden Ströme bzw. Spannungen aus Zwischenkreisumrichtern läßt erkennen, welche Oberschwingungen mit den eiazelnen räumlichen Harmonischen des Luftspaltfeldes bei den verschiedenen Strangzahlen zusammenwirken. Anhand eines Beispiels wird der Einfluß der Strangzahl auf die Pendelmomente bei trapezförmigem Zeitverlauf der Ständerströme gezeigt.

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General theory of the inverter-fedm-phase squirrel-cage induction motor taking into account the space harmonics

Contents The general set of equations of the squirrel-cage motor with m stator phase windings has been transformed into its symmetrical components. The reduced equations allow a distinctive calculation of the machine performance. A transformation of the supply currents or voltages generated by rectifier-inverters shows which current harmonics act together with the space harmonics in the case of different phase numbers. An example shows the effect of the phase number on the oscillating torque for the case of trapezoidal current excitation.

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Verwendete Symbole i Augenblickswert des Stromes - l Effektivwert des Stromes - k _c Carterscher Faktor - l aktive Maschinenlänge - L Induktivität - m theoretische Strangzahl des Ständers - m transformierte Gegeninduktivität - M _e elektromagnetisches Drehmoment - N Läufernutenzahl - P Polpaarzahl des Ständers - q _s Anzahl der Nuten je Zone - R Widerstand - R Bohrungsradius - s Schlupf - S/ bezogene Spulenweite des Ständers - u Kommutierungswinkel - u Augenblickswert der Spannung - U Effektivwert der Spannung - w Windungszahl - z größter gemeinsamer Teiler vonN undp - Umfangswinkel - effektiver Luftspalt - _g geometrischer Luftspalt - mechanischer Verdrehungswinkel - Wicklungsfaktor - Stromblockfaktor - Ständerkreisfrequenz Indizes h Hauptinduktivität - k Ständerstrangk - n Stromharmonische - N Netz - r Rotor - Ring Läuferring - s Ständer - Schr Schrägung - St Läuferstab - Feldharmonische - Streuinduktivität Hochgestellte Indizes und Sonderzeichen T transportierte Matrix - + konjugiert komplexe Größe - , ¨" transformierte Größen - transformierte Widerstände und Induktivitäten - ^ Scheitelwert Unterstrichene Buchstaben: Komplexe Größen Fettgedruckte Buchstaben: Matrizen, Spalten- und Zeilenvektoren Der Verfasser dankt Herrn Prof. Dr.-Ing. F. Taegen für die Auregung und Förderung dieser Arbeit.     

Das magnetische Feld des gleichstromdurchflossenen Leiters von elliptischem Querschnitt

Übersicht Es wird das magnetfeld eines elliptischen Stromleiters bestimmt. Die Permeabiliät des Leiters ₁ und des umgebenden Raumes ₂ sind beliebig. Zur Berechnung wird die Methode der Trennung der Veränderlichen angewendet.

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Contents The magnetic Field of the wire of eliptical cross section has been determined. The calculations have been carried out for any permeability values of the wire and its environment. The Fourier method of separation of variables has been applied.

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Bezeichnungen a, b Halbachsen der Ellipse - c Ellipsenexzentrizität - ₁ Permeabilität des Leiters - ₂ Permeabilität des Raumes - , ,z elliptische Koordinaten - a ,a ,a _z Einheitsvektoren - A Vektorpotential - B _x ,B _y Induktionskomponenten im kartesischen Koordinatensystem - B ,B Induktionskomponenten im elliptischen Koordinatensystem - C, D Konstanten - J Stromdichte - I Leiterstrom - Index I Innengebiet des Leiters - Index II Außengebiet des Leiters     

Berechnung der magnetischen Felder in den Stirnraumwänden elektrischer Maschinen

Übersicht Ausgehend von der Beschreibung des magnetischen Feldes im Stirnraum elektrischer Maschinen wird die Induktion in den nichtleitend und hochpermeabel angenommenen Stirnraumwänden berechnet. Ferner wird versucht, die wirklichen Materialbeiwerte nachträglich zu berücksichtigen.

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Contents The magnetic field in non-conductive and highly permeable walls of the end-region of electrical machines is calculated by means of the field in the air-part of the end-zone. In a second step the properties of real materials are considered.

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Im Text verwendete Symbole a Vektorpotential - A , A, A_z Komponenten des Vektorpotentials in der zyl. Maschine - A _y, A_z Komponenten d. Vektorpotentials im abgewickelten Modell - a radiale Bauhöhe des Stirnraums im abgewickelten Modell - a , a_z; a_y, a_z dimensionslose Koeffizienten der - b , b_z; b_y, b_z Reihenwicklung des Strombleags - B , B, B_z Komponenten der Induktion in der zylindrischen Maschine - B _y, B_z Komponenten der Induktion im abgewickelten Modell - c axiale Abmessung des Stirnraumes - c _I–c _VI Konstanten der homogenen Lösungen der Wandflüsse - d _I–d _VI (die Indices kennzeichnen einzelne Wandzonen entsprechend Bild (B 2)) - d Eindringmaß - magnetische Feldstärke - i , i, i_z Ströme - F Strombelag - J , J, J_z Komponenten des Strombelags - j , j_z Strombelagsmaximum für ein Wicklungselement - Drehoperator - k, n Separationsparameter in der zyl. Maschine - l ₀, m, n Separationsparameter im abgewickelten Modell - l komplexer Separationsparameter - p Polpaarzahl (=Separationsparameter i. d. zyl. Maschine) - R Reduktionsfaktor - |R| Betrag des Reduktionsfaktors - d Wegelement - u, v, w natürliche Zahlen - flußdurchsetzte Zone in den idealisierten Stirnraumwänden - elektrische Leitfähigkeit - Permeabilität - ₀ Permeabilität des Vakuums - Grundwellenpolteilung im abgewickelten Modell - magnetischer Fluß - Kreisfrequenz Funktionen I _p(k ) Besselfunktionen erster und zweiter Art - N _p(k ) Besselfunktionen erster und zweiter Art - I _p(n ) modifizierte Besselfunktionen erster und zweiter Art - K _p(n ) modifizierte Besselfunktionen erster und zweiter Art - S _{u, p}(k ) Hilfsfunktionen nach Lommel (L₃) Koordinaten , ,z Zylinderkoordinaten - x, y, z cartesische Koordinaten - z ₁,z ₂,z ₃ Einheitsvektoren für Zylinderkoordinaten - ₁, ₂; ₁, ₂;z ₁ Koordinaten des Wicklungselementes mitj -undj -Strombelagskomponenten - ₁; ₁, ₂;z ₁,z ₂ Koordinaten eines Wicklungselementes mitj -undj _z-Strombelagskomponenten - ₀ Wellenradius - ₃ Außenwandradius hochgestellte Indices (i) ideell - (h) homogen - (p) partikular