关于矩阵方程X+A*XqA=I(q＞0)的Hermite 正定解的一些性质

讨论了矩阵方程X+A*XqA=I(q＞0)的Hermite正定解的存在性,其中I是一个n×n阶单位矩阵,A是一个n×n阶复矩阵,如果矩阵A为非奇异矩阵,则可推导出方程存在正定解的充要条件,而如果矩阵A为奇异矩阵时,则可得到方程的正定解的最大特征值,且进一步在A为酉矩阵时,得到方程的唯一正定解的表达式,并推导出方程不存在任意的两个可比解.     

复正定矩阵的标准性及判定

研究复正定矩阵的性质，提出了矩阵的第二特征多项式和第二特征值的新概念，得到复正定矩阵的＊相合标准形的存在性和唯一性定理；给出由第二特征值计算复正定矩阵＊相合标准形的方法；给出由第二特征多项式判定复正定矩阵的＊相合的方法；给出由低阶矩阵的正定性判定高阶矩阵正定的方法。     

欧氏空间上的正定变换和半正定变换

引入了欧氏空间上的正定变换和半正定变换的概念,建立了与正定矩阵和半正定矩阵紧密联系的两类线性变换.说明了在标准正交基下正定变换（半正定变换）与正定矩阵（半正定矩阵）的关系,给出了它们的等价刻画,并得到了它们的其他性质.     

关于非对称矩阵正定的一个等价定理及其正定性的判定

本文首先讨论非对称矩阵和对称矩阵正定性之间的一个等价关系,然后对对称矩阵,利用 Gauss 消去法的思想,给出它们的正定性的判定方法。     

四元数正定（半正定）矩阵及四元数矩阵方程AX=B的反问题

实线性方程组ＡＸ＝Ｂ的反问题,由于它在控制理论中的重要应用而引起人们的广泛关注,并取得了一系列重要成果。给出ｎ阶四元数矩阵为正定（半正定）的充要条件,研究了四元数矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的反问题,得到ＡＸ＝Ｂ的反问题具有正定（半正定）矩阵解、正定（半正定）自共轭矩阵解的充要条件。另外,还给出了ＡＸ＝Ｂ的反问题的正定（半正定）矩阵解与正定（半正定）自共轭矩阵解的一般形式。由于实数域和复数域是四元数体的子域,     

广义P_0-矩阵及P-矩阵的几个性质

给出了广义线性互补问题中常用到的广义P0矩阵(P矩阵)的几个性质。这些性质类似于通常的半正定矩阵及正定矩阵的性质。矩阵A∈Rn×n为一个半正定(正定)矩阵时,其对角元素是非负(正)的;具有正对角元素的对角矩阵与一个半正定矩阵(正定)的乘积仍为半正定(正定)矩阵;A∈Rn×n为一个P0(P)矩阵的充分必要条件是对任X∈Rn,X≠0,总存在X的某个分量Xi≠0,有Xi(AX)i≥0(>0);若A∈Rn×n是一个半正定矩阵,E为n阶单位矩,则存在某个t>0,使A+tE为一个正定矩阵;而两个半正定(正定)矩阵之和仍为半正定(正定)矩阵。对于类(m1,…,mn)的竖块矩阵N∈Rm0×n,先给出了N的代表子阵的定义,然后得到了广义P0(P)矩阵与它们类似的几个性质。这些性质为更好地解决广义线性互补问题奠定了一定的基础。     

实正定阵的若干判定准则

首先讨论了实正定（半正定）矩阵的判定准则，给出了若干充分性条件，其次得到了实正定矩阵张量积为实正定阵的若干判定准则．     

实对称正定矩阵上的Oppenheim不等式

证明了实正定矩阵或逆M-矩阵与实对称正定矩阵的Hadamard乘积,满足实对称正定矩阵的 Hadamard乘积的Oppenheim不等式.     

复矩阵的次正定性及行列式不等式

笔者讨论了复次亚正定矩阵的一些性质及行列式不等式,解决A,A n2的上界、下界问题,进一步研究了分块矩阵的次正定性,将Fischer关于正定矩阵的结果推广到复次亚正定矩阵上,从而得到新的结论;利用A A次正定性,推导出Khatri-Rao乘积的次正定性.     

关于亚正定矩阵

证明了关于亚正定矩阵的两个结论：（1）n阶实正规矩阵A是亚定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值的实部均大零。（2）设A划亚正定矩阵，AB为实方阵，且（AB）′＝A′B，则AB是亚正定矩阵的充分必要条件是B的特征值全大于零。     

次广义半正定矩阵

引进了次广义半正定矩阵的概念,研究了它的基本性质及等价命题,建立了Schur乘积定理, Open-heim不等式,Minkowski不等式及一些相应的结果.     

次广义半正定矩阵

引进了次广义半正定矩阵的概念,研究了它的基本性质及等价命题,建立了Schur乘积定理,Open-heim不等式,Minkowski不等式及一些相应的结果。     

复矩阵方程AXB＝C的正定解

讨论了复矩阵方程AXB＝C的正定解存在的充要条件以及解的一般表达式。     

关于正定实方阵的二个结果

G.R.Johson 引入了芷定实方阵的概念,李炯生给出了正定实方阵的若干结果.本文给出正定实方阵的2个结果.     

拟正定阵的基本性质及Schur定理的推广

拟正定阵是正定阵（Ｈｅｒｍｉｔｅ阵）概念的一般化,本文对拟正定阵的基本性质进行了一些研究,并将Ｓｃｈｕｒ关于正定阵的Ｈａｄａｍａｒｄ乘积的著名结果推广到拟正定阵,从而得到了更多的有用结论。     

实正定阵的等价表征

讨论了一般实正定阵（可能非对称）的性质，给出了两个等价表征及若干判定准则。     

关于广义正定矩阵的几个问题

本文给出了用低阶矩阵来判定高阶矩阵的广义对称正定的判定定理。同时给出了矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的反问题在广义对称正定矩阵类中解存丰的充要条件及一般形式。     

矩阵正定性的降阶判定

在将ｎ阶方阵正定性的判定转化为（ｎ－１）阶方阵正定性判定的基础上,给出了将ｎ阶方阵正定性的判定转化为ｒ阶方阵正定性的判定方法。应用此方法,每步可降低（ｎ－ｒ）阶,加快了判定速度。     

广义Hermite矩阵及广义酉矩阵

对Hermite(反Hermite)矩阵和酉矩阵进行了推广，提出了广义Hermite(反Hermite)矩阵和广义酉矩阵的概念，在此基础上，讨论了广义Hermite(反Hermite)矩阵和广义酉矩阵一系列的性质及其相互关系，以期对矩阵及其应用的深入研究提供有益的帮助。