关于Diophantine方程x2-Dy4=1的Walsh猜想

设D是非平方正整数.u1+v2(*)D是Pell方程u2-Dv2 ＝1的基本解. 对于正整数n,设un和vn是适合u1+v2(*)D＝ (u1+v1(*)D)n的正整数. 证明了当D和v1都是奇数时, 如果vn是平方数,则必有n≤2.     

关于Diophantine方程X^2－Dy^4=1的Walsh猜想

设D是非平方正整数．ul v2√D是Pell方程u2-Dv^2=l的基本解．对于正整数n，设un和vn是适合ul v2√D=(ul v1√D)“的正整数．证明了当D和vl都是奇数时，如果vn是平方数，则必有n≤2．     

关于 Lucas序列的单调性

设A和B是不等于0的实数,Lucas序列{un}和{vn}满足递归关系：u0=0,u1=1,un+2=Aun+1-Bun(n∈N);v0=2,v1=A,vn+2=Avn+1-Bvn(n∈N)．本文确定了序列{un}和{vn}单调递增的充分必要条件,并用此结论得出了当m,n为非负整数,A,B为互素的非零整数且A2≥4B时,um(A,B)｜ un(A,B),vm(A,B)｜vn(A．B)的必要条件．     

关于联立Pell方程组x2-4D1y2＝1和y2-D2z2＝1

设D1是正整数,证明了:如果4D1=r2-1,其中r是正整数,则至多有1个奇素数D2可使联立Pell方程组x2-4D1y2=1和y2-D2z2=1有正整数解(x,y,z).     

图中的泛独立圈

本文得到如下结果:设G是一个简单图,|G|=n_1+n_1,8≤n_1,n_2≤N—8。n_1,n_2为正整数.f(G)=min {d(u)+d(v):u,v∈▽(G),uv(?)(G)}.如果f(G)≥n+1,则G中含两个点不交的、长度分别为n_1、n_2的圈.     

关于丢番图方程 x2p+2kyp=z2

设A、B、C是两两互素的正整数,m,n,r是大于1的正整数，对于丢番图方程Ax^m+Byⁿ=Cz^r，(x,y,z)=1，1/m+1/n+1/r＜1，1989年,Tijdeman猜想：该方程仅有有限多组整数解(x,y,z)；1997年，Andrew Bal猜想：如果A=B=C=1,m,n,r均大于2，则该方程没有正整数解.关于上述猜想，本文作者获得了如下结果：设p为奇素数，证明了丢番图方程x^2p+2^ky^p=z²,(x,y)=1，k≥1，y≠0仅有整数解k=3,｜x｜=y=1,｜z｜=3和k=2pl+3,｜x｜=2l,y=1,｜z｜=3·2^pl .从而更正了王云葵关于上述方程所获得的结果.     

关于Jesmanowicz猜想互素情形的一个注记

设a,b,c是互素的正整数,使得a~2+b~2=c~2.1956年Jesmanowicz猜测对于任意的正整数n,不定方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z只有唯一的解(x,y,z)=(2,2,2).根据已有引理,使用分类讨论和素数的唯一分解定理,证明a或者b为2~(r_1+1)n_1的情形下Jesmanowicz成立,其中r_1,n_1为任意正整数.     

关于Diophantine方程x~2+D=y~n

设D是无平方因子正整数,h(-D)是虚二次域Q(-D)的类数.证明了当D 7(mod8)时,方程x2+D=yn的正整数解(x,y,n)都满足5gcd(n,h(-D)) n.     

关于Ramanujan-Nagell方程D_1x~2+2~mD_2=p~n

设P是奇素数,又设D1,D2是适合D1>1,D2>1,ged(D1,D2)=1,D1 D2≠0,(mod p)的正奇数.证叫了方程D1x2+2mD2=pn至多有2组正整数解(x,m,n).     

一类含三个圈的本原有向图的m-competition指数

设D为n阶本原有向图,m和n为正整数.对于D中任意顶点x和y,都存在m(1≤m≤n)个不同的顶点v1,v2,…,vm∈V(D),使得x→kvi,y→kvi,(1≤i≤m).称满足上述条件的最小正整数k为D的mcompetition指数.本文研究了一类含有一个n长圈,两个n-3长圈的本原有向图,确定了此类本原有向图的m-competition指数.     

一类连续数方程

本文证明了当ｎ，ｘ，ｒ为正整数且ｒ＞３，ｓ为非负整数ｇｃｄ（ｘ，（３２０ｓ＋２８６））＝１，丢番图方程无整数解．     

不定方程x~3＋y~3＋z~3-3xyz=n有非负整数解的充要条件

给出不定方程x3＋y3＋z3-3xyz=n的非负整数解的一个判定准则.主要结果为：如果正整数n有标准分解式n=2rpr11…prkk,其中p1,p2,…,pk是适合p1     

整数距离图G(Dm,3)的点线性荫度

整数距离图G(D)以全体整数为顶点集，顶点u,v相邻当且仅当|u-v|∈D，其中D是一个正整数集.对于m＞3，设Dm,3={1,2,…,m}＼{3}，本文得到了G(Dm,3)的点线性荫度的上界和下界并决定出了它在某些较小的m上的确切值.     

涉及分担值的亚纯函数的正规性

研究把前人所作定理条件中的f（z）换成fn（z）看结论是否仍然成立.采用Zalcman引理和正规族的相关结论以及Nevanlinna第一、二基本定理等方法,研究与分担值相关的亚纯函数的正规性问题,得到一个新的结论.设F是区域D内的一族亚纯函数,k,n≥3是正整数,a,c是2个非零有穷复数,b,d是正实数,若f（z）∈F,f的零点重数至少是k,若fn（z）f（k）（z）=a〉｜f（k）（z）｜≤b,f（k）（z）=c〉｜fn（z）f（k）（z）｜≥d,则F在D内正规.     

关于拟亲和数的一个注记

对于正整数n，如果σ(n)等于2n，则称n为完全数，其中σ(n)为n的所有正约数之和。对于正整数m，n，如果它们各自的所有正约数之和都等于两数之和，则称m和n是一对亲和数。而如果正整数m和n各自的所有正约数之和都等于m n 1，则称它们为一对拟亲和数。为了判断整数是否为拟亲和数，文章在讨论费玛数和数论函数性质的基础上，找到了一种验证一个整数是否是拟亲和数的方法，从而证明了费玛数不与其他正整数构成拟亲和数对的结论。     

On the multiplicity of binary recurrences

0　INTRODUCTIONLetZ ,N ,Qbethesetsofintegers ,positiveintegersandrationalnumbers ,respectively .LetA ,B ∈Zwithgcd (A ,B) =1,B { - 1,0 ,1} .Forbinaryrecurrenceoftheformun+2 =Aun+1+Bun,whereu0 ,u1∈Z ,onedefinesitsmultiplicitybythemaximumnumberoftermsofthesequencewhichcanbeequaltoagivennumber .LetN(A ,B ,k)bethenumberofthetermsnofun =k ,wherek∈Z .In 1930 ,WardconjecturedthatN(A ,B ,k) ≤ 5foranyk∈Z .In 1977,Kubota[1～ 3] provedthatWard’sconjectureisright.Furthermore ,hisresult…     

Positive integers possessing a weak order

For a positive integerm,we call a positive integertwhich possesses a weak order(modm),if there doesnot exist a positive integer nsuch thattn 1≡ t(modm). Letg(m)be the number of positive integerstforwhich1≤ t≤ mandtpossess a weak order(modm).Forx≥3,letG(x) =∑m≤xg(m).In 1981, V.S. Joshi[1]first proved the following as-ymptotic formula:G(x) =αx2 O(x(logx)3), (1)whereα=2ζ(12)∑n∞ =1C(nn2), C(n) =∏p npp 1.In 1986, Yang Zhaohua[2]improved (1) toG(x) =αx2 O(x(logx)2). (2) The key ne…