一类带两个形状参数的三次Bézier曲线

提出一组带两个形状参数λ,μ的四次多项式基函数,它是带一个形状参数的三次Bernstein基函数的扩展.基于该组基定义了一类带两个形状参数λ,μ的三次Bézier曲线,它不仅具有带一个形状参数的三次Bézier曲线的绝大多数性质,而且利用λ,μ的不同取值能够局部或整体调控曲线的形状,并且可以从两侧逼近控制多边形.讨论了两段曲线C2拼接条件.最后,还给出了一些可调控曲面的实例.     

带形状参数的四次Bézier曲线曲面

提出一种新的含参数的四次多项式基函数,四次Bernstein基函数是它的特例,给出其与四次Bernstein基的转换矩阵。分析了该组基函数的性质,定义了带有形状参数的四次Bézier曲线曲面,它们具有四次Bézier曲线曲面的特性,且当参数均取1时即为四次Bézier曲线曲面。对于给定的控制顶点,可以通过改变形状参数的值整体或局部调控曲线曲面的形状。实例表明,该方法应用于曲线曲面设计是有效的。     

两相邻带参四次Bézier曲线的近似合并

给出了带有4个形状参数的5次多项式基函数,分析了这组基函数的性质,并由此基函数构造了带4个形状控制参数的四次扩展Bézier曲线（简称QE-Bézier曲线）。QE-Bézier曲线是对四次Bézier曲线的扩展,它不仅具有与四次Bézier曲线类似的性质,而且具有灵活的形状可调性和更好的逼近性。进一步研究了两相邻QE-Bézier曲线的合并问题,通过曲线拟合方法与广义逆矩阵理论相结合,直接得到了合并曲线控制顶点的显示表达式,并给出了误差分析,数值实例显示逼近效果较好。     

广义三次Bézier曲线及其应用

给出一组含有3个参数的四次多项式基函数,它是三次Bernstein基函数的扩展;基于该纽基定义了带形状参数的多项式曲线,称之为广义三次Bézier(GCB)曲线.GCB曲线不仅具有三次Bézier曲线的特征,而且在控制多边形保持不变的条件下,具有形状可调性和对控制多边形更好的逼近性.讨论了两条GCB曲线C2拼接的条件,并构造了C2形状可调的GCB样条曲线.图形实例表明:构造的GCB曲线为曲线曲面设计提供了有效的新方法.     

一类形状可调的拟Bézier曲线

给出一种带多形状参数的多项式调配函数,Bernstein基函数是它的一个特例.利用给出的调配函数,定义了一类形状可调的拟Bézier曲线.调配函数和拟Bézier曲线具有与Berustein基函数及Bézier曲线类似的性质.对给定的控制多边形,可以通过改变形状参数的值来调整曲线的形状.运用本文方法可生成带参数的拟Bézier曲面.实例表明,本文方法控制灵活,方便有效.     

三角域上带形状参数的三次Bézier曲面

张量积Bézier曲面被成功地应用于商业CAD系统中,然而实际工程中的某些外形却无法依靠张量积形式实现.因此在CAGD中,三角Bézier曲面成为外部形状设计的主要工具之一.为了更加灵活地控制三角曲面的形状,构造了一组带形状参数的三次多项式基函数,它们是三角域上三次Bernstein基的扩展.利用该组基函数定义了三角域上带形状参数的多项式曲面.基函数和曲面分别具有Bernstein基和Bézier曲面的性质.在形状参数的取值范围内,三次Bézier三角曲面是它的特例.由于含有可调的形状参数,该曲面在形状修改与变形中具有更大的灵活性.形状参数具有明确的几何意义,参数越大曲面越逼近控制网格.实例表明,通过改变形状参数的取值可以调整曲面的形状,在CAGD中该方法是有效的.     

带形状参数的升二次Bézier曲线

首次提出四次Bernstein基函数的一种新扩展——含有一个形状参数的λQ—Bernstein基函数,与以往的基函数相比较,基函数的次数一次性升高两次,且具有四次多项式基函数和带一个形状参数的五次多项式基函数的所有性质,基于该基函数定义λQ—Bézier曲线,并且曲线自身含有形状参数,增加曲线形状的可调性。与含一个参数的五次多项式曲线进行比较,该曲线能更好地逼近所给定的控制多边形。     

广义三阶Bezier曲线的几何构造

针对一类含有3个形状参数的广义三阶Bézier（GCB）曲线,推导出GCB曲线的基函数与四次Bernstein基函数的转换公式。利用升阶公式,建立了它与四次Bézier曲线的关系,给出了几何结构和矩阵表示形式。GCB曲线不仅具有三次Bézier曲线的特征,而且在控制多边形保持不变的条件下,具有形状可调性和对控制多边形更好的逼近性。实例表明：构造的GCB曲线为曲线曲面设计提供了有效的新方法。     

带两个形状参数的四次Bézier 曲线的扩展

给出了两组带两个形状参数λ , μ 的六次多项式基函数,它们是四次 Bernstein 基函数的扩展。分析了这两组基函数的性质,基于这两组基分别定义了带形状参数 的两类多项式曲线,两类曲线具有与四次Bézier 曲线类似的性质,且在控制顶点不变的情 况下,可通过改变形状参数的值实现对曲线形状的调整。参数λ, μ 具有明显的几何意义。当 λ =μ = 0 时,均退化为四次Bézier 曲线。实例表明,论文所采用的方法控制灵活,方便有效。     

三次Bézier曲线的新扩展及其应用

给出了两组分别含有2个和3个形状控制参数的三次和四次多项式基函数,它们都是三次Bernstein基函数的扩展;分析了这两组基函数的性质,基于此两组基定义了两种分别带形状参数α,γ和α,β,γ的多项式曲线,它们都以三次Bézier曲线为特殊情形。两种新曲线不仅具有三次Bézier曲线的特性,而且具有灵活的形状可调性和更好的逼近性。最后讨论了两种扩展曲线的拼接条件及它们在曲线曲面造型中的应用,并给出了两个扩展曲面的定义。实例表明,定义的两种新扩展曲线为曲线/曲面的设计提供了两种有效的新方法。     

正弦变换与Bézier曲线的参数化

通过对Bernstein基函数实施正弦变换,给出了Bézier曲线的一类重新参数化方法.基于Bernstein基函数,导出了正弦-Bemstein-Bézier类(Sine Bernstein-Bézier Class-SBBC)函数,定义了SBBC曲线,讨论了SBBC曲线和Bézier曲线的关系,提供了Bézier曲线重新参数化的一种有效方法.     

Bézier曲线的新扩展

给出2组含有2个形状控制参数 的四次、五次多项式基函数,其分别是三次、四次Bernstein基函数的扩展。分析2组基的性质,定义带 的2类多项式曲线：三次E-Bézier曲线和四次E-Bézier曲线,其具有三次或四次Bézier曲线的特性、形状可调性和更好的逼近性。当 时,2类曲线分别退化为三次、四次Bézier曲线。给出2个扩展曲面的定义。实例表明,定义的曲线为曲线/曲面的设计提供了一种有效的方法。     

三角域上三次Bernstein-Bézier参数曲面的扩展

给出了三角域上带参数的类三次Bernstein基函数,它是三角域上三次Bernstein基函数的扩展.基于给出的基函数,提出一种建立三角域上带形状参数的类三次Bernstein-Bézier(B-B)参数曲面的生成方法.该基函数及参数曲面分别具有与三次Bernstein基函数及三次B-B参数曲面类似的性质,当形状参数取值为1时,它们分别退化为三次Bernstein基函数和三次B-B参数曲面.研究表明,通过改变形状参数的取值,可以调整曲面的形状.     

带形状参数的QT-Bézier曲线曲面的构造和应用

为了更加方便地表示和修改曲线曲面,提出了带形状参数的四次三角Bézier曲线曲面QTBézier的构造方法和应用。首先仿照Bézier曲线性质,构造了带形状参数的基函数,定义了带形状参数的QT-Bézier曲线曲面并研究了他们的一些主要性质,并就参数的选取做了一些分析。这种带形状参数的QT-Bézier曲线曲面是已有的一些曲线曲面的一般表达方法,如果选取一些特殊的参数,可以表示特殊的和已知的曲线曲面,还可以构造不同形状的旋转面。带形状参数的QT-Bézier曲线曲面可以很好地通过形状参数来调整曲线曲面的外形,而且能构造不同的旋转面,由于有额外的形状参数,更便于交互。     

带形状参数的三次三角域Bézier曲面

为了能提升三次三角域Bézier曲面的形状控制能力,从局部形状参数和全局形状参数的角度出发,构造了带有2种参数的三次三角域Bernstein基函数。借由基函数定义了三次三角域λα-Bézier曲面,通过改变2种参数的取值达到不同的控制效果。将三角域λα-Bézier曲面与Bézier曲面进行了形状调节、时间复杂度和控制网格逼近程度3方面的比较,得出了三角域λα-Bézier曲面的优势。并给出了三次三角域λα-Bézier曲面片间满足C1、G1连续的条件及证明,相关实例也证实:三次三角域λα-Bézier曲面不仅继承了三次三角域Bézier曲面的优良性质,还可以通过变化参数取值来提高曲面的形状控制能力。在曲面拼接时,也可以通过改变参数来构造多种拼接造型。     

三次TC-Bézier曲线的新扩展

给出一组含有两个参数的二次三角多项式基函数,它是三次Bernstein基函数的扩展;分析了这组基函数的性质。定义了带有两个形状参数的三角多项式曲线,它不仅具有 Bézier 曲线的一些实用的几何特性,而且具有形状的可调性。在控制多边形不变的情况下,通过改变参数α和β,可以生成不同的逼近该控制多边形的曲线,并可以精确表示圆弧、椭圆弧等。由于带有两个参数,所以具有更加灵活的形状控制能力。给出了曲线间的G₁、G₂拼接条件以及在曲线造型中的应用实例,为自由曲线设计提供了一种有效的方法。     

带两个参数的拟Bézier曲线

文章主要将Bernstein基函数中的变量u用函数f(u)代替,将Bernstein基函数进行了推广,生成了新的Bézier曲线,称为拟Bézier曲线。讨论了基函数及其生成的曲线的构造和性质。这种拟Bézier曲线不仅有Bézier曲线的优良性质,而且还产生了一些新的特性,如通过调节因子λ的值可以改变拟Bézier曲线的次数[1],同时拟Bézier曲线也可以通过类似的De Casteljau算法来实现拟De Casteljau算法的几何作图法。但不同的是,对相同参数u,Bézier曲线与拟Bézier曲线所对应的点Vi的位置不同。最后讨论了曲线间的拼接问题,其在应用中有一定的研究价值。     

一种带形状参数的奇异混合拟Bézier曲线

利用权的思想并结合奇异混合技术,对传统的拟Bézier曲线进行扩展,构造了一种带形状参数的奇异混合拟Bézier曲线。首先将奇异混合函数和三角多项式空间的拟三次Bézier基函数相结合得到奇异混合拟Bézier曲线的定义,进而根据奇异混合拟Bézier曲线的定义反推出奇异混合拟Bézier基函数;接着讨论了奇异混合拟Bézier基函数及其对应曲线的性质,并探究了奇异混合函数及参数对二者的影响;最后给出了奇异混合拟Bézier曲线曲面的设计实例。实验结果表明,与传统Bézier曲线相比,本文构造的曲线在具有传统Bézier曲线实用性质的同时还具有灵活的形状可调性,新曲线不仅能够精确表示二次曲线,并且在满足特定条件时曲线还能够达到G1及G2连续,将曲线运用张量积方法拓展到曲面还可以精确表示椭球面及球面。大量的分析以及实例表明,本文构造的曲线在几何造型设计中十分有效。     

切点可调的带形状参数的二阶三角Bézier曲线

构造了带参数的二次三角Bézier基函数,通过引入位置参数,得到切点可调的带形状参数的二阶三角Bézier曲线。其既保留了Bézier曲线的性质,又具有形状和切点可调性,并且能精确表示椭圆和圆。曲线拼接的条件简单,具有G~1连续。数值例子表明,给出的曲线在曲线曲面设计中是有效的。     

一种 G2 连续组合曲线的表示

针对 Bézier 曲线以及现有众多含形状参数的扩展 Bézier 曲线的 G2 拼接条件均对控制顶点有严 格要求的问题,拟提出一种 G2 连续组合曲线,其能综合 Bézier 与 B 样条方法的优点,其基函数具有显式表达 式,既具有 B 样条方法的自动光滑性,又能轻松拥有 Bézier 曲线的端点几何特征。为此,构造了一组含 6 个 参数的基函数,按照 3 次 Bézier 曲线的定义方式由之构造了基于 4 个控制顶点的曲线段,根据曲线段的拼接条 件,按照 3 次 B 样条曲线的定义方式构造了基于 4 点分段的组合曲线。基函数具有全正性,其同时包含 3 次 Bernstein 基函数和所有由内部节点重复度均为 1 的节点向量所确定的 3 次 B 样条基函数作为特例。曲线段具 有保凸性、端点位置以及形状可调性,其同时包含 3 次 Bézier 曲线和 3 次 B 样条曲线段作为特例。组合曲线 的定义方式自动保证了其整体 G2 连续,将部分参数取特定值,即可使其端点插值、端边相切,此时其中依然 存在用于调整内部形状的独立参数。按一定规则选取组合曲线中的参数,即可重构 C2 连续的 3 次 B 样条曲线。