偏微分方程的MATLAB数值解法及可视化

偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位,很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。在学习初等函数时,总是先画出它们的图形,因为图形能帮助了解函数的性质。而对于偏微分方程,画出它们的图形并不容易,尤其是没有解析解的偏微分方程,画图就显得更加不容易了。为了从偏微分方程的数学表达式中看出其所表达的图形、函数值与自变量之间的关系,通过MATLAB编程,数值求解了泊松方程,并将其结果可视化,给出了解析解与数值解的误差。     

偏微分方程的MATLAB数值解法及可视化

偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位,很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。在学习初等函数时,总是先画出它们的图形,因为图形能帮助了解函数的性质。而对于偏微分方程,画出它们的图形并不容易,尤其是没有解析解的偏微分方程,画图就显得更加不容易了。为了从偏微分方程的数学表达式中看出其所表达的图形、函数值与自变量之间的关系,通过MATLAB编程,数值求解了泊松方程,并将其结果可视化,给出了解析解与数值解的误差。     

弹性网格变形方法及其应用

1.引言 网格生成是数值计算中的基础问题.在微分方程数值方法的实现过程中,一个合适的计算网格可以提高计算精度,大大降低计算复杂性.近年来,人们所关注的数值求解微分方程自适应方法也包含了网格自动生成的研究.目前,国内外在这方面的研究工作很多.以网格类型而言,有结     

基于机群系统的大规模并行搜索算法--大型离散偏微分方程组快速求解

大量的科学与工程应用中,会经常遇到复杂偏微分方程组的求解问题,这些偏微分方程组一般无法得到分析解,实际采用的是将其离散后通过数值逼近方法来求得近似解.为了得到较高的求解精度,需要将离散网格划分得足够细,但是这样就成倍地增加了计算量,许多问题就是因为计算量过大而无法求解或不得不降低精度求解.本文在机群计算平台上,针对机群计算的特点,提出了一种大规模并行搜索算法,这种算法由于可以充分发挥各个结点的计算能力,有效降低结点之间的通信,因而具有很高的效率.文中对这一算法进行了详细描述.该算法已经成功地用于压力铸造过程的流场模拟计算之中,可以有效地解决一大类大型离散偏微分方程组的求解问题.对于同样规模的一个实际问题,并行算法的求解时间相对于串行算法,从3到4天下降到3个小时,取得了很好的并行加速.     

有限元数值解法在MATLAB中的实现及可视化

偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位,很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。在学习初等函数时,总是先画出它们的图形,因为图形能帮助我们了解函数的性质。而对于偏微分方程,画出它们的图形并不容易,尤其是没有解析解的偏微分方程,画图就显得更加不容易了。为了从偏微分方程的数学表达式中看出其所表达的图形、函数值与自变量之间的关系,通过MATLAB编程,用有限元数值解法求解了偏微分方程,并将其结果可视化。     

改进的粒子群算法在偏微分方程中的仿真应用

工程领域中的许多问题都可以转化为微分方程的求解问题.由于存在多个附加条件,求解偏微分方程数值解比较困难.为解决上述问题,根据传统的有限差分法求解过程,提出了粒子群智能优化算法解决问题的求解步骤和具体策略.利用有限差分法将偏微分方程转化为较简单的线性方程组,指出新的适合具体方程组的适应值函数后,用改进的基于变尺度的粒子群优化算法将其转变为变分优化问题进而来求解线性方程组.通过仿真比较,改进的算法求解过程简单,控制参数少,数值实验表明算法有较好的效果和适用性.     

数值连续法解非线性差分方程的可行性

解非线性偏微分方程数值解问题通常可归结为解非线性差分方程组，解非线性方程组的数值连续法是扩大给定方法收敛域的一种尝试。本文正是利用这种方法研究了非线性二阶偏微分方程第一类边值问题数值解的计算问题，并给出检验其算法为可行的充分条件。     

切比契夫序列多点估值的两个新方法

自1.引言众所周知,切比契夫多项式在工程实践中使用非常普遍,广泛应用于计算流体力学、计算空气动力学和计算电磁学等科学和工程计算中.这些问题通常可以归结为偏微分方程数值解,而切比契夫序列估     

一种二维数值网格的构造方法

１．引言二维数值网格构造是一种二维区域上的自动网格生成技术．是为了适应数值求解任意形状二维区域上的偏微分方程而发展起来的．它产生以后,对于一些不规则区域上对边值敏感问题以及非定常二维流动问题等的数值计算起了重要的作用．从本世纪六十年代开始,有许多欧美和前苏联等学者在网格构造方面做了许多开拓的和内容较为丰富的工作．人们也越来越认识到网格构造无论是在差分法还是有限元的数值计算中都具有重要的地位．在求解非定常问题时,可以不管物理区域如何变化,始终保证计算在同一规则的参数区域中．特别在流体力学计算中,由…     

一种改进的基于深度神经网络的偏微分方程求解方法

偏微分方程求解是计算流体力学等科学与工程领域中数值分析的计算核心。由于物理的多尺度特性和对离散网格质量的敏感性,传统的数值求解方法通常包含复杂的人机交互和昂贵的网格剖分开销,限制了其在许多实时模拟和优化设计问题上的应用效率。提出了一种改进的基于深度神经网络的偏微分方程求解方法TaylorPINN。该方法利用深度神经网络的万能逼近定理和泰勒公式的函数拟合能力,实现了无网格的数值求解过程。在Helmholtz、Klein-Gordon和Navier-Stokes方程上的数值实验结果表明,TaylorPINN能够很好地拟合计算域内时空点坐标与待求函数值之间的映射关系,并提供了准确的数值预测结果。与常用的基于物理信息神经网络方法相比,对于不同的数值问题,TaylorPINN将预测精度提升了3~20倍。     

热传导方程的无网格Galerkin方法数值模拟研究

为了更好地数值模拟热传导方程,将无网格Galerkin( EFG)方法引入热传导问题的求解中,时间导数采用θ加权方法离散,同时与有限元(FE)方法的数值结果进行了比较,并研究了EFG方法中若干参数的选取对数值结果的影响.计算结果表明:相对于有限元方法,EFG方法能更好地吻合微分方程的解析解,EFG方法在节点布置较稀疏时,也可以获得很高的计算精度;θ≥1/2,EFG方法无条件稳定,且θ=1时数值解精度最高;算例中影响半径取为1.2h≤r＜2.8h,EFG方法可获得较为理想的计算结果.     

浅谈解的存在唯一性定理在《偏微分方程数值解》中的应用

从一个新的角度讨论常微分方程中解的存在唯一性定理在偏微分方程数值解法中的重要应用。给出一类伪双曲型偏微分方程的新的分裂混合有限元数值格式,将该格式转化成常微分方程系统,利用解的存在唯一性定理证明该系统是存在唯一解的。通过简短的讨论、概述明确解的存在唯一定理在偏微分方程数值解中的应用方法．并希望能够在教学科研未来的发展中有新的观念。     

时间-空间混和有限元

分析动力学与分析结构力学在数学理论上是一致的.振动与结构力学问题,其实只是一个符号之差.分析力学方法对两方面可通用.双曲型偏微分方程与椭圆型偏微分方程也是差一个符号.虽然性质不同,但分析上有共同之处.本文提出在有限元分析方面,不用对时间、空间分别离散而是组成混和的时空混和有限元网格.数值结果表明,时空混和有限元是有前途的.     

Matlab多项式与插值运算编程

数值计算的研究领域包括数值逼近、数值微分和数值积分、数值代数、最优化方法、常微分方程数值解法、积分方程数值解法、偏微分方程数值解法、计算几何、计算概率统计等.随着计算机的广泛应用和发展,许多计算领域的问题,如计算物理、计算力学、计算化学、计算经济学等都可归结为数值计算问题.通过详实的编程实例,展现Matlab在数值计算方面的丰富接口.     

基于MATLAB的静态场边值问题有限差分法的研究

有限差分法是求解静态场边值问题的一个非常有效的数值解法,它是将求解区域划分为有限个网格点,用一组差分方程代替原来一组微分方程.该方法求得的是近似解而不是精确解.求解区域内网格划分大小关系着计算的精确度,网格尺寸划分越小,计算精确度越高;反之,精确度越低.本文运用MATLAB语言使得有限差分法求解区域内电势分布的解法变得简单、易行,摆脱了传统方法使用C语言较复杂的缺陷.通过仿真验证了算法和程序的有效性.     

基于深度学习的偏微分方程求解方法

本文提出了一种基于深度学习的偏微分方程求解方法.该方法把偏微分方程的解看作函数变量关于自变量的非线性关系,利用深度神经网络表达该非线性关系,其不断逼近原偏微分方程解的过程是无约束最优化问题,可借助拟牛顿算法L-BFGS来求解.针对三种典型的偏微分方程,使用有限差分格式和本文方法分别求解,结果对比表明,本文方法计算精度较...     

变形法移动网格求解双曲型守恒律方程研究

在现有格式的基础上要提高偏微分方程数值解的分辨率,自适应移动网格技术是一种有效而且可行的方法。文中将文献[1]提出的自适应移动网格技术推广到三角形网格,并将该方法用于求解双曲型守恒量方程。用网格自适应技术求解守恒律问题时,当生成新网格之后,需要将旧网格上的函数值更新到新的网格,并保持物理量的守恒性。针对这个问题,文中提出了函数值更新过程中守恒型插值公式的具体形式,并针对二维双曲型守恒律方程进行了仿真实验,取得了满意的结果。     

变形法移动网格求解双曲型守恒律方程研究

在现有格式的基础上要提高偏微分方程数值解的分辨率,自适应移动网格技术是一种有效而且可行的方法。文中将文献[1]提出的自适应移动网格技术推广到三角形网格,并将该方法用于求解双曲型守恒量方程。用网格自适应技术求解守恒律问题时,当生成新网格之后,需要将旧网格上的函数值更新到新的网格,并保持物理量的守恒性。针对这个问题,文中提出了函数值更新过程中守恒型插值公式的具体形式,并针对二维双曲型守恒律方程进行了仿真实验,取得了满意的结果。     

有理Bézier单元求解参数曲面上Laplace-Beltrami方程

用有限元法数值求解时,定义在流形曲面上的偏微分方程的数值解精度会因为传统多边形单元的几何逼近误差而严重降低,为此提出基于有理Bernstein多项式的几何精确有限元法.首先插入重复节点从NURBS曲面直接生成有理Bézier单元,这一过程保持原有几何不变;然后通过Galerkin法建立参数曲面上包含Laplace-Beltrami微分算子的二阶椭圆偏微分方程的等效弱形式;针对Bernstein基函数的非插值性,通过配点法施加Dirichlet类型的边界约束,得到最优收敛的离散格式.数值算例结果表明,该方法能有效地减少网格离散误差,提高分析结果精度.     

满足G~1边界条件的混合细分曲面设计

自由曲面设计从工业制造到建筑设计都有着广泛的应用.文中将细分算法与几何偏微分方程方法相结合,构建一种统一的自由曲面设计方法.该方法将曲面扩散流作为演化方程,曲面的控制网格是三角形和四边形混合型网格;数值模拟采用Loop和Catmull-Clark混合细分的有限元方法,通过方程演化得到混合细分曲面的控制网格.数值实验结果表明,文中方法能构造高质量的曲面.此研究呈现出一种新颖的构造几何偏微分方程细分曲面的技术.