Landweber迭代正则化的加速

Landweber迭代法是求解大规模的不适定问题的一种有效方法,但其迭代序列收敛速度是相当慢.为了加快Landweber迭代收敛速度,将每一步Landweber迭代分解为矩阵计算和求解,对矩阵计算部分设计了一种快速迭代格式,并给出了相应的加速算法,通过数值实验验证了这种算法能够大大加快收敛速度,有效的减少计算量,解决了Landweber迭代正则化方法在实际应用中的障碍.     

求解对角占有线性方程组的一种有效算法

针对线性方程组的求解,通过引入参数矩阵,提出一种求解线性方程组的迭代方法。为保证算法的收敛性,使迭代矩阵的无穷范数最小,确定参数矩阵的参数,得到求解线性方程组的迭代格式,证明了算法求解对角占优线性方程组是收敛的。数值结果表明了算法的有效性。     

解线性方程组的一种新的迭代法

提出了解线性方程的新迭代算法,证明了当系数矩阵严格对角占优,不可约弱对角占优,对称正定时该方法收敛.给出新迭代算法的迭代矩阵的谱半径的上界.数值例子说明新方法在选取合适的参数的情况下,收敛较快。     

单向收缩QR算法在奇异值分解中的收敛特性

针对大型矩阵奇异值分解的数值计算问题,总结了单向收缩QR算法的特点,通过实例证明了该算法在处理由某些小幅度信号构造的大型矩阵的奇异值分解时存在不收敛的情况。从理论上分析了QR迭代过程中Givens变换矩阵的变化特点,发现算法出现不收敛现象的根本原因在于大型矩阵首行对角带元素的衰减,最终会使QR迭代时的第一个Givens右矩阵变为单位阵,从而导致后面所有Givens矩阵全部成为单位阵,引起QR算法失效。在此基础上进一步研究了首行元素的衰减对QR算法收敛速度的影响。对理论分析用实际数据进行了验证,从本质上探明了该QR算法的收敛特性。     

基于梯度算法解Sylvester张量方程最佳收敛因子的选取

针对求解Sylvester张量方程基于梯度的迭代算法,通过分析近似解与迭代初值之间的误差方程,并利用Sylvester矩阵方程的相关结论,讨论了迭代算法中收敛因子的选取对收敛速度的影响,从理论上获得了最佳收敛因子的选取方式。数值实验的结果与理论分析一致。     

矩阵方程AX＋XB＋CXD＋PXQ=F的松弛迭代解法

从参数迭代方法出发,建立了求解大型线性矩阵方程AX+XB+CXD+PXQ=F的唯一解的松弛迭代解法.通过矩阵变换和特征值分析,给出了松弛迭代格式收敛的充要条件.同时为了使得迭代速率加快,给出了两种加速动力迭代格式.最后,通过数值示例对文中所述进行了论证,说明所得算法大大提高了收敛速度.     

多维优化问题的一个自适应两点步长算法

给出了克服牛顿算法缺陷的自适应两点步长的算法。利用拟牛顿性质得到包含前两个迭代点有关信息的迭代步长因子解析表达式，无论初始迭代点与最优解之间是否存在Hesse矩阵不正定点、鞍点和广义拐点，迭代点列自动快速逼近最优解，该算法具有自适应性且仍具有二阶收敛速度；证明了算法的收敛性，并给出了算例，利用Mathematics数学软件验证了算法的有效性。     

GSOR迭代算法及其应用

给出了广义逐次超松弛(GSOR)迭代算法，得到了GSOR算法收敛的必要性和充分性条件，当参数矩阵Ω=diag(ω1，ω2，…，ωn)=ωIn时，即可得到熟知的SOR算法，举例说明了GSOR算法的应用。     

一组特征矩阵联合对角化算法的收敛性分析

先将一组特征矩阵联合对角化问题转化为一种代价函数的优化问题，再利用梯度下降方法求解代价函数的最优点。研究了一类代价函数的一些基本性质和各种等价形式，分析了一组特征矩阵联合对角化算法的收敛性。分析结果表明一组特征矩阵联合对角化算法是一种不动点算法；在特征矩阵无误差情况下，这个算法单步迭代就收敛到理论解。     

矩阵方程AX=B关于Hermitian矩阵的迭代解法

研究矩阵方程AX=B在Hermitian矩阵集合中的解及其最佳逼近问题,利用正交投影迭代法,给出迭代算法。证明了算法的收敛性,分析了收敛速率,最后通过数值实例,验证了算法的有效性。     

多参数MRV算法的算法设计与数值实验

MRV迭代法是求非线性方程组的数值解的一种Newton型迭代法. 它通过修改右端向量, 使得迭代过程中各步的线性方程组具有相同的系数矩阵. 在每步迭代过程中,利用一个参数的选择,来优化步长修正量. MRV迭代法的收敛速度较快, 界于定点Newton法和Newton迭代法之间. 借助于LU分解, 可使其计算成本降低, 低于定点Newton法. 这是一种非常实用的算法. 然而,其收敛速度仍需提高. 为此, 文献[9]利用多个参数, 得到一种新的迭代法--多参数MRV迭代法, 并对其收敛性进行了严格的证明. 通过对该算法进行进一步的研究,特别是对那些仅含少量非线性方程的非线性方程组,设计出一些比较好的算法, 既克服了Newton法每个迭代步都要计算Jacobi矩阵的缺点, 又保持了和Newton型迭代法相同的收敛速度. 并通过数值实验, 对这些算法的优点进行了验证.     

多参数MRV算法的理论证明

MRV迭代法是求非线性方程组的数值解的一种Newton型迭代法.它通过修改右端向量,使得迭代过程中各步的线性方程组具有相同的系数矩阵.在每步迭代过程中,利用一个参数的选择,来优化步长修正量.MRV迭代法的收敛速度较快,界于定点Newton法和Newton迭代法之间.借助于LU分解,可使其计算成本降低,低于定点Newton法.现利用多个参数,将MRV迭代法进行改进,得到一种新的迭代法--多参数MRV迭代法,并对其收敛性进行了严格的证明.得出多参数MRV迭代法的收敛速度比MRV迭代法要快的结论.     

基于光照模型的矩阵迭代序列可视化算法

给出一种基于光照模型的、针对三阶矩阵迭代的可视化算法,并利用该算法绘制了三阶矩阵单步、多步迭代序列的图形．     

一种大规模小波神经网络的拟牛顿学习算法

为解决大规模小波神经网络的优化问题,提出了一种快速的拟牛顿学习算法,即使用改进Wolfe线搜索的仅存储梯度向量拟牛顿算法．该算法每次迭代中最多计算两次梯度,并且计算中仅需存储递度向量,避开了近似Hessian矩阵的存储问题,从而大大降低了计算量和存储需求．仿真验证了算法的有效性和可行性．     

一种实用的线性方程组迭代预处理算法

针对传统解线性方程组Ax=b的迭代法的局限性,通过引入全主元矩阵的概念,提出了一种改进算法,先将线性方程组的系数矩阵A变换成全主元矩阵,然后再进行迭代。数值实验结果表明:该算法可大大提高迭代法的收敛比率。     

非线性不等式组的最小二乘解

本文给出了求非线性不等式组最小二乘解的一种方法。它是S.P.Han的工作[1]的一种推广。算法在每步迭代中利用广义逆矩阵来确定搜索方向。我们讨论了算法的收敛性,给出了所提出算法的收敛性定理。     

系统辨识(7)：递阶辨识原理与方法

递阶辨识是系统辨识的一个重要分支.递阶辨识原理是在大系统递阶控制的“分解-协调原理”基础上发展起来的,它不仅能够解决参数数目多、维数高、大规模系统辨识算法计算量大的问题,而且能够解决结构复杂的双线性参数系统、多线性参数系统以及非线性系统的辨识问题.首先介绍递阶辨识原理和线性方程组Ax=b的著名雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代,给出了线性方程组的迭代方法族;其次将雅可比迭代思想和递阶辨识原理用于研究一般矩阵方程和耦合矩阵方程的递阶梯度迭代求解方法和递阶最小二乘迭代求解方法;再次介绍了方程误差模型的两阶段最小二乘辨识方法(一个简单的递阶辨识方法)和线性回归模型的递阶最小二乘辨识方法;最后研究了类多变量CARMA系统的递阶辨识方法.     

求非线性方程组的数值解的MRV迭代法的特殊应用

MRV迭代法是求非线性方程组的数值解的一种Newton型迭代法.它通过修改右端向量,使得迭代过程中各步的线性方程组具有相同的系数矩阵.其收敛速度较快, 界于定点Newton法和Newton迭代法之间.借助于LU分解,可使其计算成本降低,低于定点Newton法.将MRV迭代法用于只含一个非线性方程的非线性方程组, 得到一种新的迭代法--SMRV迭代法.其计算成本更低,收敛速度更快.其收敛速度与Newton迭代法相同,即至少是平方收敛的.     

不相容矩阵不等式AXB＋CYD≥E的迭代算法

为求解不相容矩阵不等式AXB ＋CYD ≥E 的对称解,给出矩阵不等式有解的充分必要条件。提出了一种迭代算法,该算法以谱投影梯度法为主要框架。在适当条件下证明了算法的收敛性。     

聚碳酸酯表面铬酸预处理对涂层附着性能影响

半定规划基于特殊核函数的全牛顿步不可行内点算法

王亚丹¹,刘红卫¹,刘泽显^1,2

（1. 西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126;

2. 贺州学院 数学与计算机学院,广西 贺州 542899）

创新点说明：

本文利用特殊的核函数改进算法的可行步,构造了相应的不可行内点算法,使得算法在每次迭代过程中只需一次全牛顿步,就能够得到接近中心路径的新的迭代点。

研究目的：

通过使用核函数改进可行步,提出一种新的全牛顿步不可行内点算法。

研究方法：

定量分析法;对比分析法; 数学实验法。

研究结果、结论：

1）通过使用特殊的核函数改进可行步,得到了一种新的半定规划不可行内点算法;

2）算法在每次迭代过程中仅使用一次可行步,就能够得到半定规划问题的近似最优解;

3）对算法进行复杂性分析,得到算法的迭代复杂度为 ,其中 ,结果表明：算法的迭代复杂度与目前半定规划最好的迭代复杂度一致。

关键词：半定规划,不可行内点算法,全牛顿步,核函数,多项式复杂度