应用优化的同伦分析法求解非线性Jerk方程

应用优化的同伦分析法计算了具有三次非线性项的三阶微分方程(Jerk)的近似周期和近似解析周期解。文中给出一个算例说明由优化的同伦分析法可以容易得到精确的二阶近似周期解。当初速度 比较大时,一阶近似周期与精确周期的百分比误差为-0.415%,而二阶近似周期与精确周期的百分比误差为-0.0298%。与数值方法给出的“精确”周期解比较,一阶近似解析周期解和二阶近似周期解的精度很高。这个说明同伦分析法对求解非线性Jerk方程非常有效     

一个非线性奇异振子的谐波平衡解

应用谐波平衡法计算了一个恢复力与因变量成反比的非线性振子的近似频率和近似周期解。与Mickens的方法不同,直接求解了非线性奇异二阶微分方程。一阶和二阶谐波解所对应的非线性恢复力的傅立叶级数展开式的系数容易由相应的积分得到。由二阶谐波平衡法得到的非线性代数方程组很容易用符号运算软件求出。得到的一近似频率与精确频率的百分比误差是12.8%,而二阶近似频率与精确频率的百分比误差小于1.28%。与数值方法给出的“精确”周期解比较,二阶近似解析解要比一阶近似解析解精确得多。高阶谐波平衡法一般需要求解复杂的非线性代数方程组,但是借助于Matlab和Mathematica等符号运算软件,这一困难可以得到一定程度的克服.     

一类非线性jerk方程的改进两变量展开法

应用改进的两变量展开法求解非线性含有三次非线性项的三阶微分方程的近似频率和近似解析周期解。该方法结合了Lindstedt-Poincare方法与两变量展开法不仅可以适用于弱非线性振动问题的求解而且还可以适用于强非线性振动问题的求解。文中以一个不含速度线性项的非线性jerk方程作为例子分析并得到二阶近似周期和二阶近似解析周期解,与数值方法给出的“精确”周期解比较,二阶近似解析周期解比一阶近似解析周期解要精确得多。结果表明,改进的两变量展开法能够适用于求解非线性jerk方程。而且在jerk方程不含速度线性项时该方法仍然有效。     

非线性奇异振子的解析逼近解

利用修正的牛顿-谐波平衡法建立了非线性奇异振子的解析逼近周期和周期解．通过改写控制方程和选取简单、合适的校正项对牛顿-谐波平衡法进行了修正.构造的两个解析逼近周期和周期解不仅在振幅和参数全部取值范围内有效且能快速地收敛到精确解；两个逼近周期与精确周期的百分比误差分别低于0.92%和0.09%，后者比已有结果精度高。     

非线性振动方程多重解求解方法

非线性振动方程多重解的求解过程中,迭代初值难以有效确定,不稳定周期解收敛域很小,利用通常的微分方程解法无法直接求解。针对这个问题,引入同伦算法,使得初始值的选取无任何限制;同时利用预测-校正算法对外激励参数变化下的解曲线进行追踪,得到系统的多重解。该方法不但可以计算稳定的周期解,而且不稳定的周期解也可以求出。采用Duffing振子运动方程对该方法进行了计算验证,通过与理论近似解以及龙格-库塔法计算结果的对比,验证了该方法的有效性。     

干摩擦自激振动周期解的同伦方法

针对一类单质体-传输带干摩擦系统,首先对系统平衡点进行稳定性分析,然后利用同伦方法研究系统的纯滑动和粘滞滑动形式的干摩擦自激振动。通过适当选取基函数,定义初始猜测解、辅助线性算子和非线性算子,计算到二阶或三阶近似即可得到精度较高的解析近似解。由于粘-滑极限环的由两个阶段组成,具有非光滑特点,在计算其滑动阶段时,可以允许近似解中出现长期项。     

一类二阶迟滞非线性控制系统简谐激励响应的IHB分析方法

针对一类迟滞特性和线性特性可分离的二阶迟滞非线性控制系统,用Backlash神经网络模型逼近系统迟滞非线性部分,建立动力学模型,采用增量谐波平衡法（IHB法）求解该类含比例控制器的迟滞非线性闭环控制系统在简谐激励下的稳态周期解,并引入Floquet理论分析系统周期解的稳定性。通过Runge-Kutta数值积分法对近似迭代法的精确性进行了验证,最后分析了控制器参数对系统性能的影响。     

三次型非线性包装系统跌落冲击响应分析

目的分析得到三次非线性包装系统跌落冲击的近似解析解,修正提高解的精度,以达到工程要求。方法采用解决普遍非线性振动问题的何氏参数展开法,并针对跌落冲击动态方程的求解进行算法修正,选取三次非线性包装系统跌落冲击模型为算例,求解得到一阶近似解;与包装工程中的能量法结合,对近似解进行修正。结果修正后的最大位移响应、最大加速度响应、系统响应周期与Runge-Kutta数值解非常接近,相对误差小于0.05%。结论为非线性包装系统跌落冲击响应分析提供了一种新的科学有效的近似分析方法。     

正切型缓冲系统跌落冲击响应分析的NHB方法

目的为了获得正切型缓冲系统跌落冲击响应的近似解析解。方法将正切型系统简化为3次、5次非线性系统,经无量纲处理后获得无量纲动力学方程,应用牛顿谐波平衡法求解系统无量纲动力学方程,得到跌落冲击响应一阶、二阶近似解析解,并获得系统位移响应最大值、加速度响应最大值以及跌落冲击持续时间等重要参数的解析表达式。结果通过算例分析表明,牛顿谐波平衡法二阶近似解与龙格-库塔数值解接近,相对误差控制在2%以内。结论牛顿谐波平衡法为非线性缓冲系统跌落冲击响应分析提供了一种新的有效解析方法。     

单摆大振幅振动的解析逼近解

构造了单摆大振幅振动的高精度解析逼近周期和周期解.首先,利用Maclaurin展开和Chebyshev多项式加速技术将单摆振动方程中的正弦型恢复力用三次多项式近似代替,得到一个Duffing型方程;然后,将牛顿法与谐波平衡法结合起来建立Duffing方程的解析逼近周期及周期解,从而给出单摆振动的解析逼近解.因此,在求解过程中避免了关于参数的非线性代数方程组的出现,只需解线性代数方程组就能建立单摆振动的解析逼近周期及周期解.几乎在振幅(初始摆角)的全部取值范围内,与数值方法给出"精确"周期及周期解比较,得到的解析逼近解都有很高的逼近精度.     

Comparison of two iteration procedures for a class of nonlinear jerk equations

A modified Michens iteration procedure and a direct Michens iteration procedure are applied to determine approximate periods and analytical approximate periodic solutions of a class of nonlinear jerk equations. When we use the modified Michens iteration procedure to deal with the nonlinear jerk equations, we need to solve the nonlinear algebra equation for determining the approximate angular frequency. The higher the number of iterations, the more difficult it is to deal with the nonlinear algebra equation. This is because the kth-order approximate solution obtained by the modified Michens iteration procedure is a function of the angular frequency. However, since the kth-order approximate solution obtained by the direct Michens iteration procedure is independent on the kth-order approximate angular frequency, the form of nonlinear algebra equation that determines the kth-order approximate angular frequency of nonlinear jerk equation is similar. The second-order approximate period obtained by the direct Michens iteration procedure provides very accurate results for the large initial velocity amplitudes. But the second-order approximate period obtained by the modified Michens iteration procedure is invalid for all amplitudes B of the initial velocity. A comparison of the first- and second-order approximate periodic solutions obtained by the direct Michens iteration procedure with the numerically exact solutions shows that the second-order approximate periodic solution is much more accurate than the first one. Thus, the direct Michens iteration procedure is very effective for the class of nonlinear jerk equations.     

Analysis of highly nonlinear oscillation systems using He’s max-min method and comparison with homotopy analysis and energy balance methods

Nonlinear functions are crucial points and terms in engineering problems and the solutions of many important physical problems are centered on finding accurate solutions to these functions. In this paper, a new method called max-min method has been presented for deriving accurate/approximate analytical solution to strong nonlinear oscillators. Furthermore, it is shown that a large class of linear or nonlinear differential equations can be solved without the tangible restriction of sensitivity to the degree of the nonlinear term, adding that the method is quite convenient due to reduction in size of calculations. Results obtained by max-min are compared with Homotopy Analysis Method (HAM), energy balance and numerical solution and it is shown that, simply one term is enough to obtain a highly accurate result in contrast to HAM with just one term in series solution. Finally, the phase plane to show the stability of systems is plotted and discussed.     

剪切可变形梁热过屈曲解析解

该文导出了面内热载荷作用下,梁过屈曲问题的精确解。首先基于非线性一阶剪切变形梁理论,推导了控制轴向和横向变形的基本方程。然后,将3 个非线性方程化简为一个关于横向挠度的四阶非线性积分-微分方程。该方程与相应的边界条件构成了微分特征值问题。直接求解该问题,得到了热过屈曲构形的闭合解,这个解是外加热载荷的函数。利用精确解,得到了临界屈曲载荷的一阶结果与经典结果的解析关系。为考察热载荷、横向剪切变形以及边界条件的影响,根据得到的精确解给出了两端固定、两端简支以及一端固定一端简支边界条件下的具体数值算例,讨论了梁在面内热载荷作用下的过屈曲行为,并与经典结果进行了比较。该文得到的精确解可以用于验证或改进各类近似理论和数值方法。     

带三次恢复力项频率依赖于速度的非线性振子研究

带三次恢复力项频率依赖于速度（Velocity-Dependent-Frequency, VDF）的非线性振子 的周期及其性质目前没有文献讨论,且使用传统的摄动法或谐波平衡法求解这类振子一阶近似解时往往失效。特别的,其频率在有限的幅值范围内奇异。首先求得了该振子周期的积分表达式,基于积分表达式可积性条件采用谐波平衡法得到了该振子一类初始条件下的精确解;研究了该振子的周期性质,给出了由第一类完全椭圆积分表示的周期-振幅的近似解析表达式,分析了振子的方波现象及产生原因。研究表明,振子周期最终随着幅值的增大衰减到0;振子方波现象产生原因是由于系统参数 ,随着幅值的增大,方波现象更明显。最后提出使用一种Hermite插值法求解该振子的周期解,该方法将时间变量转换为新的谐振时间变量,其频率为振子频率的一半,对应的控制微分方程转变为适合于Hermite插值分析的形式,其解与数值解的对比证明了该方法的有效性。     

二维非线性单原子正方晶格色散摄动分析

声子晶体的色散关系决定弹性波在其中的传播方式。从二维无限周期结构的波动方程出发,提出了一种分析非线性离散型声子晶体的色散关系的一阶近似摄动法。通过引入Bloch理论与小参数摄动展开法,得到了一阶近似的色散关系与频散曲线,以分析不同方向上的阻抗配置与非线性系数对频散及群速度的影响。以二维单原子正方晶格为例,得到了其一阶频散曲线。色散结果显示带隙及传播方向与波幅相关。最后模拟了晶格对点谐波激励的响应,以验证摄动分析有效性。     

Oscillator with non-integer order nonlinearity and time variable parameters

In this paper, the vibrations of the oscillator with nonlinearity of integer or non-integer order and with mass variable parameters are considered. New appreciative analytical procedures are developed: first, based on the generating solution that is the exact analytic solution of the system with constant parameters and the second, based on the approximate solution in the form of a trigonometric function with exact period of vibration of the system with constant parameters. For the both methods, the assumed trial solutions represent the perturbed versions of the solutions of the equations with constant parameters, where the amplitude and phase of vibration are supposed to be time variable. The amplitude and phase functions are determined using the averaging procedure over the period of vibration. The obtained approximate analytic solutions are compared with numerical ones. It is shown that the developed methods are accurate for the monotone slow time variable systems. The example of mass variable oscillator is considered. The influence of mass variation, small linear viscous damping and of the reactive force is investigated, too.