非线性拟双曲方程的有限元配置法数值分析

基于有限元配置法,采用分片双三次Hermite插值多项式空间作为逼近函数空间,本文对粘性振动及神经传播过程中涉及的一类非线性拟双曲方程的初边值问题建立了二维半离散和全离散格式.并对两种格式证明了数值解的存在唯一性,应用微分方程先验估计的理论和技巧得到了L2模最佳阶误差估计.数值实验结果表明:所提方法在保证整体误差估计要求且不增加计算量的前提下,比传统有限元方法有更高的逼近精度,并扩展了配置法的应用范围.     

求解Klein-Gordon-Zakharov方程的一个线性化差分格式(英文)

本文针对Klein-Gordon-Zakharov方程运用Crank-Nicolson格式和蛙跳格式的构造方法分别对线性项和非线性项进行离散,得到一个新的半显式有限差分格式.该格式在实际计算中是线性化解耦的,即在具体计算中的每一时间步,只需求解两个独立的三对角线性代数方程组,从而可以大幅提高计算效率.由于难以得到数值解的最大模先验估计,本文引入数学归纳方法并利标准的能量方法和不动点定理得到了数值解的存在唯一性,并证明了格式在时间和空间两个方向的二阶收敛性.数值结果验证了格式的精度和稳定性.     

基于混合有限差分格式的非线性奇异摄动问题的最大范数的后验误差估计

自适应移动网格算法在奇异摄动微分方程的数值解法中占有非常重要的地位,其关键技术是构造出有效的离散格式和相应的后验误差估计。基于此,对一类带参数的一阶非线性奇异摄动初值问题,给出了其连续解的稳定性估计及相关推论。然后,在任意非均匀网格上,利用向后欧拉公式和一阶中心有限差分格式建立了一个混合有限差分格式,并严格分析了离散解的稳定性。同时,基于连续解的稳定性估计和分段线性插值技术,推导出混合有限差分格式的最大范数的后验误差估计。利用该后验误差估计选择了一个最优的网格控制函数,并结合网格等分布原理设计了一个自适应网格生成算法。最后的数值实验验证了自适应移动网格算法的有效性,且算法的平均收敛阶可达到二阶。数值结果进一步表明自适应移动网格的误差明显小于 Shishkin 网格的误差,且其收敛阶也高于 Shishkin 网格计算得到的收敛阶。     

求解非定常N-S方程的稳定化分数步长法研究

本文研究了求解非定常Navier-Stokes方程的稳定化分数步长法.首先,通过一阶精度的算子分裂,将非线性项和不可压缩条件分裂到两个不同的子问题中,并对非线性项采用Oseen迭代.格式分为两步:第一步求解一个线性椭圆问题;第二步求解一个广义的Stokes问题.这两个子问题关于速度都满足齐次Dilichlet边界条件.同时,在格式的第二步添加了局部稳定化项,使用等阶序对来加强数值解的稳定性.通过能量估计方法,对速度与压力做了收敛性分析和误差估计.最后,数值实验验证了方法的有效性.     

分数阶微分方程block-by-block算法的最优阶收敛性分析

经典的block-by-block方法是求解积分方程的一种高效的数值方法.研究者们已经把经典的block-by-block方法成功地用在构造非线性分数阶常微分方程的高阶数值格式上,对该格式的收敛性分析也已经有了初步的结果.但数值实验的结果表明目前的理论分析仍未达到最优阶误差估计.本文将利用Taylor公式和积分中值定理对非线性分数阶常微分方程的block-by-block方法的收敛性进行细致的分析,对其获得了最优阶误差估计,最后通过数值算例验证了理论分析的正确性.     

长短波方程的两个守恒型紧致有限差分格式

本文对一类耦合非线性长短波方程组进行了数值研究，提出了两个四阶紧致有限差分格式，并证明新格式在离散意义下保持原问题的两个守恒性质，即总质量守恒和总能量守恒．数值实验表明本文格式在时间和空间方向分别具有二阶和四阶精度，具有良好的稳定性且在离散意义下很好地保持总质量和总能量守恒．     

Sine-Gordon方程的三次配点法

Sine-Gordon方程在非线性光学和生物物理等多个物理问题中有着广泛的应用.本文研究一维Sine-Gordon方程的三次配点法,利用复合高斯求积公式近似内积的一种离散化的H1–Galerkin方法建立半离散和全离散格式.采用先验估计方法推理了L2,H1和H2模最优估计结果.通过Matlab软件编程计算,获得了数值解和真实解的对比结果及误差估计数据.     

解KDV方程的一个二阶三层差分格式

本文讨论KDV方程定界问题的数值解法。对KDV方程构造了一个二阶三层的差分格式,并对非线性项进行了线性化,使格式的近似解更精确。通过严格的误差估计证明了非线性稳定性。数值实验结果表明了理论证明的正确性和格式的有效性。该格式是可行的,有推广价值。     

非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调有限元方法（英文）

数值求解非定常不可压缩Navier-Stokes方程的难点之一在于强烈的非线性容易引发非物理震荡,本文结合可以有效减弱此种震荡的特征线离散方法,基于局部Gauss积分之差的稳定化格式,采用最低等阶非协调混合有限元对NCP1-P1,构造出求解非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调混合有限元方法.证明了该方法的全离散格式是无条件稳定的,并给出逼近解的相应误差估计.     

一类非局部粘性水波模型的数值格式

本文主要讨论带非局部粘性项水波方程的数值方法.我们建立了一种求解这类粘性水波方程的数值方案.该方案有效解决了非局部粘性项与非线性项的离散问题.所提的格式包括对α阶分数阶项的2-α阶格式和对非线性项的线性化处理的混合格式.我们证明了这种格式是无条件稳定的,并得出线性Crank-Nicolson加2-α格式的收敛阶是O(?t32+N1-m)的结论.一系列的数值例子验证了理论证明的正确性.最后,我们用所提数值格式研究了粘性水波方程的渐近衰减率,并讨论了各种参数项对衰减率的影响.     

具有边界层和角层现象的半线性边值问题的渐近解

本文研究二阶半线性速值问题的奇摄动,在出现边界层和角层的现象下,导出边位问题解的n阶一致有效渐近近似式,并分别按最大模和L_2范数作出余项的估计。     

非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调有限元方法

数值求解非定常不可压缩Navier-Stokes方程的难点之一在于强烈的非线性容易引发非物理震荡,本文结合可以有效减弱此种震荡的特征线离散方法,基于局部Gauss积分之差的稳定化格式,采用最低等阶非协调混合有限元对NCP1-P1,构造出求解非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调混合有限元方法。证明了该方法的全离散格式是无条件稳定的,并给出逼近解的相应误差估计。     

一维半导体器件数值模拟的沿特征线的有限体积元方法(英文)

利用有限体积元方法结合特征线方法来处理一维热传导型半导体器件数值问题。提出并研究了一类全离散隐欧拉特征有限体积元格式。对电子位势和其他未知变量采用不同的时间步长处理,构造了该格式的计算程序,通过理论分析得到了一阶精度L~2-模误差估计结果。最后给出数值实验验证理论结果。     

美式分期付款期权定价模型的有限差分法北大核心CSCD

由于Black-Scholes微分算子是对流占主的微分算子,对其在等距网格上应用中心差分格式离散会导致数值解产生非物理震荡.本文对连续支付美式分期付款期权定价模型构造了基于自适应网格的有限差分策略,它采用中心差分格式离散空间变量导数项,构造分片一致网格使得与离散算子相应的系数矩阵为M-阵,以保证所构造差分策略对于任意波动率和任意利率都是无穷模意义下稳定的.应用光滑化技巧来有效处理终值条件的不光滑性,通过区分不同网格点集,在相应的网格点集上应用极大模原理来直接导出误差估计,证得此有限差分策略是关于标的资产价格二阶收敛的,并且利用数值解求得美式分期付款期权的最优执行边界和最优终止边界,数值实验证实了理论结果的准确性.     

一类弱非线性波浪数值模型及其适用性分析

研究了一类含弱非线性的改进型Boussinesq水波方程,在非交错网格下,利用有限差分法建立了混合四阶Adams-Bashforth-Moulton的预报校正格式的波浪数值模型。在数值模型中,关于空间一阶导数差分格式采用四阶精度、二阶导数差分格式采用二阶精度。针对波浪的一维、二维传播变形问题进行了数值计算,并通过与相关实验结果对比分析考察了该数值模型的适用性。     

非线性抛物问题的对称修正有限体积元方法

本文对一类非线性抛物型方程提出对称修正有限体积元方法,给出能量模最优阶误差估计,并证明了对称修正有限体积元方法的解与一般有限体积元方法的解之差是一个更高阶项。     

非线性双曲型方程动边界问题的全离散有限元格式及数值分析

研究具有变动边界的三维区域上的非线性双曲型方程的初边值问题．提出一类垒离散有限元逼近格式．并表明了其稳定性．通过进行空问变量代换、引入椭圆投影，以及采用其它非线性做分方程先验误差估计技巧,得到了最优阶的L^1模和日^1模收敛结果。     

一类双曲型积分微分问题有限元逼近的超收敛估计

本文研究双曲型积分微分方程的半离散有限元逼近格式的超收敛估计.基于一种新的初值近似,得到了有限元解与精确解的Ritz-Volterra投影的Ws,p(Ω)模的如下超收敛估计k＞1,s=0,2≤p≤∞时,超收敛1阶;k＞1,s=1,2≤p＜∞时,超收敛2阶;k＞1,s=1,p=∞时,几乎超收敛2阶;k=1,s=1,2≤p ≤∞时,超收敛1阶.     

基于同伦摄动法三次型非线性系统跌落冲击响应分析

目的 以典型的三次型非线性系统为研究对象,研究非线性系统跌落冲击响应的近似解析.方法 研究包含复杂非线性项的保守缓冲包装系统,以三次型非线性系统为例,通过使用同伦摄动法求解运动方程,求得跌落冲击响应的一阶近似解,并使用能量法修正一阶近似解.基于最大加速度响应表达式,获取非线性系统破损边界曲面,进行系统损伤评价.结果 修正后的一阶近似解的最大位移响应、最大加速度响应与龙格库塔法的数值更接近.随着产品脆值的增大,破损边界曲线逐渐上移,系统就越安全.结论 同伦摄动法的应用可为后续的非线性跌落冲击分析提供简便性.     

非线性双曲积分微分方程有限元方法的收敛性分析

本文研究了一类非线性双曲积分微分方程的半离散和全离散有限元方法，获得了Ｇａｌｅｒｋｉｎ解与真解ｕ之间在Ｌ∞（Ｌ２）、Ｌ∞（Ｈ１）模及其离散模意义下的最优误差估计。