平均拟扩张与平均拟收缩映射族的公共不动点定理

设(X,ρ)是度量空间。假设{S_1)_(i∈I)是映 X 到自身的连续映射族,A 是映 X 到自身的连续映射,它与每个 S_i 可交换。如果 x,y∈X 和 i,j∈I 或者满足AXS_i X 并且ρ(Ax,Ay)≤α_1ρ(S_ix,S_iy) α_2ρ(Ax,S_ix) α_3ρ(Ay,S_jy) α_4ρ(Ax,S_jy) α_5ρ(Ay,S_ix),(*)或者满足AXS_i X 并且ρ(S_ix,S_iy)≤α_1ρ(Ax,Ay) α_2ρ(S_ix,Ax)α_3ρ(S_jy,Ay) α_4ρ(S_ix,Ay) α_5ρ(S_jy,Ax),(**)这里α_k≥0(k=1,2,3,4,5)且 sum from k=1 to 5 α_k<1,则称{S_i)_(i∈I)是 X 上关于映射 A 的平均拟扩张(当条件(*)满足时)或者平均拟收缩(当条件(**)满足时)映射族。本文主要结果是§2中的定理2和§3中的定理6。定理2.设(X,ρ)是完备度量空间。假设{S_1}_(i∈I)是 X 上关于映射 A 的平均拟扩张映射族.则 A 和{S_i}_(i∈I)在 X 中有唯一公共不动点。反之,假设{S_i}_(i∈I)是映 X 到自身的连续映射族,且在 X 中有公共不动点,则存在映 X 到自身的连续映射 A,使得{S_i}_(i∈I)是 X 上关于这个映射 A的平均拟扩张映射族。定理6.设(X,ρ)是完备度量空间。假设{S_i}_(i∈J)是 X 上关于映射 A 的平均拟收缩映射族,则 A 与{S_i}_(i∈I)在 X 中有唯一公共不动点。