关于方程1/m21-1/n21=1/m22-1/n22=…=1/m2k-1/n2k的正整数解

文献[1]指出,丢番图方程(1)/(m21)-(1)/(n21)=(1)/(m22)-(1)/(n2n)=…=(1)/(m2k)-(1)/(n2k),当k≥2时恒有一组正整数解.本文作者证明了这方程在k≥2时恒有无穷多组满足(m1,n1,m2,n2,…,mk,nk)=1的正整数解,但无恒满足(mi,ni)=1(I=1,2,…,k)的正整数解.     

关于方程1/m_1~2-1/n_1~2=1/m_2~2-1/n_2~2=…=1/m_k~2-1/n_k~2的正整数解

文献[1]指出,丢番图方程1m21-1n21=1m22-1n2n=…=1m2k-1n2k,当k≥2时恒有一组正整数解。本文作者证明了这方程在k≥2时恒有无穷多组满足(m1,n1,m2,n2,…,mk,nk)=1的正整数解,但无恒满足(mi,ni)=1(i=1,2,…,k)的正整数解。     

关于丢番图方程x（x＋1）（2x＋1）=2^kpy^n

利用简洁初等方法,证明了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=2^kpy^n在n=3,5及n≥4为偶数时无正整数解,在n=2时仅有正整数解在n≥7为奇数时最多有四组正整数解,并且满足（k,n)=1,从而简洁初等地证明了Lucas猜想。     

关于丢番图方程 x2p+2kyp=z2

设A、B、C是两两互素的正整数,m,n,r是大于1的正整数，对于丢番图方程Ax^m+Byⁿ=Cz^r，(x,y,z)=1，1/m+1/n+1/r＜1，1989年,Tijdeman猜想：该方程仅有有限多组整数解(x,y,z)；1997年，Andrew Bal猜想：如果A=B=C=1,m,n,r均大于2，则该方程没有正整数解.关于上述猜想，本文作者获得了如下结果：设p为奇素数，证明了丢番图方程x^2p+2^ky^p=z²,(x,y)=1，k≥1，y≠0仅有整数解k=3,｜x｜=y=1,｜z｜=3和k=2pl+3,｜x｜=2l,y=1,｜z｜=3·2^pl .从而更正了王云葵关于上述方程所获得的结果.     

关于Ramanujan-Nagell方程D_1x~2+2~mD_2=p~n

设P是奇素数,又设D1,D2是适合D1>1,D2>1,ged(D1,D2)=1,D1 D2≠0,(mod p)的正奇数.证叫了方程D1x2+2mD2=pn至多有2组正整数解(x,m,n).     

关于丢番图方程x2-y2=z^n的正整数解

本文作者得到了丢番图方程x2-y2=z^n满足(x，y)=l的正整数解的一个公式，它比已知的公式更简洁。同时给出了z=m一定时此方程全部正整数解的个数公式。     

关于丢番图方程x2-y2=zn的正整数解

本文作者得到了丢番图方程x2-y2=zn满足(x,y)=1的正整数解的一个公式,它比已知的公式更简洁.同时给出了z=m一定时此方程全部正整数解的个数公式.     

Km,n^＊的P2k—因子分解

给出了完全二部对称有向图Km,n^*，存在P2k-因子分解的充分必要条件为m=n≡0（mod k(2k-1)).     

数论函数方程φ(n)=S(n~k)的非平凡解

对于正整数a,设φ(a)和S(a)分别是a的Euler函数和Smarandache函数,k是给定的正整数。本研究运用初等数学方法给出了方程φ(n)=S(nk)有适合n1的正整数解n的充要条件。由此推知:如果k=[(pα-1-1)/α],其中p为奇素数,α是大于1的正整数,[(pα-1-1)/α]是(pα-1-1)/α的整数部分,则该方程有正整数解n=pαm适合n1,其中m∈{1,2}。     

关于Diophantine方程x3+23n=Dy2

设D是不能被6k+1之形素数整除的无平方因子正奇数.本文证明了:如果D满足下列条件之一,则方程x3+23n=Dy2没有适合n>1以及gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,n).这些条件是(1)D≡0(mod3);(2)D≡1或3(mod8);(3)D有素因数p适合p≡5(mod12).     

关于不定方程x^3-1=Dy^2

设D是奇素数,运用初等数论的方法给出了在D=3（8m＋k）（8m＋k＋1）＋1（m,k∈N,k≤7）的情形下不定方程x^3-1=Dy^2无正整数解的充分条件。     

关于Diophantine方程x^3＋1=3py^2

设p是奇素数,研究了丢番图方程x3+1=3py2正整数解的情况.利用初等数论的方法得到了丢番图方程x3+1=3py2无整数解的一个充分条件,即p为素数且p=3 3k+13k+2+1,其中k是非负整数,则方程x3+1=3py2无正整数解.     

关于方程1+q+q~2+…+q~n(n-1)=p~m

本文用初等方法给出了当2■m时方程1+q+q~2+…+q~(-1)=p~m,p,q是奇素数,n≥5,m≥2有解的充要条件,并且证明了当q(q-1)p<100或p=q(q-1)t~2±1时该方程只有一个已知解。     

对形如√n^2＋ln＋k的十分位问题的讨论

对于实数x,设d（x）是x的十进制表示中的十分位数。对正整数l和k的形如√n^2＋ln＋k（l,n）=1取值进行研究,用初等方法,完整的讨论了取1,2,…,9时的可能性,及对应的n的范围。     

关于Diophantine方程x^3±1=Dy^2

利用数论中的同余,勒让德符号的性质及其它一些方法,研究丢番图方程x3±1=Dy2（D=D1p,D是无平方因子的正整数,其中D1是不能被3或6k＋1之形的素数整除的正整数,p=3（12r＋7）（12r＋8）＋1,r是正整数）的解的情况。证明了当D1≡7（mod12）时,方程x3＋1=Dy2无正整数解;当D1≡5,8（mod12）时,方程x3-1=Dy2无正整数解。     

关于Diophantine方程x^3±8=Dy^2

利用数论中同余的性质研究丢番图方程x3±8=Dy2（D=D1p,D是无平方因子的正整数,其中D1是不能被3或6k＋1之形的素数整除的正整数,p是正奇素数）的解的情况,证明了当D1=3,7（mod8）,p=3（8k＋7）（8k＋8）＋1时,方程x3＋8=Dy2无正整数解;当D1=7（mod8）,p=3（8k＋5）（8k＋6）＋1时,x3-8=Dy2无正整数解。     

关于Diophantine方程X^2－Dy^4=1的Walsh猜想

设D是非平方正整数．ul v2√D是Pell方程u2-Dv^2=l的基本解．对于正整数n，设un和vn是适合ul v2√D=(ul v1√D)“的正整数．证明了当D和vl都是奇数时，如果vn是平方数，则必有n≤2．     

关于Diophantine方程x~2+D=y~n

设D是无平方因子正整数,h(-D)是虚二次域Q(-D)的类数.证明了当D 7(mod8)时,方程x2+D=yn的正整数解(x,y,n)都满足5gcd(n,h(-D)) n.     

关于丢番图方程x~4—Dy~2=1

对于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0且不是平方数,我们证明了在1)D=pq,p,q 是不时的奇素数,(?)p/q(?)=-1,且Pell 方程x~2-Dy~2=1的基本解ε=x_0+y_0D~(1/2)满足r|x_0+1,r≡3((mod4)是某个素数,2)D=2pq,p≡q≡5(mod8)时,均无正整数解。不难验证,适合1)的D 有无穷多个,如文末的两个推论。     

关于Diophantine方程x2-Dy4=1的Walsh猜想

设D是非平方正整数.u1+v2(*)D是Pell方程u2-Dv2 ＝1的基本解. 对于正整数n,设un和vn是适合u1+v2(*)D＝ (u1+v1(*)D)n的正整数. 证明了当D和v1都是奇数时, 如果vn是平方数,则必有n≤2.