方程x~3-8=py~2有本原正整数解的判别条件

设p是适合p≡1(mod6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,运用初等方法给出了方程x3-8=py2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的新的判别条件.当p≡1或7(mod24)时,该方程无解;当p≡13(mod24)时,该方程有解(x,y)=(3r2+2,3rs),其中s是适合ps2=3r4+6r2+1的正整数;当p≡19(mod24)时,该方程有解(x,y)=(r2+2,rs),其中s是适合ps2=r4+6r2+12的正整数.     

方程x~3-1=py~2有正整数解的判别条件

设p是适合p≡1(mod6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,给出了方程x3-1=py2有正整数解(x,y)的新的判别条件.     

关于Diophantine方程x~3-5~3=3py~2

设p是给定的素数,运用初等数论方法证明了方程x3-53=3py2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=Q(27a4+45a2+25),其中a是正整数,Q(27a4+45a2+25)是27a4+45a2+25的无平方因子部分.由此可知,当p≠7或13(mod30)时,该方程没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

关于指数Diophanfine方程α^x＋db^y=c^z

设a,b,c,d,l,m,n是给定的适合al+dbm=cn,gcd (a,db)=1,l＞1,m＞1,n＞1的正整数.本文中证明了如果a≡3(mod 8),2‖b,c是素数方幂,(b/a)=-1,(d/a)=1,l=m=2,则方程ax+dby=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,n)适合min(x,y,z)＞1.     

关于不定方程x~3-1=229y~2

设D是素数且D≡1(mod 6),关于不定方程x3-1=Dy~2的求解是数论中未彻底解决的问题之一.利用Pell方程基本解的性质、同余式及递归数列等研究了D=229时的情形,证明了不定方程x~3-1=229y~2的整数解仅有(x,y)=(1,0).     

关于四次Thue方程ax~4-(2a+1)x~2y~2+ay~4=-1

设a是一个固定的正整数.为寻求方程ax~4-(2a+1)x~2 y~2+ay~4=-1的解,利用二次和四次Diophantine方程的性质证明了方程ax~4-(2a+1)x~2 y~2+ay~4=-1仅有正整数解(x,y)=(1,1),从而将此类问题彻底解决.     

Diophantine方程p~x+q~y=z~2（英文）

设p和q是两个奇素数,且p相似文献   

关于Diophantine方程组x+1=3pqa~2,x~2-x+1=3b~2

设p,q是适合3pq的奇素数.根据二次和四次Diophantine方程的结果,运用初等数论方法证明当且仅当(p,q)=(7,13)时方程组x+1=3pqa~2,x~2-x+1=3b~2有正整数解(x,a,b)=(4 367,4,2 521).     

关于指数Diophantine方程ax+dby=cz

设a,b,c,d,l,m,n是给定的适合d+ab~m=c~n,gcd(a,ab)=1,l>1,m>1,n>1,的正整数。本文中证明了:如果a=3(mod 8),2||b,c是素数方幂,(b/a)=-1,(d/a)=1,l=m=2,则方程a~x+ab~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,n)适合min(x,y,z)>1。     

关于偶完全数和n-完全数（英文）

对于任意的正整数a,设δ(a)表示a的所有除数之和.如果δ(x)=2x,则正整数x称作完全数.设n是一个给定的正整数.如果δ(y)+δ(ny)=2(n+1)y,则n称作n-完全数.为了得到偶完全数和n-完全数之间的关系,本文利用δ(a)的性质,证明了如果x是偶完全数,y是x-完全数,那么有(x,y)=(6,13).     

椭圆曲线y2=(x-6)(x2+6x+m)的整数点

设p、q为奇素数,m为正整数,满足p≡5,13,45(mod 56),m=7p-72=2q+9,运用同余、勒让德符号的性质、二次剩余等初等数论的方法及二元四次丢番图方程的相关结果,研究了椭圆曲线y²=(x-a)(x²+ax+m)整数点的求解问题。证明了该椭圆曲线当a=6时仅有平凡整数点(x,y)=(6,0)。研究结果对该类椭圆曲线整数点的求解有一定的借鉴作用。     

关于商高数的Jesmanowicz猜想

设u,v是适合u＞v,gcd(u,v)=1以及2 |uv的正整数.运用初等数论方法讨论了方程(2uv)x+(u2-v2)y=(u2+v2)z的正整数解(x,y,z),证明了当(u,v)≡(1,6),(2,5),(5,2),(6,1) (mod 8)时,该方程仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).     

指数丢番图方程(5m-1)/4=(pn-1)/(p-1)的正整数解

为验证Ratat与Goormaghtigh关于Goormaghtigh方程仅有2组正整数解这一猜想，运用Gel′fond-Baker方法研究了一类特殊Goormaghtigh方程的可解性。设p为满足p≡1(mod 4)的素数，5是模p的原根。证明了当p>10⁸且Pell方程u²-(5/16)(p-1)(p-5)v²=1的最小解(u₁,v₁)满足■时，指数丢番图方程(5 ^m-1)/4=(pⁿ-1)/(p-1)(m>n>2)没有正整数解(m,n)。     

Diophantine方程px＋qy＝z2

设 p和q是两个奇素数,且 p＜ q ．B ．Sroysang证明了如果（p ,q）＝（7,19）或（7,31）,则方程 px＋ qy＝ z2没有正整数解（x ,y ,z）．为了研究这个问题,运用初等方法和指数Diophantine方程的一些性质,证明了一个一般结果,即如果 p＋ q≡2（mod4）和（q｜p）＝－1,则方程有唯一的正整数解（p ,q ,x ,y ,z）＝（3,11,5,4,122）,其中（q｜p）表示Legendre符号．     

关于方程X~2=Dy~4 4

本文进一步研究了方程X~2=Dy~4 4(D>0且不为平方数)的正整数解,得到了如下结果:设对D的任一分解D=mn,m>1,n>1,均有(m/n)=-1,此处(m/n)表示Jacobi符号。如果(1)D含有4k 3的因子,或(2)D=13(mod16),或(3)(m,n)(?)(1,5)(mod16)或(m,n)(?)(5,1)(mod16),则方程x~2=Dy~4 4均无奇数解     

每个奇完数至少有十五个相异素因子

本文给出并证明定理:如果σ(n)=21,n≡1(mod2),那么ω(n)≥15     

关于Diophantine方程(a~n-1)(b~n-1)=x~2的Cohn猜想（英文）

设a和b是两个不相等的正整数.针对Cohn猜想,即方程(a~n-1)(b~n-1)=x2没有正整数解(x,n),其中n4.利用初等数论方法和指数Diophantine方程的性质,得到了如果a和b具有相反的奇偶性,那么方程没有满足n4和2|n的正整数解(x,n).     

关于Diophantine方程p~(2m)-Dx~2=1

设D是正整数,p是奇素数.运用初等方法讨论了方程p2 m-Dx2=1的正整数解(m,x)的个数,证明了该方程至多有1组正整数解(m,x).     

关于Diophantine方程(an-1)(bn-1)=x2的Cohn猜想

设a和b是两个不相等的正整数.针对Cohn猜想,即方程(an-1)(bn-1)=x2没有正整数解(x,n),其中n＞4.利用初等数论方法和指数Diophantine万程的性质,得到了如果a和b具有相反的奇偶性,那么方程没有满足n＞4和2| n的正整数解(x,n).     

Peter组的一个应用

设D是无平方因子正整数．运用Peter组的性质讨论了Pell方程x2-py2=-1的可解性,证明了当D=2p,其中P是适合P兰5（mod8）的奇素数;或者D—Pq,其中P和q是适合P三q兰1（mod4）以及（p／g）=-1的奇素数,方程X2-Dy2=-1有正整数解（z,y）．