关于矩阵空间上保持极小秩问题的研究

设F是一个特征为0的代数闭域,Mn(F)是F上的n×n全矩阵空间,称映射T:Mn(F)→Mn(F)保持极小秩,如果mr(T(A))=mr(A),(A)A∈Mn(F).文中首先刻画n≥3时,Mn(F)到其自身的同时保持极小秩和某一非奇异双线性函数的变换T的形式,然后证明M2(F)到其自身的保持极小秩的线性变换的形式.     

保域上矩阵可交换｛1｝-逆的线性映射

设F是一个特征不为2且至少含有5个元素的域.令Mn(F)为F上的n×n全矩阵代数.刻画了Mn(F)上保持矩阵可交换{1}-逆的线性映射的形式.利用保幂等结论证明了f为Mn(F)上的保持矩阵可交换{1}-逆的非零线性映射,当且仅当存在P∈GLn(F),使得f(A)=εPAP-1,A∈Mn(F),ε=±1∈F;或者存在P∈GLn(F),使得f(A)=εPAtP-1,A∈Mn(F),ε=±1∈F.     

矢量空间上的非增秩线性映射

令V是域F上的向量空间,F(V)是作用于V上的所有有限秩线性变换构成的向量空间.给出F(V)上秩非增和完全非增秩线性映射的刻画.     

Rank Nonincreasing Linear Maps on Vector Spaces

令V是域F上的向量空间,F(V)是作用于V上的所有有限秩线性变换构成的向量空间.给出F(V)上秩非增和完全非增秩线性映射的刻画.     

一类秩等方程的解

设K为一个体,Km×n为K上m×n矩阵的集合.文中利用初等变换和广义逆刻画了体K上秩等方程rank (AXYZ)=rank A的几种情形解的存在性及其形式.     

矢量空间上的非增秩线性映射

令V是域F上的向量空间．F(V)是作用于V上的所有有限秩线性变换构成的向量空间．给出F(V)上秩非增和完全非增秩线性映射的刻画．     

对称矩阵空间上的保秩1导出映射

设F是任意域,ifj（i,j∈[n]）是从F到自身的映射,Sn（F）是F上n阶对称矩阵全体所成集合,f是Sn（F）上由{ifj}n诱导出的映射,本文研究Sn（F）上几种保秩1导出映射的形式.     

三元域上2×2和3×3阶对称矩阵空间保行列式的映射

讨论了是非线性保持问题.设F是|F|=3的域.S_n(F)是F上n×n 对称矩阵空间.设 [[phi]]是从Sn(F)到自身的映射(可能是非线性的)，如果对于所有的 A ，B ∈S_n(F) 和λ∈F都有det( A + λB )=det([[phi]] ( A )+ λ[[phi]]( B )) ，则称 [[phi]] 是S_n(F)上的保行列式的映射. 刻画了n=2,3 时S_n(F)上的保行列式的映射形式.这解决了保行列式问题中的一个未解决的问题.从而推广了其相应结论.     

体上一类具有幂等子块的分块矩阵的群逆

设K是一个体, Km×n表示m×n上所有K矩阵的集合.对矩阵A∈K 若存在矩阵X∈Kn×n使AXA=A,XAX=X,AX=XA,则称X为A的群逆.研究分块矩阵广义逆的表达式是矩阵广义逆理论中研究的重要问题.分块矩阵的群逆表达式在奇异微分和差分方程、马尔可夫链、迭代方法和密码学等领域有广泛应用.这里给出了体上分块矩阵[ABB0](A,B∈Kn×n,B2=B,((I-B)A)#存在)的群逆的存在性及表示形式.     

上三角矩阵保逆的诱导映射

针对域F上所有上三角矩阵的保逆诱导映射问题,使用了矩阵技术和初等方法。对域F上所有n×n上三角矩阵集合Tn(F)的诱导映射和保矩阵逆映射这两个概念进行定义。给出了Tn(F)的保矩阵逆的诱导映射的具体形式.     

域上保持矩阵D-逆的线性算子

设F是至少包含5个元素的域,令Mn（F）为F上的n×n全矩阵代数。在广义逆保持的研究中,特征为2的域上的工作尚不多见,并且由于工作难度大,关于特征2的情形的工作不仅没有加法映射的结果,而且即使是线性映射也只是讨论可逆的情形,并且在基础域附加一些条件。文中刻画当chF=2且n≥m≥2时,从Mn（F）到Mm（F）保持矩阵D-逆的线性算子的形式。利用保幂等的结论证明f为从Mn（F）到Mm（F）的保持矩阵D-逆的非零线性算子当且仅当存在P∈GLn（F）,使得f（A）=PAP-1,A∈Mn（F）;或者存在P∈GLn（F）,使得f（A）=PAtP-1,A∈Mn（F）。     

域上保持对称矩阵群逆的线性算子

设F是一个特征为2的域,|F|＞4,令Mn(F),Sn(F),分别为全矩阵空间和对称矩阵空间.讨论了在特征为2的情况下从Sn(F)到Mn(F)上保持对称矩阵群逆的线性算子的表示形式问题.给出了在特征为2的情况下从Sn(F)到Sn(F)保持对称矩阵群逆的线性算子的表示形式.研究的保持问题不仅在数学理论上有着广泛研究,而且在系统控制、量子力学、微分几何、数理统计等领域有着广泛的实际应用背景.     

三自旋1/2量子控制系统的伴随矩阵计算

将关于密度算子的Liouville-von Neumann方程表示成坐标微分方程,伴随矩阵具有重要作用。对于三自旋1/2量子系统需要64个64×64的伴随矩阵来描述其坐标动态。基于已建立的多自旋1/2量子系统的伴随矩阵和反伴随矩阵的计算公式,该文给出了三自旋1/2量子系统的几个伴随矩阵和反伴随矩阵的算例。计算结果表明,这些64维的伴随矩阵和反伴随矩阵均是稀疏矩阵。通过计算将这些矩阵的非零元列举在表格中并讨论了非零元的分布。     

gl(m,n)上保超迹的乘法映射

设F是一个特征不为2的域,gl(m,n)为F上所有m+n阶阵构成的一般线性李超代数,刻画gl(m,n)上保超迹的乘法映射,最后给出乘法映射的具体形式.     

域上2阶上三角矩阵空间保对合性的线性算子

在保持问题的研究中,阶矩阵空间的研究方法具有一定的特殊性. 设F是域, 记为F上阶上三角矩阵空间,本文刻画了上保对合的线性算子的形式.     

矩阵线性组合幂等性及立方幂等性的一些结论

研究幂等矩阵和立方幂等矩阵的线性组合在矩阵理论和统计学中具有重要的意义.设A、B是2个n×n的复矩阵,令P=_(c1)A+_(c2)B,其中c_1、c_2为非零复数.该文在AB=BA的条件下分别给出:当A分别为幂等矩阵和立方幂等矩阵,B为任意矩阵时,线性组合P分别为幂等的和立方幂等的充分必要条件.并且利用以上结果直接得出下面的结论:当A为幂等矩阵,B为与A可交换的幂等矩阵或立方幂等矩阵时,P是幂等矩阵的充分必要条件;当A和B为可交换的立方幂等矩阵时,P是立方幂等矩阵的充分必要条件.     

实数域上对称矩阵空间的保秩函数

令Sn（R）表示R上所有n×n对称矩阵所组成的空间。设f是R→R的一个函数,若f满足rankA=ranf（A）,∨A∈S×n（R）,称f为Sn（R）上的保秩函数,刻画了n≤3时Sn（R）上保秩函数的形式。     

特殊分块矩阵的群逆的表示

1983年,Campbell提出寻找形如M=[A B C 0]的2×2分块矩阵广义逆的表达形式的问题,至今没有得到完全解决,设cn×n是所有m×n复矩阵的集合,设A∈Ct×n,令A*为A的共轭转置.文中主要研究形为[A A A* 0] (其中A为幂等阵)的分块矩阵的群逆问题,一方面利用群逆的定义及其存在的充分必要条件证明形如[A A A* 0] 的分块矩阵的群逆的存在性;另一方面,应用群逆的求解公式Mm#=M(M3)(1)M及分块矩阵的一系列初等变换给出上述分块矩阵群逆的一般表示公式.