关于环Zn中的幂等元问题

幂等元与本原幂等元在环中有非常重要的地位与作用。以数论为工具,通过解同余方程组,给出了环Zn中所有幂等元的计算公式,并讨论了环Zn中幂等元之间的一些关系式及利用幂等元对环Zn进行直和分解。通过幂等元与本原幂等元之间的关系,给出了环Zn中所有本原幂等元的计算公式。对于任何正整数n,只要知道n的素数分解式,就可以马上计算出环z n的所有幂等元及本原幂等元。     

覆盖同余式的构造

对覆盖同余式的构造作了初步探讨 ,在k阶覆盖系的基础上 ,构造出了几种有用的其它覆盖系 ,对主要结果作了详细的证明 ,并给出了推论 .举例说明了覆盖同余式的构造方法 ,指出应将寻求更为简洁有效的构造同余式的方法作为进一步研究的目标 .     

采用缺项双无解定理证明哥德巴赫猜想

在哥德巴赫猜想等价命题的基础之上,经过命题强化,构造了一个缺项双无解定理。该缺项双无解定理是说,一对缺少一项减数项相同的同余方程式的方程组同时无正整数解。运用数学归纳法证明了这两个同步的同余式方程组无正整数解.通过对两个同步的缺项同余式方程组是否有解的分析判定,运用数学归纳法成功证明了哥德巴赫猜想。     

解同余式x2≡l（modp）的一种快速算法

给出了解同余式ｘ２≡ｌ（ｍｏｄｐ）的一种快速算法，该算法适用于各种情况，解决了当ｐ≡１（ｍｏｄ８）时，若ｐ很大，求解相当困难的问题；在另一种情况下，也使计算量大为减少     

多元的覆盖同余式

将覆盖同余式推广到多元覆盖的情形 ,证出了当 p1 ,p2 ,… ,pr为奇素数时 ,覆盖系 ai ∏rj=1pαijjki=1 各模两两不同的充要条件为〈ui1 ,… ,uir〉(〈φ( pα1i1 ) ,… ,φ( pαrir )〉) ki=1为一个 r元的覆盖系 ,又对一个多元的覆盖系〈ui1 ,… ,uin〉( mod〈mi1 ,… ,min〉) ki=1令 dj| [m1 j,m2 j,… ,msj]则有 k≥ s≥ t( d1 ,… ,dn)     

关于Fibonacci数的一些恒等式

研究了Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的一些性质,并给出了一类新的恒等式和一些有趣的同余式。     

关于同余式x~m≡a(modn)的解数及解的性质

文献[3]中给出了同余式x~M≡1(modn)的解数公式,文献[1]中给出了二项同余式x~m≡a(modn)有解的判别条件。本文先证明x~m≡a(modn)有解时,其解数与a无关,从而x~M≡1(modn)的解数公式也是有解同余式x~m≡a(modn)的解数公式。同时给出了一个直接求X~m≡1(modn)的所有解的方法和一个由x~m≡a(modn)的某一解求其所有解的方法。最后给出了一个联系任意a对modn的次数Y_(?)(n)的有趣的公式。     

素数判别法的改进

在筛法和费尔马小定理的基础上,利用索阶乘及判别数对如何判别一个整数是否是一个素数的算法加以改进。     

关于Bernoulli数与Euler数的一组同余式

进一步研究了Bernoulli数与Euler数的分布及其性质,使得在组合数学中Ber-noulli数与Euler数组合恒等式的研究取得显著成效并得到广泛应用.运用了初等数论中同余的理论和解析数论的方法.得出了Bernoulli数与Euler数的同余恒等式,简单的表达了Bernoulli数与Euler数的计算公式.利用同余理论,研究了Bernoulli数与Euler数的p≡3(mod4)的恒等式,从而还可以得到Bernoulli数与Euler数的关于p≡1,3(mod8)的恒等式.     

关于Znam问题的解数

设Ｚ（ｓ）表示Ｚｎａｍ问题的解数,利用构造性的方法进一步证明了：当ｓ≥１２时（Ｚ（ｓ）≥３９,且在２│ｓ≥１２时Ｚ（ｓ）≥５７,由Ｚｎａｍ问题与单位分数方程及一同余式组的关系,还给出了相应的相关结果。