三角Bézier曲线插值及其误差分析

Bézier曲线是计算机辅助几何设计中的一类重要曲线,以三次三角Bézier曲线为例,对三角Bézier曲线的性质进行了分析,并由此推出三次三角Bézier曲线比三次Bézier曲线更光滑.然后,由连续函数f在给定区间[a,b]上的分割⊿:a=t0＜t1＜…＜tn-1＜tn=b和函数值f(ti),导出了三次三角Bézier曲线插值算法,并对插值的整体误差和节点区间[ti,ti 1]内的误差进行了分析估计;最后给出的应用实例验证了上述结论.     

代数三角混合Bézier型插值曲线

通过一类代数三角混合Bézier型基函数的定义,构造了一类C2连续的代数三角混合Bézier型插值曲线。该曲线继承了Bézier曲线的一些优良特性,并能充分克服Bézier型基函数不能精确表示二次曲线曲面以及某些超越曲线曲面的弱点。另外,利用形状控制参数可以灵活调节曲线形状,进一步增强了曲线曲面的表现能力。最后实例表明了新的插值曲线应用于几何造型的有效性。     

基于三点分段的三角多项式样条曲线

给出了m(m=1,2,3)次三角多项式样条曲线。与二次B样条曲线类似,曲线的每一段由相继的3 个控制顶点生成;对于等距节点,一次三角多项式样条曲线是C1连续、二次三角多项式样条曲线是G2连续、三次三角多项式样条曲线是C3连续,且讨论了3 种曲线对控制多边形的逼近及与二次B样条曲线的对比。还给出了一次三角多项式样条曲线表示椭圆和整圆的方法。通过加权混合可得到一类三角多项式样条曲线,曲线的形状随着次数m和形状参数λ的变化而改变。     

带参数的二次三角多项式样条曲线

给出了带有参数λ的二次三角多项式样条曲线。与三次B样条曲线类似,曲线的每一段由相继的4个控制顶点生成。对于等距节点,在一般情形下,曲线达到了C1连续,而当λ=1时,曲线达到了C3连续。λ有明确的几何意义,λ越大,曲线越逼近控制多边形。还给出了用此种曲线表示椭圆和整圆的方法,在相同的控制顶点下,可生成一簇椭圆弧和圆弧。     

组合三角Bezier曲面任意截面线GC^1构造及其优化二次表示

截面曲线构造是曲面测量分析，数控加工质量分析等应用中的基本问题之一。针对组合三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面／平面求交交点的分布特点，本文系统研究了组合ＧＣ＾１截面曲线构造及其数据精减优化二次表示，并将其转化成ＩＧＥＳ标准格式输出，为实现两类造型系统（拓扑三角曲面和拓扑矩形曲面）之间的数据交换奠定了良好的基础。     

（C^2—连续的）保形分段三次插值曲线

这里描述了构造保形插值曲线的一个新方法，即在每两个型值点之间的构造两段三次Ｂｅｘｉｅｒ曲线，所构造的插值曲线是局部的，保形的和是Ｇ＾２连续的。     

复合三角Bezier曲面/平面的过渡和裁剪

由初始交点出发,利用拓扑关系跟踪计算复合三角Bezier曲面与平面的交线,对一系列交点进行点对应修正,曲面片间边界点计算、交线两端交点的跟踪、截面线构造、截面线离散,构造出与基曲面达到G′连续、结构相似的过渡曲面,交点作为型值点值入复合曲面的型值点集中、对三角网格局域三角化,以交线为界分离,重新构造拓扑关系生成两张新的曲面,实现裁剪的目的,测试显示,上述方法简单可靠。     

球面上G1插值曲线

用球面径向投影的方法解决了由球面上给定的点及该点处切平面上的单位矢量,来构造球面上的一条光滑插值曲线问题。首先,由球面上给定的点及该点处切平面上的单位矢量构造一条插值给定点及给定单位向量的空间3次Bézier样条插值曲线,然后再将此曲线沿球面的径向方向投影到球面上,就得到所求的限制在球面上满足插值条件G1连续的插值曲线。     

应用区域变换实现三角Bezier曲面分割

本文根据实际应用需要采用参数域变换方法对三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面片进行分割，可简单地确定复杂分割模型下各子曲面片的控制顶点，避免了采用Ｃ－Ｔ分割带来的冗余计算和某些情况下的昨杂处理过程，并且使分割算法统一。     

多形状参数的二次非均匀三角多项式曲线

提出了一类带多个形状参数的二次非均匀三角多项式曲线,它是同类型单形状参数曲线的推广, 具有二次非均匀B样条曲线的绝大多数性质.根据形状参数的不同取值,人们既能整体地又能局部地调控这类曲线的形状. 并且无须采用重节点技术或解方程组, 就能直接插值某些控制点或控制边.此外,它还能直接表示椭圆与抛物线.     

奇异混合Bézier曲线及其基表示

应用权的思想结合奇异混合技术，推广了Bezier曲线，得到了一种新的表示曲线的方法α-Bezier曲线，它不仅包含了原来的Bezier曲线，而且由于引进了局部控制参数，具有局部的控制和修改能力，特别适合于自由曲线曲面的设计，在CAD／CAM中具有广阔的应用前景，笔者给出了这种奇异混合Bezier曲线的基表示形式并且讨论了它的基函数的性质。     

一种实用的自由曲面上曲线插值算法

直接在自由曲面上构造曲线是非常实用的造型技术,实现在曲面上曲线插值的主要思路是将其转化为一般的曲线插值问题求解。基于曲面及其参数之间的对应关系,提出了一种实用的算法,即根据给定的曲面上型值点,首先在参数域平面上构造插值曲线,再将该参数域内插值曲线映射到曲面上,获得曲面上曲线,从而实现曲面上曲线插值的目的。给出了具体的算法步骤,并对参数曲线不在参数域内部的特殊情况进行了处理。图例显示该法具有满意的效果。     

基于伸缩矢量函数的平面参数曲线的插值变形

针对平面参数曲线的插值变形问题,构造了伸缩矢量函数,将插值数据点转化为变形主方向矢量,用此伸缩矢量函数去作用待变形曲线,使曲线发生形变且变形后能通过给定的插值点,此方法能够精确控制变形范围,在变形与未变形部分之间具有C2连续性。     

C~3连续的保凸T-B插值曲线及保形插值算法

基于三角函数的T-B样条曲线虽然具有保凸性,但曲线不通过任何控制点.现在在两个相邻控制点之间插入两个新的控制点,使改造后新的T-B样条曲线插值能够通过原来的控制点,不仅保凸、C~3连续,而且曲线的形状还可作局部修改.给出了T-B样条曲线保形插值算法的保形性条件,并给出了数值计算例子.     

A Highly Accurate Multi-Scale Full/Half-Order Polynomial Interpolation

For the computational applications in several areas, we propose a single-scale and a multi-scale diagonal preconditioners to reduce the condition number of Vandermonde matrix. Then a new algorithm is given to solve the inversion of the resulting coefficient matrix after multiplying by a preconditioner to the Vandermonde matrix. We apply the new techniques to the interpolation of data by using very high-order polynomials, where the Runge phenomenon disappears even the equidistant nodes are used. In addition, we derive a new technique by employing an m-order polynomial with a multi-scale technique to interpolate 2m+1 data. Numerical results confirm the validity of present polynomial interpolation method, where only a constant parameter R₀ needs to be specified in the multi-scale expansion. For the Differential Quadrature (DQ), the present method provides a very accurate numerical differential. Then, by a combination of this DQ and the Fictitious Time Integration Method (FTIM), we can solve nonlinear boundary value problems effectively.