Analytical determination of eddy currents in a hollow sphereexcited by an arbitrary dipole

In this paper an analytical solution for the quasistationary eddy current distribution in a hollow sphere is presented using a divergence free vector potential derived from another spatial vector function by applying the curl operator. The field is excited by a dipole of arbitrary orientation and position. The dissipated power is also considered and hints are given for the analytical treatment of multishield problems excited by current loops     

Beitrag zur Berechnung transienter Wirbelströme in einer bewegten Kugel

Übersicht Ausgehend von der elementaren Lösung des transienten Wirbelstromproblems für die Kugel bei sprungartiger Änderung eines homogenen Feldes wird durch Anwendung des Gesetzes von Duhamel die Wirbelstromverteilung in einer auf beliebiger Bahnkurve durch ein homogenes Feld bewegten Kugel berechnet. Aus einem definierten Achsenvektor kann die Stromverteilung durch eine einfache mathematische Operation abgeleitet werden. Die entstehenden Verluste und das auf die Kugel ausgeübte Drehmoment werden für den allgemeinen Bewegungsvorgang angegeben. Der Achsenvektor der Wirbelströme und das Drehmoment sind als Zeitfunktionen für einen einfachen Bewegungsablauf berechnet und für verschiedene Parameterwerte grafisch dargestellt.

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Contents Starting from the transient eddy-current distribution caused by a suddenly removed magnetic uniform field in a sphere at rest, and using Duhamel's Theorem, formulas are derived for the eddy currents in a sphere that moves in a general way in a uniform magnetic field. With the definition of a vector function that describes the motion of an axis of the sphere, one obtains a simple formula for the current distribution.Furthermore, formulas are derived for the power absorbed and the torque exerted on the sphere in general motion. As examples the axis vector functions and the torque are calculated for several parameters.

     

Transienter Skineffekt in einer Hohlkugel im erregenden ebenen Feld von Leitern

Übersicht Die Berechnung der transienten Wirbelstromverteilung in einer Kugel erfordert allgemein eine Integration über die erregende Leiterschleife beliebiger Kontur, die einen Strom mit beliebiger Zeitabhängigkeit führt. In der vorliegenden Abhandlung wird die Lösung dieses Problems für eine Hohlkugel, die sich im ebenen Feld einer erregenden Leiteranordnung befindet, ohne Konturintegration angegeben und für den Fall zeitlich sinusförmiger Abhängigkeit der Feldgrößen mit der dann möglichen direkten Lösung der Differentialgleischungen überprüft. Der unter praktischen Gesichtspunkten wichtige Fall der Abschirmung transienter Felder durch eine Hohlkugel geringer Wandstärke wird für einen Stromimpuls auf einer erregenden Doppelleitung behandelt. Aus der geschlossen darstellbaren Lösung werden die Feldbilder im Kugelhohlraum zu verschiedenen Zeitpunkten der transienten Feldänderung angegeben und der Zeitverlauf des magnetischen Flusses durch eine quadratische Fläche im Innern der Kugel wird in Abhängigkeit von der Zeitdauer des erregenden Stromimpulses untersucht.

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Skin-effect transients on hollow sphere in the plane field of a system of conductors

Contents Generally, for the calculation of the distribution of the eddy current transients in a sphere, an integration has to be performed along the arbitrary contour of the exiting loop of current having an arbitrary time dependence. This paper deals with the solution of this problem for a hollow sphere placed in the planar field of excitation of a system of conductors, whereby the contour integration is avoided. Solutions derived are verified with the discrete solutions obtained in the case of sinusoidal excitation. The practically important screening effect of a thin hollow sphere on transient field produced by current impulses flowing through two conductors is also discussed. The field plottings in the hollow space of the sphere are derived out of the closed form solution and are also given for different instances of the transient excitation.The time dependence of the magnetic flux penetrating the area of a square inside the hollow sphere is analysed and is given as a function of the duration of the exciting impulse.

     

Stromverteilung in Druckkontakten auf zylindrischen Leitern

Übersicht Der Beitrag beschreibt ein Verfahren zur Berechnung der Stromdichteverteilung in Kontakten, wenn der vorgegebene Gesamtstrom einen beliebigen zeitlichen Verlauf hat. Die Erfüllung der Randbedingungen an den Bereichsgrenzen von Leitern unterschiedlicher Geometrie führt auf ein lineares Gleichungssystem mit im Grenzfall unendlich vielen Konstanten. Um den damit verbundenen Rechenaufwand zu vermeiden, wurde ein Näherungsverfahren entwickelt. Dabei wird der Feldverlauf durch Integration differentieller Feldstärkebeiträge gefunden, die sich bei Stromzuführung über sehr dünne Schneiden einstellen. Das Ergebnis wird für den Fall sinusförmiger Zeitabhängigkeit mit der zuvor bestimmten exakten Lösung verglichen. Der Verlauf der Stromlinien ist für verschiedene Parameterwerte und Zeitabhängigkeiten des Gesamtstromes grafisch dargestellt.

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Current distribution in pressure contacts on cylindrical conductors

Contents In this paper a method is given to calculate the current density distribution in contacts for line currents of arbitrary time dependence. To satisfy the condition in the bounding area of conductors with different geometry a system of linear equations with an infinite number of unknowns has to be solved. To reduce computer time an approximation is given, which determines the current distribution in question by integrating the incremental field strength contributions due to infinitely thin contacts. In case of sinusoidal time dependence of the exiting current the result is proved by the exact solution, which consumes much more computer time. The characteristic lines of current are presented for different parameters and time-dependencies.

     

Transientes Feld in einem Mehrwicklungstransformator

Übersicht Innerhalb von Leitern ist das zeitabhängige elektromagnetische Feld eine Lösung der quasistationären Feldgleichungen. Mit dem Feld, das durch einen Schaltvorgang hervorgerufen wird, kann die Lösung bei beliebiger Zeitabhängigkeit der eingeprägten Erregung bestimmt werden.In diesem Beitrag wird zunächst die Feldverteilung in den Röhrenwicklungen eines rotationssymmetrisch aufgebauten Mehrwicklungstransformators für den elementaren Abschaltvorgang berechnet. Die dafür notwendige Entwicklung der logarithmischen Funktion gelingt geschlossen, wenn sie als Grenzwert modifizierter Besselscher Funktionen dargestellt wird, die das Feld bei zeitlich sinusförmiger Erregung beschreiben. Es wird nachgewiesen, daß die Verlustenergie, die durch die zeitabhängige Stromdichteverteilung des Ausgleichsvorgangs nach dem Schalten in den Wicklungen entsteht, gleich der Energie ist, die im magnetischen Feld in den Leitern vor dem Schalten gespeichert war. Auf dieser Grundlage wird das Feldproblem für einen erregenden Strom mit beliebiger Zeitabhängigkeit gelöst und das Feld beispielhaft berechnet, wenn ein Strom sinusförmiger Zeitabhängigkeit und beliebiger Phase im Strommaximum eingeschaltet wird.

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Transient field in a multi winding transformer

Contents The time dependent electromagnetic field inside of conductors is described by the quasistationary field equations. The field excited by a current of arbitrary time dependence can be calculated by means of Duhamels integral using the field response on a curent which is a step function of time.In this paper first the electromagnetic field in all windings of a transformer of rotational symmetry is calculated for a constant current which is switched of. The necessary closed from expansion of the logarithmic function in terms of the eigenfunctions can be achieved if the logarithmic function is represented by a limit of modified Bessel functions which describe the field in the case of sinusoidal time dependence. It will be shown that the power dissipated during the transient distribution of the current after the switching event equals the energy stored in the magnetic field before switching. On the basis of this solution the field excited by an impressed current of arbitrary time dependence can be calculated. This is demonstrated for the switching of an impressed current of sinusoidal time dependence of arbitrary phase.

     

Beschreibung des räumlichen Feldes der Erregerwicklung eines Turbogenerators mit dem magnetischen Skalarpotential

Übersicht In früheren Abhandlungen einiger Autoren wurde das räumliche Feld eines Turbogenerators mit supraleitender Erregerwicklung mit Hilfe des Vektorpotentials berechnet, das in den verwendeten Zylinderkoordinaten notwendigerweise aus allen drei Komponenten besteht. In der vorliegenden Arbeit wird zur Feldbeschreibung das magnetische Skalarpotential verwendet, das das vorliegende Feld als eine einzige Ortsfunktion wesentlich einfacher zu beschreiben vermag. Allgemeine Feldbeziehungen werden zunächst für den Fall einer Flachspule beliebiger Fläche abgeleitet und auf eine räumliche Spule erweitert. Die Konstanten, die man in den Ausdrücken für das magnetische Skalarpotential benötigt, werden aus der Stromfunktion der erregenden Spule berechnet. Für den Fall einer Erregerspule, die aus Rechteckwindungen besteht, werden allgemeine Beziehungen für die Konstanten angegeben. Abschließend wird durch Einführung eines skalaren Polarisationspotentials der Einfluß zylindrischer magnetischer Schirme erfaßt.

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Contents In previous papers, the three-dimensional magnetic field of a turbo-generator with superconducting field winding had been calculated by means of a vector potential, consisting of all three components in the cylindrical coordinates. In the present paper, the authors use the magnetic scalar potential, which as an only scalar function, describes the field mentioned above in a most simple way. General field expressions are derived for current sheets of any shape and then extended to a three-dimensional field winding. The constants needed in the expressions for the magnetic scalar potential are calculated from the stream function of the exciting coil. General relations are given for a field winding consisting of rectangular elements. Finally, the influence of cylindrical magnetic screens are calculated using an additional scalar polarisation potential.

     

Stromverteilung in der Kugel be Einspeisung zeitveränderlicher Ströme auf der Oberfläche aus einer Leiterschleife beliebiger Kontur

Übersicht Einer leitenden, massiven Kugel wird aus einer Leiterschleife beliebiger Kontur im umgebenden nichteleitenden Raum an zwei beliebigen Punkten auf der Kugeloberfläche ein Strom cosinusförmiger Zeitabhängigkeit zugeführt bzw. entnommen. Die räumliche Stromdichteverteilung wird durch Superposition zweier Tellösungen dargestellt. Eine der Lösungen stellt eine Stromdichteverteilung mit verschwindender radialer Komponente in der Kugel dar, die von einer Leiterschleife erregt wird, deren Kontur in der nichteleitenden Umgebung der Kugel geschlossen ist. Die zweite Lösung beschreibt eine Stromverteilung, die entsteht, wenn der Kugel am Einspeise- bzw. Entnahmepunkt ein Strom gleicher Zeitabhängigkeit auf dünnen Leitern Zugeführt bzw. entnommen wird, deren Konturen im nichteleitenden Raum auf radialen Strahlen durch den Kugelmittelpunkt vom Einspeisepunkt ins Unendliche verlaufen.

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Current distribution in a sphere by feeding time variant currents on the surface from a coil of arbitrary shape

Contents A current of sinusoidal time dependence is fed to a solid conducting sphere from a coil of arbitrary spape at arbitrary points on the surface. The spatial current distribution is treated by superposition of two partial solutions of the field equation. The first one represents a current distribution with a vanishing radial component of the current density vector. It was excited by a coil of a contour which is closed in the nonconducting environment of the splere. The second solution describes the field of a current of equal time dependence fed and collected at the two points on the surface of the sphere via two straight linear conductors with only radial contour elements.

     

Berechnung des Leerlauffeldes elektrischer Maschinen unter Berücksichtigung der Wirbelströme im Nutleiter

Übersicht In der vorliegenden Abhandlung wird ein analytisches Verfahren zur Berechnung der Feldverteilung im Luftspalt- und Nutraum elektrischer Maschinen angegeben. Der betrachtete Raum wird in drei Teilgebiete zerlegt, für die die Feldgleichungen aufgestellt werden. Die Erfüllung der Randbedingungen an den Grenzen der Bereiche führt auf ein lineares Gleichungssystem, das numerisch ausgewertet wird. Für ein charakteristisches Beispiel wird das so berechnete Feldbild angegeben. Abschließend wird eine allgemeine Beziehung abgeleitet, die die Berechnung der im Leiter induzierten Wirbelstromverluste gestattet.

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Calculation of the no-load field in electrical machines with regard to the eddy-currents induced in the slot region

Contents This paper presents an analytical method to calculate the field distribution in the air-gap and slot area of electrical machines. The area mentioned above is divided into three parts for which the solutions of the field equations in question are set up. Fullfilling the boundary conditions a system of linear equations is derived and solved numerically. A field plot for a characteristic example is given. Finally, a general formula to evaluate the losses in the conductor is developped.

     

Skineffekt im endlich langen Zylinder bei Stromeinspeisung an den Stirnflächen

Übersicht Die Berechnung der Stromverteilung in einem leitenden zylindrischen Körper bei Stromeinspeisung über perfekt leitende Zuleitungen an den Stirnflächen des Zylinders wird für beliebigen Zeitverlauf des Stromes durchgeführt. Ausgangspunkt ist die Lösung der Feldgleichung für den Fall einer sprungartigen Änderung im Zeitverlauf des Zuleitungsstromes. Daraus werden allgemeine Beziehungen abgeleitet, die das Strömungsfeld im Innern des Zylinders beschreiben, wenn ein Gesamtstrom beliebiger Zeitabhängigkeit vorgegeben ist. Durch direkte Integration der Differentialgleichung für zeitlich sinusförmig veränderliche Feldgrößen werden die Ergebnisse kontrolliert. Die Betrachtung von Sonderfällen der vorgegebenen Geometrie ermöglicht den Vergleich mit schon behandelten Problemen des transienten Skineffektes. Abschließend werden für verschiedene Parameterwerte die Stromverteilungen grafisch dargestellt und die Ergebnisse diskutiert.

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Contents In this paper, a general method is derived to calculate the transient eddy-current distribution in a solid cylinder which is injected by perfect conducting wires at the frontal areas, carrying a current of any time dependence. Starting from the case of a sudden current change, general relations are given for the stream function describing the current distribution inside the cylinder. The results are proved by direct integration of the differential equation for sinusoidal values. By consideration of special configurations formulae are given for the field strength. At last, the stream lines are represented graphically and the results are discussed for several different parameters.