解一类线性代数方程组的直接法

二阶椭圆型微分方程边值问题的数值求解在实践中具有重要的意义。当用差分法解这类问题时,结果就要求解一类线性代数方程组,这类方程组的系数矩阵具有一些特殊的结构和性质。以矩形区域上的二维问题为例,若用矩形网格,节点按自然次序编号,用通常的五点格式所得方程组的系数矩阵是块三对角的。用“矩阵追赶法”解这类问题效果很差,即计算量和存储量相当大而精度差。问题在于,这种解法中有许多矩阵求逆运算,而这些矩阵中有些可能是病态的。矩阵追赶法的一些变形(见[2]、[3]等),结果也常归结到一个病态方程组的求解,因而大大影响精度。同时,仍有要求存储量大和计算过程不稳定等缺点。用Gauss主元消去法或Crout方法等,由于非零元素的大量充入,破坏原来矩阵的稀疏性,使存储量增大。