关于测度在‘不可测’映射下的像成为测度的注记

设(Ω,F)与(E,ε)是两个可测空间,μ是(Ω,F)上的任一非零测度.以μ*表μ的外测度,Aμ*表Ω上的μ*-可测集全体,Fμ表F关于μ的完备化.设φ是从Ω到E的任一映射.若φ:(Ω,Aμ*)→(E,ε)是可测的,则μ*(φ-1(·))是(E,ε)上的一个测度.反之,即使φ:Ω→(E,ε)不是Aμ*-可测的,μ*(φ-1(·))仍可以是(E,ε)上的一个测度;进一步μ*(φ-1(·))是(E,ε)上的一个σ-有限测度的充要条件是φ:Ω→(E,ε)是Fμ-可测(当然更是Aμ*-可测)的且μ是σ-有限的.