实数的普遍二进型展式的概率性质

作者提出过研究实数展式的概率性质的一种新方法—函数论方法。这种方法的要点是,引入一个奇异单调函数,然后应用关于单调函数几乎处处可微的 Lebesgue 定理来证明某些极限几乎处处存在。本文的目的是要就较一般的情况来阐明这种方法,并得出实数展式的一个概率性质(Borel 正规数定理是其简单推论)。本文的讨论表明,和传统的概率方法相比较,作者提出的函数论方法有一个优点,就是它的适用范围不限于展式的位标相互独立或具有特定的相依关系的情况,而且也适用于相依位标的较一般的情况。作为主要结果的一个推论,本文也给出了构造奇异严格单调函数的一个相当普遍的方法。     

一类奇异单调函数

本文给出了构造奇异单调函数的一种相当普遍的方法,这种方法也揭示了奇异单调函数与实数的广义二进展式的概率性质之间的联系。     

一类奇异单调函数与二进小数的一个度量性质

奇异单调函数的著名例子是 Cantor 函数,但这个函数并不严格单调,而是在某些小区间上恒等于常数.Riesz 与 Nagy,Hewitt 与 Stromberg 中构造出奇异严格单调函数的例子,最近 Feilich 又给出了另一个例子.本文的目的是要给出构造奇异严格单调函数的新方法,并以这种函数为桥梁,导出实数二进小数展开式的一个度量性质,在证明中我们提出了将 Lebegue 关于单调函数几乎处处可微的著名定理应用于实数展开式的度量理论的一种途径.     

一类奇异单调连续函数

本文利用广义二进展式构造了一类奇异单调连续函数,Takacs构造的这种函数是本文的特例。本文同时还用分析方法证明了广义二进展式的一个概率性质。     

强大数定律中的纯分析方法

作者提出过研究概率论中的强大数定律的一种新的纯分析方法(参见〔2〕).这种方法的要点是,取Ω=〔0,1〕、其中的 Lebesgue 可测集的全体和 Lebesgue 测度为所考虑的概率空间,在〔0,1〕上引入适当的单调函数,然后应用关于单调函数几乎处处可微的 Lebesgue定理来证明某些极限几乎处处存在。本文的目的是要进一步阐明这种方法,并得出 Borel 强大数定律的一种新的类型的推广。     

马尔科夫链的强大数定律在奇异单调函数的构造中的应用

本文揭示了马尔科夫链的强大数定律与奇异单调函数之间的联系,给出了构造奇异单调函数的一种相当普遍的方法。     

微分中值定理及微分Darboux定理新证明方法

给出了函数单调性判定定理的一种新证明方法,并由此给出了反函数的连续性、可导性和求导公式的严密证明,同时给出了微分中值定理和微分Darboux定理及其推广形式的一种新的简洁证明方法。     

高等数学中某些问题的探讨

高等数学中的函数单调性的导数判定法。比较简单易行地解决了函数单调性的判定问题。但此"判定法"的证明,是基于函数单调性的通常定义(全局性的)之上,借助拉格朗日中值定理才能达到。通过对函数单调性的另一个定义(局布性的)进行了探讨创新,直接利用导数的性质给予证明,将"判定法"撇开拉格朗日中值定理这一铺垫,给人一种更直接了当、行之有效的判定证明。     

高等数学中某些问题的探讨

高等数学中的函数单调性的导数判定法。比较简单易行地解决了函数单调性的判定问题。但此“判定法”的证明，是基于函数单调性的通常定义(全局性的)之上，借助拉格朗日中值定理才能达到。通过对函数单调性的另一个定义(局布性的)进行了探讨创新，直接利用导数的性质给予证明，将“判定法”撇开拉格朗日中值定理这一铺垫，给人一种更直接了当、行之有效的判定证明。     

完全格上单调函数的不动点定理及其应用

给出一个完全格上单调函数的不动点定理，然后利用此定理给出关于超穷基数的Ｃａｎｔｏｔ－Ｓｃｔｒｏｄｅｒ－Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ定理的一种证明．     

三元平均递推数列的性质研究

将Guass算术几何平均数列和算术调和平均数列两个递推数列进行综合,对具有特殊形式的数列作了一般性的推广,提出三元平均递推数列,利用单调有界定理判断递推数列收敛性.利用函数单调性对递推数列的单调性进行讨论,给出递推数列收敛性的条件,并对此数列的单调性和极限值进行研究.应用单调有界定理证明其极限的存在,并给出该方法在求递推数列极限问题中的一些应用,从而得到两条性质.并对此数列的极限值给予直观阐述.     

一类带积分边界奇异边值问题正解的存在性

通过构造一个适当的积分算子,并结合锥不动点理论和格林函数的性质,给出一类带有积分边界条件的二阶微分方程奇异边值问题正解和多个正解的存在性定理。     

区间上单调递减函数的Denneberg积分和Lebesgue积分的等价性

为了使得非可加测度和积分理论有更广泛的适用性,结合实分析的方法,通过把取值为负的递减函数转化为非负函数,证明了Denneberg利用分布函数引入的关于区间上单调递减函数的积分与Lebesgue积分恒等价;研究了Denneberg积分的分析性质,给出了几类收敛定理如单调收敛定理、有界收敛定理、控制收敛定理等,从而为该积分的研究提供更多的方法。     

闭区间套定理的延伸

区间套定理是数学分析的基本定理之一,也是一个刻划实数连续性的等价命题,它常常把某区间上满足的性质采用对分法归结为某点的局部性质,这种方法往往简单而有效,因而引起人们研究的兴趣,在文献[1]中给出了尺”空间的区域套定理．本文将进一步延伸到度量空间。     

实变函数与复变函数的异同

数域从实数域扩大到复数域后,便产生了复变函数论,并且深入到了数学、微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数,而解析函数的实部和虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念,很多都可以推广到复变函数上来.例如:函数的连续性、函数的导数、有(无)界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等。     

局部常值函数

本文给出了构造奇异局部常值单调函数和局部循环的局部常值函数的一个一般方法,推广了 Cantor,Mauldon 的结果。     

一类奇异二阶离散边值问题正解的存在唯一性

利用混合单调算子的一个不动点定理,给出奇异二阶微分方程一类混合边值问题的解的存在惟一性,这个定理推广和完善了以前的结论.     

微分学中一个命题的一种证法

利用闭区间的有限覆盖定理证明了微分学中的一个关于函数单调性与其导函数值的正负性的关系的命题，进而由此探讨了微分中值定理证明的一种思路。     

关于单侧导数判定函数单调性定理的一个新的证明

本文利用有限复盖定理给出了关于单侧导数判定函数单调性定理的一个新的证明。     

函数序列关于几乎处处弱收敛概率测度序列积分的单调收敛定理

研究了函数序列关于几乎处处弱收敛概率测度序列积分的单调收敛性,在新的条件下得到了单调收敛定理,并推证出概率测度几乎处处弱收敛的若干新的等价条件．