Beugung am Kegel elliptischen Querschnitts und die Sommerfeldsche Lösung des Halbebenenproblems

Übersicht In dieser Arbeit wird die Beugung am Kegel elliptischen Querschnitts behandelt. Wir leiten zwei Greensche Funktionen ab, die der Dirichlet- bzw. der Neumann-Bedingung auf dem Kegel genügen und die Ausstrahlungsbedingung erfüllen. Das Randwertproblem wird zurückgeführt auf die Lösung eines zweiparametrigen Eigenwertproblems mit zwei gekoppelten Laméschen Differentialgleichungen. Wir analysieren insbesondere die Beugung einer ebenen Welle an der sektorförmigen Fläche. Im Grenzfall eines Sektoröffnungswinkels von 180° gehen die Reihenentwicklungen unter Zuhilfenahme eines speziellen Gegenbauerschen Additionstheorems und einer erzeugenden Funktion für Besselfunktionen mit ganzzahligem und halbzahligem Index über in die Sommerfeldsche Lösung des Halbebenenproblems.

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Diffraction by an elliptic cone and Sommerfeld's half-plane solution

Contents In this article we examine the diffraction by an elliptic cone. We derive two Green's functions satisfying the Dirichlet-resp. Neumann-condition on the boundary of the cone. The boundary value problem is reduced to a two-parametric eigenvalue problem with two coupled Lamé equations. We analyse the diffraction of a plane wave by a plane angular sector. In the limiting case of a sector angle of 180° the series expansions pass — using a special form of Gegenbauer's addition theorem and the generating function for Bessel functions with integral and half-integral indices — into Sommerfeld's half-plane solution.