有限非链环上的自对偶常循环码及其应用

纠错码是提高信息传输效率与可靠性的重要手段.构造性能良好的线性码类是纠错码研究中的一个基本问题.本文主要讨论了有限非链环F_q[v]/（v^m－v）上自对偶常循环码的代数结构,包括Euclidean自对偶常循环码、Hermitian自对偶常循环码以及Hermitian自对偶常循环码的极大距离可分（MDS）码.本文给出了环F_q[v]/（v^m－v）上常循环码是Euclidean自对偶码的充分条件,以及是Hermitian自对偶码的充要条件,并利用Gray映射构造了有限域F_q上一些参数较好的自对偶码.特别地,本文得到了有限域F_19²上一个新的参数为[16,8,6]的Hermitian自对偶码.     

环Z4上自对偶码的构造

利用有限环Z₄+vZ₄（其中v²=1）上自对偶码,给出了一种构造Z₄上自对偶码的方法.引入了（Z₄+vZ₄）ⁿ到Z₄²ⁿ的保距Gray映射,给出了Z₄+vZ₄上自对偶码的性质,证明了Z₄+vZ₄上长为n的自对偶码的Gray像是Z₄上长为2n的自对偶码,由此构造了Z₄上一些极优的类型I与类型Ⅱ自对偶码.     

有限非链环Fpm+vFpm上循环码的迹码和子环子码

给出了有限非链环F_p^m+vF_p^m的Galois扩环相关理论,明确了有限非链环F_p^m+vF_p^m上循环码的迹码和子环子码的生成元结构.     

Z4×(F2+uF2)上的一类循环码

定义了Z₄×（F₂+uF₂）上的循环码,明确了一类循环码的生成元结构,给出了该类循环码的极小生成元集.利用Gray映射,构造了一些二元非线性码.     

环Fq+uFq+...+uh-1Fq上任意长度的(u?-1)-常循环码

该文利用环同态理论,给出了环k 1 q q q R F uF u F =++L+-上任意长度N 的所有(ul -1)-常循环码的生成元, l 是R 的可逆元.证明了[]/1 N R x < x +-ul >是主理想环.给出了环R上任意长度N 的(ul -1)-常循环码的计数.确定了环R上任意长度N 的(ul -1)-常循环码的最高阶挠码的生成多项式,由此给出了环R上长度 s p 的所有(ul -1)-常循环码的汉明距离.     

有限域上最优码的一种新的构造方法

基于域F_p^m上一类特殊的矩阵,定义了环R(_p^m,k)=F_p^m[u]/k>到F_p^p_mj的一个新的Gray映射,其中u^k=0、p为素数、j为正整数且p^j－1+1≤k≤p^j.得到了环R(_p^m,k)上码长为任意长度N的(1+u)常循环码的Gray象是F_p^m上长为p^jN的保距线性循环码,并给出了Gray象的生成多项式,构造了F₃,F₅和F₇上的一些最优线性循环码.     

环F2+uF2+…+uk-1F2上常循环自对偶码

最近,剩余类环上的常循环码及常循环自对偶码引起了编码学者的极大关注.本文首先利用一些相关的线性码,建立了一类特殊有限链环上长为N的常循环自对偶码的一般理论,利用其结果给出了该环上长为N的(1+uλ)-常循环自对偶码存在的充分条件,得到了该环上长为N的一些常循环自对偶码,并给出了其生成多项式.     

环F2+uF2上线性码的结构特性

该文研究了环F2 uF2上线性码的结构特性,讨论了环F2 uF2上线性码及其剩余码、挠码和商码之间的关系,通过这些关系.给出了线性码(特别是循环码)的深度分布与深度谱.     

环 F2＋ uF2＋ u2 F2上的常循环码

常循环码是一类重要的纠错码,本文基于（xn －1）在 F2[x]上的分解,探讨了环 R＝ F2＋ uF2＋ u2 F2上任意长度的（1＋λu）常循环码的极小生成元集（λ为R上的单位）。通过分析该环上循环码和常循环码的置换等价性,得到了该环上码长为奇数及码长 N≡2（mod 4）时（1＋ u2）常循环码的生成多项式和极小生成元集。     

环Fp+vFp+v2Fp上线性码的各种重量计数器及其MacWilliams恒等式

首先给出了环R=F_p+vF_p+v²F_p上线性码及其对偶码的结构及其Gray象的性质.定义了环R上线性码的各种重量计数器并讨论了它们之间的关系,特别的,确定了该环上线性码与其对偶码之间关于完全重量计数器的MacWilliams恒等式,利用该恒等式,进一步建立了该环上线性码与其对偶码之间的一种对称形式的MacWilliams恒等式.最后,利用该对称形式的MacWilliams恒等式得到了该环上的Hamming重量计数器和Lee重量计数器的MacWilliams恒等式,利用不同的方法推广了文献[7]中的结果.     

环Fq+uFq++uk-1Fq上一类重根常循环码

记R=Fq+uFq++uk-1Fq,G=R[x]/,且是R中可逆元。定义了从Gn到Rtn的新的Gray映射,证明了J是G上长为n的线性的x-常循环码当且仅当(J)是R上长为tn的线性的-常循环码。使用有限环理论,获得了环R上长为pe的所有的(u-1)-常循环码的结构及其码字个数。特别地,获得了环F2m+uF上长为2e的(u-1)-常循环码的对偶码的结构及其码字个数。推广了环Z2a根负循环码的若干结果。     

环Z4+uZ4线性码关于李重量的一类MacWilliams恒等式

MacWilliams恒等式是研究线性码及其对偶码的码字重量分布的一个非常有用的工具,而码字的重量分布的研究是编码研究中一个非常重要的研究方向.本文定义了环Z4+uZ4上长度为n的线性码的m-层李重量计数器,给出了环Z4+uZ4上长度为n的线性码关于李重量的一类MacWilliams恒等式.证明了该等式是生成矩阵在环Z4+uZ4上的环GR(4,m)+uGR(4,m)上线性码关于李重量的MacWilliams恒等式.进一步,利用Krawtchouk多项式,获得了环Z4+uZ4上长度为n的线性码的等价形式MacWilliams恒等式.     

One and Two-Weight Z2R2 Additive Codes

This paper is devoted to the construction of one and two-weight Z2R2 additive codes, where R2 =F2[v]/. It is a generalization towards another direction of Z2Z4 codes (S.T. Dougherty, H.W. Liu and L. Yu,"One weight Z2Z4 additive codes", Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, Vol.27, No.2, pp.123–138, 2016). A MacWilliams identity which connects the weight enumerator of an additive code over Z2 R2 and its dual is established. Several construction methods of one-weight and two-weight additive codes over Z2 R2 are presented. Several examples are presented to illustrate our main results and some open problems are also proposed.     

环F2+uF2+…+uk-1F2上长为2S的(1+u)-常循环码的距离分布

研究码字的距离分布是编码理论的一个重要研究方向。该文定义了环R=F₂+uF₂+…+u^k-1F₂上的Homogeneous重量,研究了环R上长为2^S的(1+u)-常循环码的Hamming距离和Homogeneous距离。使用了有限环和域的理论,给出了环R上长为2^S的(1+u)-常循环码和循环自对偶码的结构和码字个数。并利用该常循环码的结构,确定了环R上长为2^S的(1+u)-常循环码的Hamming距离和Homogeneous距离分布。     

Constacyclic codes of arbitrary lengths over ring Z_{p^m } + vZ_{p^m }

By constructing a Gray map, constacyclic codes of arbitrary lengths over ring R = Zpm ＋ vZpm are studied, where v2 = v. The structure of constacyclic codes over R and their dual codes are obtained. A necessary and sufficient condition for a linear code to be self-dual constacyclic is given. In particular, （1 ＋ （v ＋ 1）αp）-constacyclic codes over R are classified in terms of generator polynomial, where α is a unit of Zpm.     

部分系统Turbo码的研究

对一种码率为1／2的部分系统turbo码性能进行了讨论。它是通过对码率为1／3的turbo码的校验位和信息位进行删余得到的。这种码的“误码下限”（error-floor）比对应的系统码要低。因此,码率为1／2的turbo码,在没有增加编码和译码复杂性的情况下,通过简单地对信息位和校验位的删除可以提高性能。     

环F2+uF2的Galois扩张上的迹码

环E＋uF2是介于环Z4与域F4之间的一种四元素环，因此分享了环Z4与域F4的一些好的性质，此环上的编码理论研究成为一个新的热点。该文给出了环E＋uF2的Galois扩张的相关理论，指出此Galois扩环的自同构群不同于Z4环上的Galois扩环的自同构群；定义了Galois扩环上的迹码的概念及子环子码的概念，证明了此Galois扩环上的一个码的对偶码的迹码是该环的子环子码的对偶码。     

一种基于MDS-卷积码的LDPC码构造方法

近年来,结构化低密度奇偶校验(LDPC)码的构造方法受到了广泛地关注.本文提出了一种利用最大距离分割(MDS)编码构造结构化LDPC码的思路.该思路将基于两个信息符号的RS码构造LDPC码的方法扩展至适用于所有的MDS码.本文以具有MDS特性的卷积码为例详细描述该构造方法的细节,并构造了码长从255比特到4095比特的高码率LDPC码.由于卷积码的MDS定义不同于线性分组码,因此本文给出了一种对卷积码截短的方法及其必要的证明.仿真结果表明,本文构造MDS-Conv-LDPC码的性能优于随机构造的LDPC码.