偏微分方程完备解与边界元法的新发展

求解偏微分方程边值问题的有效方法之一是边界元法。本文针对二维线性问题讨论了边界元法与偏微分方程完备解之间的关系。日前已经发展了许多边界元方法,但是所有这些不同方法的基本边界积分方程都是相应微分方程的完备解。基于这一思想,加以发展,便可方便地构造出更多新的边界元方法。它们可以被应用到许多迄今尚不能有效地采用边界元法求解的问题中去。虽然偏微分方程的完备解可能有许多种表达方式,但为了数值离散求解,仍需选择其中的适当形式。对于通常的边值问题,边界元法中的边界积分方程是一种较好的表达式。但对于某些特殊问题,仍然需要加以修正。另一方面,在许多情况下,常规边界元法的边界积分方程较难求出,而其它形式的完备解却较易获得。例如对于很大一部分常系数偏微分方程,可以用广义付氏变换的方法求得问题的完备解。对于这些完备解,用复变函数的方法住往可将其转换成边界积分方程的形式,更利于数值计算和问题的求解。